備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第七章§7.4　空間直線、平面的平行

§7.4空間直線、平面的平行考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b常用結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(×)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(×)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)教材改編題1．下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是()A．直線a上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)B．直線a與平面α內(nèi)的所有直線平行C．直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線不相交D．直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交答案D解析因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．2．已知不重合的直線a，b和平面α，則下列選項正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a∥α，b∥α，則a∥bC．若a∥b，b?α，則a∥αD．若a∥b，a?α，則b∥α或b?α答案D解析若a∥α，b?α，則a∥b或異面，A錯；若a∥α，b∥α，則a∥b或異面或相交，B錯；若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，C錯；若a∥b，a?α，則b∥α或b?α，D對．3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為______．答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點，求證：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.證明(1)如圖，連接BD交AC于O，連接OF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，又∵F是PD的中點，∴OF∥PB，又∵OF?平面ACF，PB?平面ACF，∴PB∥平面ACF.(2)取PA的中點G，連接GF，BG.∵F是PD的中點，∴GF是△PAD的中位線，∴GF綉eq\f(1,2)AD，∵底面ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，∴BE綉eq\f(1,2)AD，∴GF綉B(tài)E，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，又∵EF?平面PAB，BG?平面PAB，∴EF∥平面PAB.命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教師備選如圖，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，求證：四邊形BCFE是梯形．證明∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四邊形BCFE是梯形．思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(1)證明如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.延伸探究在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解如圖，連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又由題設(shè)eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.教師備選如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點H，如圖，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點，∴H為BC的中點．思維升華證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點，eq\f(AR,AB)的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．(1)證明連接CP并延長，與DA的延長線交于M點，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因為eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，證明如下：因為eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.教師備選如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.思維升華證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．(1)證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.(2)解設(shè)EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(EF,AB)＝eq\f(x,4)，與(1)同理可得CD∥FG，∴eq\f(FG,CD)＝eq\f(BF,BC)，則eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4)，∴FG＝6－eq\f(3,2)x.∴四邊形EFGH的周長L＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.又∵0<x<4，∴8<L<12，故四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12)．課時精練1．(2022·寧波模擬)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a?α，b?α，則b∥α答案D解析A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．2．(2022·呼和浩特模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析對于A，一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行，故A不正確；對于B，一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故B不正確；對于C，兩個平面中的兩條直線平行，不能保證兩個平面平行，故C不正確；對于D，如圖，在直線b上取點B，過點B和直線a確定一個平面γ，交平面β于a′，因為a∥β，所以a∥a′，又a′?α，a?α，所以a′∥α，又因為b∥α，b∩a′＝B，b?β，a′?β，所以β∥α.3．(2022·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)，則()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四邊形MNEF為平行四邊形D．四邊形MNEF為梯形答案D解析由于B，E，F(xiàn)三點共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，故A1B1，NE為異面直線，故B錯誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確．4．(2022·杭州模擬)已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．(多選)(2022·濟(jì)寧模擬)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，D，E，F(xiàn)為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面DEF平行的是()答案AC解析對于A，AB∥DE，AB?平面DEF，DE?平面DEF，∴直線AB與平面DEF平行，故A正確；對于B，如圖，取正方體所在棱的中點G，連接FG并延長，交AB延長線于H，則AB與平面DEF相交于點H，故B錯誤；對于C，AB∥DF，AB?平面DEF，DF?平面DEF，∴直線AB與平面DEF平行，故C正確；對于D，AB與DF所在平面的正方形對角線有交點B，DF與該對角線平行，∴直線AB與平面DEF相交，故D錯誤．6．(多選)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時，AE·AH為定值答案AD解析根據(jù)棱柱的特征(有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行)，結(jié)合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知B錯誤；因為A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABCD時，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯誤；當(dāng)容器傾斜如題圖(3)所示時，因為水的體積是不變的，所以棱柱AEH－BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確．7．考查①②兩個命題，①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α，它們都缺少同一個條件，補上這個條件就可以使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為直線，α為平面)，則此條件為__________．答案l?α解析①由線面平行的判定定理知l?α；②由線面平行的判定定理知l?α.8.如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件______，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.證明如圖．(1)取B1B的中點M，連接HM，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1.又MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連接OE，OD1，則OE綉eq\f(1,2)DC.又D1G綉eq\f(1,2)DC，∴OE綉D1G.∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴EG∥D1O.又D1O?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，由題意易證B1D1∥BD.又B1D1，HD1?平面B1D1H，BF，BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)如圖，連接EC，因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AE，BC＝AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點．又因為F是PC的中點，所以FO∥AP，因為FO?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，因為F，H分別是PC，CD的中點，所以FH∥PD，因為PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因為O是BE的中點，H是CD的中點，所以O(shè)H∥AD，因為AD?平面PAD，OH?平面PAD，所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因為GH?平面OHF，所以GH∥平面PAD.11．(多選)已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線．下列命題正確的是()A．如果m∥n，n?α，那么m∥αB．如果m∥α，m?β，α∩β＝n，那么m∥nC．如果α∥β，m?α，那么m∥βD．如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β答案BC解析如果m∥n，n?α，那么m∥α或m?α，故A不正確；如果m∥α，m?β，α∩β＝n，那么m∥n，這就是線面平行推得線線平行的性質(zhì)定理，故B正確；如果α∥β，m?α，那么m∥β，這就是利用面面平行推線面平行的性質(zhì)定理，故C正確；缺少m?α這個條件，故D不正確．12．(2022·福州檢測)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點，則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析過點E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點)，連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點Q，故A錯誤；∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正確；AP?平面ADD1A1，HG?平面ADD1A1，延長HG與PA必相交，故C錯誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交點Q，故D錯誤．13．(多選)(2022·臨沂模擬)如圖1，在正方形ABCD中，點E為線段BC上的動點(不含端點)，將△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D為直二面角，得到圖2所示的四棱錐B－AECD，點F為線段BD上的動點(不含端點)，則在四棱錐B－AECD中，下列說法正確的有()圖1圖2A．B，E，C，F(xiàn)四點不共面B．存在點F，使得CF∥平面BAEC．三棱錐B－ADC的體積為定值D．存在點E使得直線BE與直線CD垂直答案AB解析對于A，假設(shè)直線BE與直線CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又因為E在折前線段BC上，BC∩平面BCF＝C，所以E與C重合，與E異于C矛盾，所以直線BE與直線CF必不在同一平面上，即B，E，C，F(xiàn)四點不共面，故A正確；對于B，如圖，當(dāng)點F為線段BD的中點，EC＝eq\f(1,2)AD時，直線CF∥平面BAE，證明如下：取AB的中點G，連接GE，GF，則EC∥FG且EC＝FG，所以四邊形ECFG為平行四邊形，所以FC∥EG，又因為EG?平面BAE，則直線CF與平面BAE平行，故B正確；對于C，在三棱錐B－ADC中，因為點E的移動會導(dǎo)致點B到平面ACD的距離發(fā)生變化，所以三棱錐B－ADC的體積不是定值，故C不正確；對于D，過D作DH⊥AE于H，因為平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，若存在點E使得直線BE與直線CD垂直，DH?平面AECD，且DC?平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，與△ABE是以B為直角的三角形矛盾，所以不存在點E使得直線BE與直線CD垂直，故D不正確．14．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝eq\r(3)，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，C1D1的中點，點P在平面ABCD內(nèi)，若直線D1P∥平面EFG，則線段D1P長度的最小值是________．答案eq\f(\r(7),2)解析如圖，連接D1A，AC，D1C.因為E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1的中點，所以AC∥EF，又EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，則EF∥平面ACD1.同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因為直線D1P∥平面EFG，所以點P在直線AC上．在△ACD1中，易得AD1＝eq\r(2)，AC＝2，CD1＝2，所以＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)，故當(dāng)D1P⊥AC時，線段D1P的長度最小，最小值為eq\f(\f(\r(7),2),\f(1,2)×2)＝eq\f(\r(7),2).15．(2022·合肥市第一中學(xué)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運動，且PA1∥平面AMN，則PA1的長度范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))答案B解析取B1C1的中點E，BB1的中點F，連接A1E，A1F，EF，取EF的中點O，連接A1O，如圖所示，∵點M，N分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，∴AM