銜接點(diǎn)01 乘法公式（解析版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

銜接點(diǎn)01乘法公式1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意義和應(yīng)用2、能夠熟練的運(yùn)用平方差公式，完全平方公式展開(kāi)與化簡(jiǎn)3、掌握立方和，立方差公式，并能靈活展開(kāi)與化簡(jiǎn)4、掌握三數(shù)和公式展開(kāi)過(guò)程，并能靈活應(yīng)用1、初中知識(shí)再現(xiàn)（1）平方差公式：；注意公式的正逆應(yīng)用.（2）完全平方公式：（3）高頻應(yīng)用方式：①②③④⑤⑥2、高中相關(guān)知識(shí)（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）兩數(shù)和立方公式：過(guò)程：（4）兩數(shù)差立方公式：過(guò)程：（5）三數(shù)和平方公式：過(guò)程：對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：平方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由長(zhǎng)方形的面積公式可得，．故選：．例題2．（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，能用平方差公式計(jì)算，因此選項(xiàng)A符合題意；B．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．，能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：A例題3．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】【分析】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．精練1．（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）下列不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平方差公式：，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）；公式中的和可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．據(jù)此依次對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷．【詳解】解：A．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，不能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)符合題意；C．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．（23-24六年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）已知，，則．【答案】5【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)事解決本題的關(guān)鍵．利用平方差公式，代入即可算出．【詳解】解：由把代入得∴．故答案為：5．3．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式．熟練掌握整式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式是解題的關(guān)鍵．利用平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，然后進(jìn)行加減運(yùn)算可得化簡(jiǎn)結(jié)果，最后代值求解即可．【詳解】解：，將代入原式．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：完全平方公式的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：數(shù)學(xué)計(jì)算中常利用公式變形求解，例如“已知，，求的值．”可以這樣解：將完全平方公式變形得到．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決問(wèn)題：如圖，已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用．熟練掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，解得，，∴，故選：A．例題2．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）若，則的值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】本題考查了完全平方公式，熟練運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)，變形后根據(jù)完全平方公式即可解答．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．例題3．（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）讀材料，解答下列問(wèn)題：若，求的值．小明的解題方法：，，∴10．小亮的解題方法：設(shè)：，，則，∴．(1)任選材料中一種方法解答：若，求的值；(2)如圖1，長(zhǎng)方形空地，米，米，在中間長(zhǎng)方形上安放雕塑，四周剩余的寬度相同，設(shè)該寬度為x米，則長(zhǎng)方形中，米，米（用含x的代數(shù)式表示）；(3)在（2）的條件下，如圖2，以長(zhǎng)方形四邊為直徑在形外做半圓，在四個(gè)半圓里種花，若長(zhǎng)方形的面積為平方米，求種花的面積．（結(jié)果保留π）【答案】(1)(2)，(3)平方米【分析】本題綜合考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握公式的形式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，；根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)、即可求解；（3）由題意得、，可得，根據(jù)種花的面積即可求解【詳解】（1）解：設(shè)，則，，∴∴；（2）解：由圖可知：（米）；（米）；故答案為：，（3）解：由題意得：由（2）可得：∵∴種花的面積(平方米)精練1．（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下圖，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不添加輔助線(xiàn)，便可得到一個(gè)熟悉的公式，這個(gè)公式是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查完全平方公式的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法進(jìn)行求解驗(yàn)證．根據(jù)兩次求面積的方法即可求解．【詳解】正方形的面積可以表示為，正方形的面積還可以表示為，∴．故選：C．2．（2023·吉林四平·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】【分析】本題考查整式運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，再合并同類(lèi)項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，代值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．3．（2023·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算及完全平方公式的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟練運(yùn)用．（1）依據(jù)題意，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得解．（2）利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【詳解】解：（1）；（2）．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24八年級(jí)上·北京·期中）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為；當(dāng)時(shí)分式的值為．【答案】2【分析】先利用將后式的分母化簡(jiǎn)，然后約分，最后進(jìn)行減法運(yùn)算，代入，計(jì)算即可．【詳解】原式，把代入原式．故答案為：，2．【點(diǎn)睛】本題主要考分式加減以及化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握分式加減的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例題2．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期中）楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式．方法提取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對(duì)式子a3﹣b3進(jìn)行如下推導(dǎo)：．對(duì)于，稱(chēng)為立方差公式．公式推導(dǎo)（1）請(qǐng)參考“立方差公式”的推導(dǎo)過(guò)程推導(dǎo)立方和公式：．學(xué)以致用（2）請(qǐng)靈活運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解：①；②．③【答案】（1）；（2）①；②；③【分析】本題主要考查了因式分解和分式的化簡(jiǎn)，（1）公式推導(dǎo)原式利用立方和定義分解即可；（2）①原式利用立方差公式分解即可；②原式利用立方和公式分解即可；③利用立方和公式、完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）；（2）①原式；②原式；③原式=．例題3．（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：．根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題(1)因式分解：；(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，5【分析】（1）根據(jù)材料給出的立方差公式，分解因式即可；（2）根據(jù)材料給出的立方差公式，先對(duì)分式進(jìn)行因式分解，化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】（1））原式（2）原式=．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式、分式化簡(jiǎn)求值，掌握立方差公式的應(yīng)用，讀懂材料是解題關(guān)鍵．例題4．（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式。兩數(shù)的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），這個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．(1)利用上述方法推導(dǎo)立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（從左往右推導(dǎo)）；(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．【答案】(1)(a+b)(a2﹣ab+b2)(2)3；【分析】（1）仿照材料給出的推導(dǎo)過(guò)程，將分成，即可求解；（2）根據(jù)a+b=1，ab=-1，利用完全平方公式即可求出，進(jìn)而可求出，依據(jù)a＞b，可得，則依據(jù)材料中即可求解．【詳解】（1）；（2）∵，a+b=1，ab=-1，∴；∵，∴，∵a＞b，∴，∴．即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用材料給出的推理過(guò)程是解答本題的關(guān)鍵．精練1．（23-24七年級(jí)上·上海松江·期中）利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：（1）=；=．在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問(wèn)題：（2）；（直接寫(xiě)出答案）（3）；（直接寫(xiě)出答案）（4）；（寫(xiě)出解題過(guò)程）【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198【分析】（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則展開(kāi)計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式變形，再代入求值；（3）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；（4）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；【詳解】解：（1）====，故答案為：，；（2）===6；（3）====14；（4）====198【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322【分析】根據(jù)已知條件中的公式分解即可．【詳解】（1）因式分解：a9＋b9＝（a3）3＋（b3）3＝（a3＋b3）（a6?a3b3＋b6）＝（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）因式分解：a6?b6＝（a2）3?（b2）3＝（a2?b2）（a4＋a2b2＋b4）＝（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝7，∴a6＋b6=（a2＋b2）（a4?a2b2＋b4）＝[（a＋b）2?2ab][（a2＋b2）2?2a2b2?a2b2]＝7×（49?3×1）＝322．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵．3．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）閱讀理解題：拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有時(shí)需要多次實(shí)驗(yàn)才能成功，例如把分解因式，這是一個(gè)三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為零，本題既沒(méi)有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1和3，原式就變成，再利用立方和與平方差先分解，解法如下：原式公式：，根據(jù)上述論法和解法，（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）因式分解：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將原式拆成，然后分別利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；（2）將原式拆成，然后前兩項(xiàng)利用立方差公式因式分解，后兩項(xiàng)提取公因式即可確定答案；（3）將原式拆成，然后利用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：（1）（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度不大．4．（23-24·湖南湘潭·）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：

；根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】2【分析】根據(jù)題目中的公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．第01講乘法公式(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24六年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）下列等式能夠成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵：．【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算正確，符合題意；D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·福建漳州·階段練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查平方差公式，根據(jù)平方差公式的形式：，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，該選項(xiàng)不符合題意；B、，該選項(xiàng)不符合題意；C、該選項(xiàng)不符合題意；D、符號(hào)平方差公式，該選項(xiàng)符合題意．故選：D3．（23-24八年級(jí)上·貴州黔南·階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證等式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，分別表示出圖甲和圖乙中的陰影部分面積，再根據(jù)圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，即可得到答案．【詳解】解：圖甲中陰影部分面積等于大正方形面積減去小正方形面積，即為；圖乙中陰影部分面積為一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即為；∵圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，∴，故選：C．4．（23-24七年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）下列各式，能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；B、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；C、，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；D、，能用平方差公式計(jì)算，符合題意；故選D．5．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）下列各式，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了乘法公式，根據(jù)乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：A．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；B．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；C．，故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；D．，故不能用平方差公式計(jì)算，符合題意．故選：D．6．（23-24八年級(jí)上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）多項(xiàng)式加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式不能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：多項(xiàng)式加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是,不能是,故選：C．7．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）若多項(xiàng)式是完全平方式，則的值為（

）A．16 B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查完全平方式．根據(jù)可確定是的倍即可．【詳解】．故選：C．8．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）由可得，即①，我們把等式①叫做多項(xiàng)式乘法的立方公式．下列應(yīng)用這個(gè)立方公式進(jìn)行的變形不正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)立方公式及題意逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握立方和或立方差公式是正確判斷的前提．二、填空題9．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）若是完全平方式，則的值是．【答案】【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴，故答案為：．10．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知：，且，則