2025版新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．直線l：y＝k(x－1)＋1和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系為(A)A．相交 B．相切或相交C．相離 D．相切[解析]由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，所以圓心為(0,1)，半徑為1.因?yàn)閳A心(0,1)到直線l：y＝k(x－1)＋1的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－k－1＋1)),\r(k2＋1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k)),\r(k2＋1))<1，所以直線l：y＝k(x－1)＋1和圓x2＋y2－2y＝0相交．2．已知直線ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正數(shù))與圓x2＋y2＝1相切，則以a、b、c為三邊長(zhǎng)的三角形是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不存在[解析]由題意，得eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，∴a2＋b2＝c2，故選B.3．一輛貨車寬1.6米，要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為(B)A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米[解析]以半圓直徑所在直線為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．易知半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，由圖可知，當(dāng)貨車恰好在隧道中間行走時(shí)車篷最高，此時(shí)x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(負(fù)值舍去)．4．若圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對(duì)稱，則由點(diǎn)M(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是(A)A.eq\r(10) B．3eq\r(2)C．eq\r(26) D．2eq\r(2)[解析]由圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對(duì)稱，得圓心(－1,2)在直線2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，點(diǎn)M(a，b)到圓心的距離為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－2))2)，則由點(diǎn)M(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－2))2－8)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))2＋10)，當(dāng)a＝2時(shí)，所求的切線長(zhǎng)取得最小值為eq\r(10)，故選A.5．(2024·全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(C)A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．72[解析]將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2,1)，半徑為3的圓．設(shè)z＝x－y，數(shù)形結(jié)合知，只有當(dāng)直線x－y－z＝0與圓相切時(shí)，z才能取到最大值，此時(shí)eq\f(|2－1－z|,\r(2))＝3，解得z＝1±3eq\r(2)，故z＝x－y的最大值為1＋3eq\r(2)，故選C.二、填空題6．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)有_3__個(gè)．[解析]圓心(3,3)到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,5)＝2，又r＝3，故有三個(gè)點(diǎn)到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1.7．已知圓C的圓心與點(diǎn)(－2,1)，關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為_x2＋(y＋1)2＝18__.[解析]設(shè)點(diǎn)(－2,1)關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,2)＝\f(a－2,2)＋1，,\f(b－1,a＋2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－1，))即圓心C(0，－1)．又圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離為eq\f(|3×0＋4×－1－11|,\r(32＋42))＝3，從而圓的半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＋32)＝3eq\r(2).故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.8．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為緊急區(qū)，城市B在A地正東40km處，則城市B處于緊急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_1__h.[解析]如圖，以A地為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓內(nèi)MN之間(含端點(diǎn))為緊急區(qū)，取MN的中點(diǎn)E，連接BE，BN，BM，則BE⊥MN，BN＝BM，△ABE為等腰直角三角形，因?yàn)锳B＝40，所以BE＝20eq\r(2)km，在Rt△BEN中，NE＝eq\r(BN2－BE2)＝10，則|MN|＝20，所以時(shí)間為1h.三、解答題9．從下面三個(gè)條件中任選兩個(gè)，依據(jù)你選擇的條件確定直線l，并推斷直線l與圓C：(x－2)2＋y2＝4的位置關(guān)系．①直線l過點(diǎn)(－2,0)；②直線l的斜率為eq\f(\r(3),3)；③直線l在x軸和y軸上的截距相等．[解析]方案一：選擇條件①②.由題意知直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，即x－eq\r(3)y＋2＝0，圓C的圓心為C(2,0)，半徑為r＝2.所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－0＋2)),\r(1＋3))＝2，因?yàn)閐＝r，所以直線l與圓C相切．方案二：選擇條件①③.由題意知直線l在x軸和y軸上的截距都為－2，所以直線l的方程為eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋y＋2＝0.易知圓C的圓心為C(2,0)，半徑為r＝2，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋0＋2)),\r(1＋1))＝2eq\r(2).因?yàn)閐>r，所以直線l與圓C相離．方案三：選擇條件②③.由題意知直線l必過原點(diǎn)，所以直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，即x－eq\r(3)y＝0.易知圓C的圓心為C(2,0)，半徑為r＝2，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－0)),\r(1＋3))＝1.因?yàn)閐<r，所以直線l與圓C相交．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)(2024·廣東汕頭期中)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，則下列命題正確的是(ABD)A．直線l過定點(diǎn)(3,1)B．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(6)C．直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線l的方程為2x－y－5＝0D．直線l與圓C確定相交[解析]直線l的方程可化為m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以直線l過定點(diǎn)(3,1)，故A正確；在圓的方程中，令x＝0，得1＋(y－2)2＝25，從而y＝2±2eq\r(6)，所以圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(6)，故B正確；直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線l過圓心(1,2)，從而m＝－eq\f(1,3)，此時(shí)直線方程為eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)y－eq\f(5,3)＝0，即x＋2y－5＝0，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以(3,1)在圓內(nèi)，直線l與圓C確定相交，故D正確．故選ABD.2．直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(A)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][解析]∵直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2eq\r(2)，∵點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，∴圓心為(2,0)，則圓心到直線距離d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的范圍為[eq\r(2)，3eq\r(2)]，則S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2,6]．故選A.3．已知曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(5,12)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))[解析]曲線y＝1＋eq\r(4－x2)可化為x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，所以y＝1＋eq\r(4－x2)表示以(0,1)為圓心，2為半徑的圓的上半部分，直線y＝k(x－2)＋4恒過定點(diǎn)(2,4)，設(shè)為A，可得圖象如圖所示．當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4為圓的切線時(shí)，可得圓心到直線的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－2k)),\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)；當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4過點(diǎn)B(－2,1)時(shí)，k＝eq\f(4－1,2＋2)＝eq\f(3,4).由圖象可知，當(dāng)y＝k(x－2)＋4與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4)，故選D.二、填空題4．如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為2eq\r(51)m.[解析]以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A、B，則由已知得A(6，－2)．設(shè)圓的半徑為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.①將點(diǎn)A的坐標(biāo)(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.②當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x0，－3)(x0＞0)，將A′的坐標(biāo)(x0，－3)代入方程②，得x0＝eq\r(51).∴水面下降1m后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)m.5．(2024·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).[解析]由題意知點(diǎn)A(－2,3)關(guān)于直線y＝a的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－2,2a－3)，所以kA′B＝eq\f(3－a,2)，所以直線A′B的方程為y＝eq\f(3－a,2)x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由題意知直線A′B與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，易知圓心為(－3，－2)，半徑為1，所以eq\f(|－33－a＋－2×－2＋2a|,\r(3－a2＋－22))≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).三、解答題6．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R.(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．[解析](1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴方程表示圓時(shí)，m<5.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2y，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))得5y2－16y＋m＋8＝0，∴y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5).代入①得m＝eq\f(8,5).(3)以MN為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，∴所求圓的方程為x2＋y2－eq\f(8,5)x－eq\f(16,5)y＝0.C組·實(shí)力拓展一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處，假如