華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(四)相似三角形判定的六種常見模型課件

九年級(jí)

上冊(cè)華東師大版初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練（四）相似三角形判定的六種常見模型模型一平行線型模型展示條件:DE∥BC.結(jié)論:△ADE∽△ABC.

1.(2023四川樂山中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是線段

AB上一點(diǎn),連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F.若

=

,則

=

.

解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∵

=

,∴設(shè)AE=2a,則BE=3a,∴AB=CD=5a,∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴

=

=

,∴

=

.2.(2023廣東揭陽中考)邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接

在一起,它們的底邊在同一直線上(如圖),則圖中陰影部分的

面積為

.15解析∵三個(gè)四邊形都是正方形,∴BF∥DE,∴△ABF∽△

ADE,∴

=

,∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴

=

,∴BF=2,∴GF=6-2=4,∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴

=

,∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴

=

,∴CK=5,∴HK=6-5=1,∴陰影部分的面積=

(HK+GF)·GH=

×(1+4)×6=15.模型二斜交型模型展示條件:∠1=∠2.結(jié)論:△ADE∽△ABC.

3.(新考向·開放型試題)(2024湖南邵陽邵東月考)如圖,已知AC、BD相交于點(diǎn)O,若補(bǔ)充一個(gè)條件后,便可得到△AOB∽△DOC,則要補(bǔ)充的條件可以是

.

答案不唯一,如∠A=∠D解析補(bǔ)充條件∠A=∠D時(shí),∵∠AOB=∠COD,∠A=∠D,∴△AOB∽△DOC.4.(2024河南駐馬店汝南模擬)已知:在△ABC中,BD,CE分別

是AC,AB邊上的高,連結(jié)ED,求證:△ABC∽△ADE.

證明設(shè)BD與CE交于點(diǎn)O,∵BD,CE分別是AC,AB邊上的高,

∴∠BEC=∠BDC=90°,∵∠BOE=∠COD,∴∠ABD=∠ACE,

∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE,∴

=

,∴

=

,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE.模型三雙垂直型模型展示條件:∠ACB=90°,CD⊥AB.結(jié)論:△ADC∽△ACB∽△CDB.

5.(2023湖南湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊

BC上的高.(1)證明:△ABD∽△CBA;(2)若AB=6,BC=10,求BD的長.

解析

(1)證明:∵AD是斜邊BC上的高,∴∠BDA=90°,∵∠

BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA.(2)由(1)知△ABD∽△CBA,∴

=

,∴

=

,∴BD=3.6.模型四一線三等角模型模型展示(1)同側(cè)型:如圖1,已知∠A=∠CPD=∠B,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上

時(shí),易證△ACP∽△BPD.(2)異側(cè)型:如圖2,已知∠MAC=∠CPD=∠ABD,點(diǎn)P在線段AB

的延長線上時(shí),易證△ACP∽△BPD.

圖1

圖26.(2023湖南邵陽中考)如圖,CA⊥AD,ED⊥AD,點(diǎn)B是線段AD

上的一點(diǎn),且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.(1)證明:△ABC∽△DEB;(2)求線段BD的長.

解析

(1)證明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE

=∠D=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=

∠DBE,∴△ABC∽△DEB.(2)∵△ABC∽△DEB,∴

=

,∴

=

,∴BD=3.模型五母子型模型展示條件:∠A=∠A,∠ACD=∠B.結(jié)論:△ACD∽△ABC.

7.(2024河南南陽南召期中)如圖,△ABC中,AD是中線,BC=8,

∠B=∠DAC,求線段AC的長.

解析∵AD是中線,BC=8,∴BD=CD=4,在△CBA和△CAD

中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,∴

=

,∴AC2=CD·BC=4×8=32,∴AC=4

.模型六旋轉(zhuǎn)型模型展示條件:DE∥BC,將△ADE旋轉(zhuǎn)后,連結(jié)CE、BD.結(jié)論:(1)△ADE∽△ABC;(2)△ABD∽△ACE.

8.(2023湖南常德中考改編)如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,

AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn),且AD=2,過點(diǎn)D作DE∥BC交AC

于E,將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,求圖2中

的值.

圖1

圖2解析∵∠ABC=90°,AB=8,