華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(七)求銳角三角函數(shù)值的三種常用方法練課件

九年級(jí)上冊(cè)

數(shù)學(xué)華東師大版專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(七)求銳角三角函數(shù)值的三種常用方法(練方法)方法一設(shè)參法1.(2023山東泰安新泰月考,12,★★☆)如圖,在△ABC中,∠A=30°,E為AC上一點(diǎn),

且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB于F,連結(jié)FC,則tan∠CFB的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

C解析C如圖,作CD⊥AB,垂足為D,則EF∥CD,

∵AE∶EC=3∶1,∴設(shè)EC=x,AE=3x,∵sinA=sin30°=EF∶AE=1∶2,∴EF=

x,∵cosA=cos30°=AF∶AE=

,∴AF=

x.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD,

=

=3,∴

=

=

,FD=

=

x,∴CD=

EF=2x,∴tan∠CFB=

=

.故選C.2.[易錯(cuò)題](2023云南文山丘北一模,16,★★☆)在Rt△ABC中,若AB=2AC,則cos

B=

.?或?解析當(dāng)AB是斜邊時(shí),∵sinB=

=

,∴∠B=30°,∴cosB=

;當(dāng)AB是直角邊時(shí),設(shè)AC=x,則AB=2x,∴BC=

=

x,∴cosB=

=

=

.綜上,cosB=

或

.3.(★☆☆)如圖,在正方形ABCD中,M是AD的中點(diǎn),BE=3AE,試求sin∠ECM的

值.

解析設(shè)AE=x,則BE=3AE=3x,∴AB=AE+BE=x+3x=4x,∵四邊形ABCD為正方

形,∴AB=BC=CD=AD=4x,∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴AM=DM=2x,∴EC=

=5x,EM=

=

x,CM=

=2

x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∴sin∠ECM=

=

.4.(★★☆)已知a,b,c是△ABC的三邊長,a,b,c滿足等式b2=(c

+a)(c-a),且5b-4c=0,求sinA+sinB的值.解析∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∵5b-4c=0,∴

=

,設(shè)b=4k,則c=5k,∴a=

=

=3k,∴sinA+sinB=

+

=

+

=

+

=

.新考向代數(shù)推理方法二等角轉(zhuǎn)換法5.(2023江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)期中,5,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果

BD=9,DC=5,cosB=

,E為AC的中點(diǎn),那么sin∠EDC的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

C解析C在Rt△ABD中,cosB=

=

,BD=9,∴AB=15,由勾股定理得AD=

=

=12,在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=

=

=13,∵E為AC的中點(diǎn),∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴sin∠EDC=sinC=

=

.故選C.6.(★☆☆)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若AD∶CD=4∶3,則

tanB=

.

`

解析∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵AD∶CD=4∶3,∴tanB=tan∠CAD=

=

.7.(2023內(nèi)蒙古烏蘭察布集寧模擬,18,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=

8.若∠BPC=

∠BAC,則tan∠BPC=

.

解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,

∵AB=AC=5,∴BE=

BC=

×8=4,∠BAE=

∠BAC,∵∠BPC=

∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE=

=

=3,∴tan∠BPC=tan∠BAE=

=

.8.(2023江蘇揚(yáng)州邗江一模,17,★★☆)如圖所示的是由邊長均為1的小正方形組

成的網(wǎng)格,A,B,C,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,線段AB,CD相交于點(diǎn)E,則tan

∠DEB=

.

2解析如圖,過點(diǎn)D作DF∥AB,連結(jié)CF.

∵DF∥AB,∴∠DEB=∠FDC.∵DF=

=

=2

,CD=

=

=2

,

CF=

=

=4

,(2

)2+(4

)2=(2

)2,∴DF2+CF2=CD2,∴∠DFC=90°.在Rt△CDF中,tan∠FDC=

=

=2,∴tan∠DEB=tan∠FDC=2.9.(2023湖北黃岡浠水二模,13,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB

的中點(diǎn),連結(jié)CD,過點(diǎn)B作CD的垂線,交CD的延長線于點(diǎn)E.若AC=30,cosA=

,則cos∠DBE=

.

解析如圖,過點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為F,

在Rt△ABC中,AC=30,cosA=

,∴AB=

=

=50,∴BC=

=

=40,∵D是AB的中點(diǎn),∴CD=

AB=25,∵△ABC的面積=

AB·CF=

AC·CB,∴AB·CF=AC·CB,∴50CF=30×40,∴CF=24,在Rt△CDF中,cos∠DCF=

=

,∵BE⊥CE,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°,∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cos∠DBE=cos∠DCF=

.

10.(2023江蘇常州期末,16,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中

點(diǎn),CE⊥AD,垂足為E,連結(jié)BE.若tan∠CAD=

,則sin∠BED=

.

解析∵CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°,∵∠CDE=∠ADC,∴△CDE∽△ADC,∴

=

,∴CD2=DE·AD,∵D是BC的中點(diǎn),∴BD=CD,∴BD2=DE·AD,∴

=

,又∵∠ADB=∠BDE,∴△BDE∽△ADB,∴∠BED=∠ABC.∵tan∠CAD=

,∴

=

,∵D是BC的中點(diǎn),∴CB=2CD,∴

=

,設(shè)AC=4x,則CB=3x,∴AB=

=5x,∴sin∠BED=sin∠ABC=

=

=

.方法三構(gòu)造直角三角形法11.(2022山東濟(jì)寧泗水二模,9,★★☆)如圖,延長Rt△BAD的斜邊BD到點(diǎn)C,使

DC=

BD,連結(jié)AC,若tan∠ADB=

,則tan∠CAD的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析B如圖,過點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長線于E,

在Rt△BAD中,tan∠ADB=

,∴

=

,∴可設(shè)AB=3a,AD=4a,則BD=

=

=5a,∵CE⊥AD,BA⊥AD,∴BA∥CE,∴△BAD∽△CED,∴

=

=

,∵DC=

BD,∴DE=

AD=2a,CE=

AB=

a,∴AE=AD+DE=6a,∴tan∠CAD=

=

=

.故選B.12.(2023浙江紹興嵊州期末,8,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,

AC=8,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),且

=

,則sin∠DBC的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析B如圖,過D作DE⊥BC,垂足為E,

∵

=

,∴AD=3CD,∵AC=AD+CD,∴8=3CD+CD,∴CD=2,∴AD=6,∵AB=6,∠BAC=90°,∴BD=

=6

.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC=

=10,∵sinC=

=

,∴

=

,∴DE=

,∴sin∠DBC=

=

=

.故選B.13.(2022遼寧沈陽皇姑期中,15,★★☆)如圖所示的是由6個(gè)形狀、大小完全相

同的菱形組成的網(wǎng)格,菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),已知菱形的一個(gè)角(如∠O)為60°,點(diǎn)

A、B、C都在格點(diǎn)上,則sin∠ABC的值是

.

解析如圖,連結(jié)EA,EC,

設(shè)組成網(wǎng)格的小菱形的邊長為a,由題意可得∠AEF=30°,∠CEF=60°,易得AE=2

cos30°·a=

a,EC=a,∠AEC=90°,∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°,∴∠ECB=180°,∴E、C、B三點(diǎn)共線,在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AE=

a,BE=2CE=2a,∴AB=

=

a,∴sin∠ABC=

=

=

.14.(2022上海浦東新區(qū)期中,21,★★☆)如圖,在△ABC中,CD是邊AB上的高,AE

是BC邊上的中線,已知AD=8,BD=4,cos∠ABC=

.(1)求CD的長.(2)求tan∠EAB的值