高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專題63三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)(原卷版+解析)

專題63三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)一知識(shí)系統(tǒng)整合二規(guī)律方法1．在任意角和弧度制的學(xué)習(xí)中，要區(qū)分開角的各種定義，如：銳角一定是第一象限角，而第一象限角不全是銳角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，這種表示法不正確．2．任意角的三角函數(shù)，首先要考慮定義域，其次要深刻認(rèn)識(shí)三角函數(shù)符號(hào)的含義，sinα＝eq\f(y,r)≠sin×α；誘導(dǎo)公式的記憶要結(jié)合三角函數(shù)的定義去記憶．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，必須牢記這兩個(gè)基本關(guān)系式，并能應(yīng)用它們進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明，在應(yīng)用中，注意掌握解題的技巧，能靈活運(yùn)用公式．在應(yīng)用平方關(guān)系求某個(gè)角的另一個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要注意根式前面的符號(hào)的確定．4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一至六不僅要正確、熟練地掌握其記憶的訣竅，更要能靈活地運(yùn)用．(1)－α角的三角函數(shù)是把負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函數(shù)是化任意角為[0,2π)內(nèi)的角；(3)eq\f(π,2)±α，π±α，eq\f(3π,2)±α，2π－α角的三角函數(shù)是化非銳角為銳角；(4)化負(fù)為正→化大為小→化為銳角；(5)記憶規(guī)律：奇變偶同，象限定號(hào)．5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)五點(diǎn)法作圖是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實(shí)掌握，作圖時(shí)自變量要用弧度制，作出的圖象要正規(guī)．(2)奇偶性、單調(diào)性、最值、周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，f(x＋T)＝f(x)應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加常數(shù)才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函數(shù)的單調(diào)性的題目一定要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，更要注意定義域．6．使用本章公式時(shí)，應(yīng)注意公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．如兩角和與差的正切公式tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)，其變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)應(yīng)用廣泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的變形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)常用來(lái)升冪或降冪．7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函數(shù)y＝sinx的圖象到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的平移、伸縮等變換．注意各種變換對(duì)圖象的影響，注意各物理量的意義，A，ω，φ與各種變換的關(guān)系．8．三角函數(shù)的應(yīng)用(1)根據(jù)圖象建立解析式；(2)根據(jù)解析式作出圖象；(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型；(4)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)模擬．在建立三角函數(shù)模型的時(shí)候，要注意從數(shù)據(jù)的周而復(fù)始的特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)兩個(gè)方面來(lái)考慮．考點(diǎn)一三角函數(shù)的概念1．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．2．若角α的終邊所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，則有()A．sinα＝eq\f(2\r(13),13) B．cosα＝－eq\f(2\r(13),13)C．sinα＝eq\f(3\r(13),13) D．tanα＝－eq\f(3,2)3．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝_____.4．若角600°的終邊上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值是5．有一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為eq\f(π,2)，面積為eq\f(π,4)，則該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為考點(diǎn)二同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，則sin(－5π＋α)＝2．已知eq\f(1－cosx＋sinx,1＋cosx＋sinx)＝－2，則tanx的值為3．已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cosα＝eq\f(\r(30),6)，則|a－b|＝4．已知tanα＝－eq\r(3)，eq\f(π,2)＜α＜π，則sinα－cosα＝5．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(1,3)，則eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)的值為6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝7．已知eq\f(3sin（π＋α）＋cos（－α）,4sin（－α）－cos（9π＋α）)＝2，則tanα＝8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝________.9．已知tanα＝－eq\f(4,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα；(2)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα).11．已知tanα＝－eq\f(3,4).(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求eq\f(sin4π－αcos3π＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)π－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)π＋α)))的值．12．已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．13．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，則sinx－cosx的值為________．14．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于15．若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(cosπ－θ,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值為________．16.已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，計(jì)算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．化簡(jiǎn)eq\r(1－2sinπ＋4cosπ＋4)等于()A．sin4－cos4 B．cos4－sin4C．－sin4－cos4 D．sin4＋cos42．2sin215°－1的值是3．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值是4．已知α為銳角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝5．在eq\r(3)sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范圍是A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值．7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，則C的大小為________．8．在△ABC中，已知taneq\f(A＋B,2)＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α為銳角，tanβ＝－3，且β為鈍角，則α＋β的值為10．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則β－α的值為________．11．求值：eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°)).12．化簡(jiǎn)：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).13．求證：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).14．求證：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝1.15．求證：eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).16．求證：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1.18．已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均為銳角，求cosβ的值．19．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．20．已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．21．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性．22．已知函數(shù)f(x)＝4tanxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的單調(diào)性．23．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．24．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．25．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,4)))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且－eq\f(π,4)<α<eq\f(π,4)，eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求cos[2(α－β)]的值．考點(diǎn)四三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．函數(shù)y＝eq\r(16－x2)＋eq\r(sinx)的定義域?yàn)開_____________．2．若f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝sinx，則f(x)的解析式是__________________．3．對(duì)于函數(shù)f(x)＝sin2x，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是遞增的B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f(x)的最小正周期為2πD．f(x)的最大值為24．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的單調(diào)遞增區(qū)間是5．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g(x)的最小正周期為2π，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝6．在△ABC中，C>eq\f(π,2)，若函數(shù)y＝f(x)在[0,1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，則下列命題正確的是()A．f(cosA)>f(cosB)B．f(sinA)>f(sinB)C．f(sinA)>f(cosB)D．f(sinA)<f(cosB)7．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函數(shù)，當(dāng)φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，φ的值為________．8．若函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱，則a＝________.9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))單調(diào)遞增；③f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn)；④f(x)的最大值為2，其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A．①②④ B．②④C．①④ D．①③10．給出下列4個(gè)命題：①函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq\f(π,2)；②直線x＝eq\f(7π,12)是函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的一條對(duì)稱軸；③若sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，且α為第二象限角，則tanα＝－eq\f(3,4)；④函數(shù)y＝cos(2－3x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3))上單調(diào)遞減．其中正確的是________．(寫出所有正確命題的序號(hào))．11．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期是πB．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))中心對(duì)稱D．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq\f(π,4)為f(x)的零點(diǎn)，x＝eq\f(π,4)為y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上單調(diào)，則ω的最大值為13．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx，,cosx，sinx<cosx，))下列命題中正確的是()A．該函數(shù)的值域是[－1,1]B．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值1C．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值－1D．當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＋π<x<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)時(shí)，f(x)<014．函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,|cosx|)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)的大致圖象是下列圖中的()15．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期為2π，且滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝________.16．已知f(x)＝sin2x＋cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，則f(x)的值域?yàn)開_______．17．若函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函數(shù)，則f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是18．函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)19．求函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．20．已知|x|≤eq\f(π,4)，求函數(shù)y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．21．函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是___________．22．下列函數(shù)中，周期為4π的是()A．y＝sin4xB．y＝cos2xC．y＝taneq\f(x,2) D．y＝sineq\f(x,2)23．已知函數(shù)f(x)＝logacoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．(1)求它的定義域；(2)求它的單調(diào)區(qū)間；(3)判斷它的奇偶性；(4)判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的周期．24．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a為常數(shù))．①求f(x)的單調(diào)區(qū)間；②若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)的最大值為4，求a的值．26．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題：(1)觀察函數(shù)圖象，寫出滿足下列條件的x的區(qū)間．①y>1；②y<1.(2)若直線y＝a與y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．27．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的圖象的一部分，則它的振幅、周期、初相分別是()A．A＝3，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)B．A＝3，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(3π,4)C．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)D．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(3π,4)28．函數(shù)f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值為g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝eq\f(1,2)，求a及此時(shí)f(x)的最大值．29．在已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為eq\f(π,2)，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))時(shí)，求f(x)的值域．30．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(1)求函數(shù)f(x)的最小值及f(x)取到最小值時(shí)自變量x的集合；(2)指出函數(shù)y＝f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換得到；(3)當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇－eq\r(3)，2]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)五三角函數(shù)的圖象變換問(wèn)題1．已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C22．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)3．將函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象向右平移eq\f(1,4)個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2))的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，周期為π.(1)求f(x)的解析式；(2)將y＝f(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后再將所得的圖象沿x軸向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，寫出函數(shù)y＝g(x)的解析式．5．如圖，是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段圖象．(1)求此函數(shù)的解析式；(2)分析一下該函數(shù)的圖象是如何通過(guò)y＝sinx的圖象變換得來(lái)的？考點(diǎn)六三角函數(shù)的應(yīng)用1．直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2米，過(guò)點(diǎn)P的一直線與走廊的外側(cè)兩邊交于A，B兩點(diǎn)，且與走廊的一邊的夾角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))).(1)將線段AB的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；(2)一根長(zhǎng)度為5米的鐵棒能否水平(即鐵棒與地面平行)通過(guò)該直角走廊？并說(shuō)明理由．(鐵棒的粗細(xì)忽略不計(jì))2．福建沿海的超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)過(guò)后，當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn)，焊接工王師傅每天都很忙碌．今天他遇到了一個(gè)難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為1米，圓心角θ＝eq\f(π,3)，施工要求按圖中所畫的那樣，在鋼板OPQ上裁下一塊平行四邊形鋼板ABOC，要求使裁下的鋼板面積最大．試問(wèn)王師傅如何確定A的位置，才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？專題63三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)一知識(shí)系統(tǒng)整合二規(guī)律方法1．在任意角和弧度制的學(xué)習(xí)中，要區(qū)分開角的各種定義，如：銳角一定是第一象限角，而第一象限角不全是銳角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，這種表示法不正確．2．任意角的三角函數(shù)，首先要考慮定義域，其次要深刻認(rèn)識(shí)三角函數(shù)符號(hào)的含義，sinα＝eq\f(y,r)≠sin×α；誘導(dǎo)公式的記憶要結(jié)合三角函數(shù)的定義去記憶．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，必須牢記這兩個(gè)基本關(guān)系式，并能應(yīng)用它們進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明，在應(yīng)用中，注意掌握解題的技巧，能靈活運(yùn)用公式．在應(yīng)用平方關(guān)系求某個(gè)角的另一個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要注意根式前面的符號(hào)的確定．4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一至六不僅要正確、熟練地掌握其記憶的訣竅，更要能靈活地運(yùn)用．(1)－α角的三角函數(shù)是把負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函數(shù)是化任意角為[0,2π)內(nèi)的角；(3)eq\f(π,2)±α，π±α，eq\f(3π,2)±α，2π－α角的三角函數(shù)是化非銳角為銳角；(4)化負(fù)為正→化大為小→化為銳角；(5)記憶規(guī)律：奇變偶同，象限定號(hào)．5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)五點(diǎn)法作圖是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實(shí)掌握，作圖時(shí)自變量要用弧度制，作出的圖象要正規(guī)．(2)奇偶性、單調(diào)性、最值、周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，f(x＋T)＝f(x)應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加常數(shù)才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．解答三角函數(shù)的單調(diào)性的題目一定要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，更要注意定義域．6．使用本章公式時(shí)，應(yīng)注意公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．如兩角和與差的正切公式tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)，其變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)應(yīng)用廣泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的變形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)常用來(lái)升冪或降冪．7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)主要掌握由函數(shù)y＝sinx的圖象到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的平移、伸縮等變換．注意各種變換對(duì)圖象的影響，注意各物理量的意義，A，ω，φ與各種變換的關(guān)系．8．三角函數(shù)的應(yīng)用(1)根據(jù)圖象建立解析式；(2)根據(jù)解析式作出圖象；(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型；(4)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)模擬．在建立三角函數(shù)模型的時(shí)候，要注意從數(shù)據(jù)的周而復(fù)始的特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)兩個(gè)方面來(lái)考慮．考點(diǎn)一三角函數(shù)的概念1．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解析]∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當(dāng)t>0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t<0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，t>0時(shí)，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；t<0時(shí)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).2．若角α的終邊所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，則有()A．sinα＝eq\f(2\r(13),13) B．cosα＝－eq\f(2\r(13),13)C．sinα＝eq\f(3\r(13),13) D．tanα＝－eq\f(3,2)[解析]由三角函數(shù)的定義可知，|OP|＝eq\r(－22＋32)＝eq\r(13).∴sinα＝±eq\f(3,\r(13))＝±eq\f(3\r(13),13)，cosα＝±eq\f(2,\r(13))＝±eq\f(2\r(13),13)，tanα＝－eq\f(3,2).3．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝_____.[解析]r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ為第四角限角，解得y＝－8.4．若角600°的終邊上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值是[解析]∵tan600°＝eq\f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，∴a＝－4eq\r(3).5．有一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為eq\f(π,2)，面積為eq\f(π,4)，則該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為[解析]設(shè)扇形的半徑為R，由扇形的面積S＝eq\f(π,4)，得S＝eq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)R，得R＝1，則扇形的圓心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(π,2),1)＝eq\f(π,2)，則弧所對(duì)弦長(zhǎng)為eq\r(2)R＝eq\r(2)考點(diǎn)二同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，則sin(－5π＋α)＝[解析]因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\f(\r(5),3)，所以sinα＝eq\f(\r(5),3)，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sinα＝－eq\f(\r(5),3)2．已知eq\f(1－cosx＋sinx,1＋cosx＋sinx)＝－2，則tanx的值為[解析]已知等式變形得1－cosx＋sinx＝－2－2cosx－2sinx，整理得3sinx＋cosx＝－3，即cosx＝－3sinx－3，代入sin2x＋cos2x＝1中，得sin2x＋(－3sinx－3)2＝1，整理得5sin2x＋9sinx＋4＝0，即(sinx＋1)·(5sinx＋4)＝0，解得sinx＝－1或sinx＝－eq\f(4,5).當(dāng)sinx＝－1時(shí)，cosx＝0,1＋cosx＋sinx＝0，分母為0，不合題意，則sinx＝－eq\f(4,5)，所以cosx＝－eq\f(3,5)，因此tanx＝eq\f(4,3)3．已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cosα＝eq\f(\r(30),6)，則|a－b|＝[解析]依題意得：tanα＝eq\f(a,1)＝a，且tanα＝eq\f(b,2)，因此|a－b|＝|tanα|.由cosα＝eq\f(\r(30),6)得sin2α＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)，因此|tanα|＝eq\f(\r(5),5)，所以|a－b|＝eq\f(\r(5),5).4．已知tanα＝－eq\r(3)，eq\f(π,2)＜α＜π，則sinα－cosα＝[解析]由tanα＝－eq\r(3)得cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α)＝eq\f(1,4)，又eq\f(π,2)＜α＜π，所以cosα＝－eq\f(1,2)，因此sinα＝tanα·cosα＝eq\f(\r(3),2)，∴sinα－cosα＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)5．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(1,3)，則eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)的值為[解析]依題意得tanα＝eq\f(y,x)＝3，則eq\f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)＝eq\f(sinα－cosα,－sinα－2cosα)＝eq\f(tanα－1,－tanα－2)＝eq\f(3－1,－3－2)＝－eq\f(2,5).6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝[解析]由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，sin2α＋cos2α＝1，聯(lián)立得cos2α＝eq\f(1,5)，由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))知cosα<0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).7．已知eq\f(3sin（π＋α）＋cos（－α）,4sin（－α）－cos（9π＋α）)＝2，則tanα＝[解析]由已知得eq\f(－3sinα＋cosα,－4sinα＋cosα)＝2，則5sinα＝cosα，所以tanα＝eq\f(1,5).8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝________.[解析]由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(－2＋1,－2－1)＝eq\f(1,3).9．已知tanα＝－eq\f(4,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.[解析](1)∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(2cosα＋3sinα,3cosα＋sinα)＝eq\f(2＋3tanα,3＋tanα)＝eq\f(2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝－eq\f(6,5).(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα－3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1)＝－eq\f(7,25).10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα；(2)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα).[解析](1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝eq\f(2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)，則eq\f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－eq\f(1,4)或tanα＝1.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π))，∴α為第二象限角，∴tanα<0，∴tanα＝－eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(\f(2sinα,cosα)－\f(3cosα,cosα),\f(4sinα,cosα)－\f(9cosα,cosα))＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(－2×\f(1,4)－3,－4×\f(1,4)－9)＝eq\f(7,20).11．已知tanα＝－eq\f(3,4).(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求eq\f(sin4π－αcos3π＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)π－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)π＋α)))的值．[解析](1)2＋sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sin2α＋cos2α＋sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，把tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2)＝eq\f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq\f(22,25).(2)原式＝eq\f(－sinα－cosα－sinαcos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),－cosαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))＝eq\f(－sin2αcosα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),－cosαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(sin2αcosαsinα,－cosαsin2αcosα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα，把tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(3,4).12．已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．[解析](1)f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).(3)∵α＝－eq\f(47π,4)＝－6×2π＋eq\f(π,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).13．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，則sinx－cosx的值為________．[解析]由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又因?yàn)椋璭q\f(π,2)<x<0，所以sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).14．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于[解析]sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).15．若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(cosπ－θ,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值為________．[解析]原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,－cosθ·cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cosθ·1＋cosθ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝6.16.已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，計(jì)算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．[解析]因?yàn)閏os(π＋α)＝－eq\f(1,2)，所以－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2).又角α在第四象限，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)＝eq\f(sin（α＋2nπ＋π）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(sin（π＋α）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(－2sinα,sinαcosα)＝－eq\f(2,cosα)＝－4.考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．化簡(jiǎn)eq\r(1－2sinπ＋4cosπ＋4)等于()A．sin4－cos4 B．cos4－sin4C．－sin4－cos4 D．sin4＋cos4[解析]原式＝eq\r(1－2sin4cos4)＝eq\r(sin4－cos42)＝|sin4－cos4|，因?yàn)閑q\f(5,4)π<4<eq\f(3,2)π，所以cos4>sin4.所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故選B.2．2sin215°－1的值是[解析]原式＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).3．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值是[解析](cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2).4．已知α為銳角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝[解析]由α為銳角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝eq\f(2\r(5),5)，故tanα＝2，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,1－4)＝－eq\f(4,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan2α,1－tan\f(π,4)tan2α)＝eq\f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq\f(1,7)5．在eq\r(3)sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范圍是A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))[解析]eq\r(3)sinx＋cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈[－2,2]，所以－2≤2a－3≤2，解得eq\f(1,2)≤a≤eq\f(5,2).6．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值．[解析]因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)·sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，則C的大小為________．[解析]兩式左右兩邊分別平方相加，得sin(A＋B)＝eq\f(1,2)，則sinC＝sin[π－(A＋B)]＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).又3sinA＝6－4cosB>2，得sinA>eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，所以A>eq\f(π,6)，所以C<eq\f(5π,6)，故C＝eq\f(π,6).8．在△ABC中，已知taneq\f(A＋B,2)＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，taneq\f(A＋B,2)＝sinC＝sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A＋B,2)，所以2cos2eq\f(A＋B,2)＝1，所以cos(A＋B)＝0，從而A＋B＝eq\f(π,2)，即△ABC為直角三角形．故選C.9．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α為銳角，tanβ＝－3，且β為鈍角，則α＋β的值為[解析]sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α為銳角，則cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又因?yàn)棣粒隆蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq\f(3π,4).10．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則β－α的值為________．[解析]由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.兩式分別平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2)，所以β－α＝±eq\f(π,3).因?yàn)閟inγ＝sinβ－sinα>0，所以β>α，所以β－α＝eq\f(π,3).11．求值：eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°)).[解析]∵sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝sin50°eq\f(2sin40°,cos10°)＝1，cos80°eq\r(1－cos20°)＝sin10°eq\r(2sin210°)＝eq\r(2)sin210°，∴eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°))＝eq\f(1－cos20°,\r(2)sin210°)＝eq\r(2).12．化簡(jiǎn)：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).[解析]原式＝eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cos10°))＝eq\f(2sin50°＋cos10°×\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°),\r(2cos25°))＝eq\f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cos5°|)＝eq\f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cos5°)＝eq\f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(2)cos5°)＝eq\f(2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°,\r(2)cos5°)＝eq\f(4sin45°cos5°,\r(2)cos5°)＝2.13．求證：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).[解析]左邊＝sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinθ,cosθ)))＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosθ,sinθ)))＝sinθ＋eq\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ＋eq\f(cos2θ,sinθ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝右邊．14．求證：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝1.[解析]eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosαtanα,1＋cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(cosα·\f(sinα,cosα),1＋cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(sin2α,sin2α)＝1.15．求證：eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).[解析]左邊＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cosα＋sinαcosα－sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝右邊．∴等式成立．16．求證：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).[解析]證法一：左邊＝eq\f(sin2x,cos2x)＋eq\f(cos2x,sin2x)＝eq\f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cos4x)＝eq\f(8－4sin22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋4cos22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋21＋cos4x,1－cos4x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x)＝右邊．原式得證．證法二：右邊＝eq\f(22＋1＋cos4x,2sin22x)＝eq\f(22＋2cos22x,2sin22x)＝eq\f(21＋cos22x,4sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(2sin4x＋cos4x,2sin2xcos2x)＝tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝左邊．原式得證．17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1.[解析]∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α)＝2·eq\f(sin2β＋cos2β,cos2β).∴eq\f(1,cos2α)＝eq\f(2,cos2β).∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.18．已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均為銳角，求cosβ的值．[解析]因?yàn)棣?，β均為銳角，所以0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以eq\f(π,2)<α＋β<π，且sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).因?yàn)閠anα＝4eq\r(3)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosα＝eq\f(1,7).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).19．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．[解析](1)∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<π，－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(\r(21),7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(3),2)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵eq\f(π,4)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14).∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝－eq\f(5\r(3),3).∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(3),11).20．已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解析](1)因?yàn)閠anα＝eq\f(4,3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)．又因?yàn)閏os(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因?yàn)閠anα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7)，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tan（α＋β）,1＋tan2αtan（α＋β）)＝－eq\f(2,11).21．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性．[解析](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\