2023-2024學年江蘇省南京市江寧區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年江蘇省南京市江寧區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={?2,?1,0,1,2}，N={x|x2?x?2≤0}，則M∩N=A.{?1,0} B.{0,1} C.{?1,0,1,2} D.{?2,?1,0,1}2.樣本數(shù)據(jù)36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位數(shù)為(

)A.16 B.21 C.22 D.23.53.若(x?ax2)6展開式中的常數(shù)項為60A.2 B.±2 C.4 D.±44.“m=12”是“兩條直線x+2my?1=0，(3m?2)x?my?1=0”平行的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知單位向量a，b滿足|a?b|=3，則aA.π6 B.π3 C.2π36.某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球，連續(xù)摸兩次.記R1=“第一次摸球時摸到紅球”，G1=“第一次摸球時摸到綠球”，R2=“第二次摸球時摸到紅球”，G2=A.R1與R2為互斥事件 B.P(G)=P(G1)+P(G7.已知△ABC中AB=2，BC=5，cosB=?1010，則將A.π B.2π C.3π D.4π8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別F1，F(xiàn)2.A是C上一點(在第一象限)，直線AF2A.y=±255x B.y=±二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z1，z2，下列說法正確的有(

)A.若z1=z2?，則z1?=z2 B.若z110.若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則(

)A.log2a+log2b≤?2 B.2a11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AAA.平面EBD⊥平面BDC1

B.任意λ∈[0,1]，三棱錐F?BDE的體積是定值

C.△BDF周長最小值為2+22+23

D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在等差數(shù)列{an}中，a2=1，a1013.即將暑假，小明一家5人計劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位.家人中只有小明和哥哥不會開車，且小明未成年只能坐在后排，則一共有______種不同的乘坐方式．14.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上為增函數(shù)，則記為f(x)[a,b]；函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)，則記為f(x)[a,b].如果f(x)=sin(2x?π3)且f(x)[a,b]，則實數(shù)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acosA=bcosB，C=2π3．

(1)求A；

(2)若△ABC面積為33416.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax+1(其中a為常數(shù))．

(1)當a=?1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD滿足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=0.5，E為SB中點．

(1)求證：AE/?/面SCD；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值．18.(本小題17分)

在直角坐標系xOy中，動圓經(jīng)過點(0,14)且與直線y=?14相切，記動圓圓心的軌跡為曲線C.直線y=x+b(其中b為非零常數(shù))與曲線C交于A，B兩點，設曲線C在點A，B處的切線分別為l1和l2，已知l1和l2分別與x軸交于點M，N.l1與l2的交點為T．

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)求點T的橫坐標；19.(本小題17分)

2024年5月28日，南京首家開市客超市開業(yè)，開市客超市是一家會員制超市，辦了會員便可以攜同伴進入購物.據(jù)統(tǒng)計，開業(yè)第一天人流量超過三萬人，且大多組團來逛超市，如果單獨一人逛超市，則視此人為單獨一個團體.其中34的團體擁有一張會員卡，結賬時將會收到超市贈送的精美布袋一個；另外14的團體擁有兩張及以上會員卡，結賬時將會收到超市贈送的精美布袋兩個.假設每個團體之間相互獨立，且將頻率看作概率．

(1)隨機抽取3個團體，記3個團體收到超市贈送的精美布袋總個數(shù)為X，求X的分布列和期望；

(2)將i個團體獲贈精美布袋總個數(shù)為i+1個的事件概率記為P(i)，求i=1nP(i)；

(3)如果你是開市客超市負責人，預計某時間段有100參考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.ABC

11.AD

12.9

13.54

14.π2

[?6,?3]∪[1,2]15.解：(1)根據(jù)acosA=bcosB，由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，

所以2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，

結合A、B為三角形的內(nèi)角，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B，或A+B=π2．

因為△ABC中，A+B=π?C=π3，所以A+B=π2不成立，即A=B=π?C2=π6，

綜上所述，角A的大小為π6．

(2)由(1)的結論A=B，可得a=b，

根據(jù)題意，△ABC面積S=12absinC=334，即12a2sin2π3=334，

可得16.解：(1)當a=?1時，f(x)=lnx+1x(x>0)，f′(x)=x?1x2，

令f′(x)>0解得x>1；所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+?)，

令f′(x)<0解得0<x<1，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．

(2)f(x)=lnx?ax+1(1≤x≤2)，f′(x)=x+ax2，

①當a≥0時，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=1?a；

②當?1≤a<0時，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=1?a；

③當?2<a<?1時，令f′(x)>0和f′(x)<0分別解得?a<x和?a>x，

則f(x)在[1,?a]上單調(diào)遞減，[?a,2]單調(diào)遞增，f(x)min=f(?a)=ln(?a)+2；

④當a≤?2時，f′(x)<0，f(x)在17.解：(1)證明：取SC的中點設為F，連接EF、DF，由題意可知E、F分別為SB、SC的中點，

則EF/?/BC，且EF=12BC=12

∵AB⊥AD，AB⊥BC，AD=12，BC=1，

∴AD/?/BC

且AD=12BC，

∴AD/?/EF且AD=EF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AE/?/DF，

且AE?面SCD，DF?面SCD，

∴AE/?/面SCD；

(2)由題可知SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，故SA、AB、AD兩兩垂直，

則以A為原點，AD、AB、AS分別為x、y、z軸正方向建系，

A(0,0,0)，D(12,0,0)，S(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，E(0,12,12)，

CD=(?12,?1,0)，SC=(1,1,?1)，

易知AD⊥平面SAB，則面SAB法向量為AD=(12,0,0)，

設面SCD18.解：(1)因為動圓經(jīng)過點(0,14)且與直線y=?14相切，

所以圓心C到點(0,14)的距離等于圓心C到與直線y=?14的距離，

故曲線C的軌跡為拋物線，且以(0,14)為焦點，以y=?14為準線，

故曲線C的軌跡方程為：x2=y；

(2)由y=x2得y′=2x，設A(x1,x12)，B(x2,x22)，T(xT,yT)，

所以直線l1：

y?x12=2x1(x?x1)，直線l2：

y?x22=2x2(x?x2)，

聯(lián)立直線和拋物線y=x+by=x2，消去y得：x2?x?b=0，則Δ=1+4b>0，即b>?14，

故x1+x2=1，x1?x2=?b，

聯(lián)立y?x12=2x119.解：(1)根據(jù)題意，獲得一份精美布袋概率為34，獲得兩份精美布袋概率為14，

則精美布袋個數(shù)X的可能取值為3，4，5，6，

其中P(X=3)=(34)3=2764，

P(X=4)=C3X3456P272791E(X)=3×2764+4×2764+5×9