2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分2-6-1-平面向量 1

第第頁(yè)2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分2-6-1——平面向量1試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！镀矫嫦蛄俊分饕诸愑校壕€性運(yùn)算，數(shù)量積，數(shù)量積——最值范圍分析，夾角，共線，垂直，求模，求模——最值范圍分析，投影向量，分解代換，最值范圍分析，拓展，綜合等，大概162道題。線性運(yùn)算：（2024年粵J19執(zhí)信沖刺）3.已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（【答案】A【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?故選：A.【答案】A【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?故選：A.數(shù)量積：（2024年魯J33濰坊三模）12．已知向量，若，則實(shí)數(shù)12．【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.【詳解】，，12．【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.【詳解】，，解得.故答案為：（2024年湘J46長(zhǎng)沙一中二模）3．在邊長(zhǎng)為1的正六邊形中，的值為（

3．B【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】如圖，，，所以.故選：B

）

A．2B．C．3．B【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】如圖，，，所以.故選：B（2024年粵J136茂名高州一模）14．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則14．9【分析】建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得到答案.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，.，14．9【分析】建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得到答案.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，.，，.故答案為：9.（2024年鄂J11四月模擬）1.設(shè)，，，則等于（【答案】C【解析】【分析】先求出坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選：C【答案】C【解析】【分析】先求出坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選：C（2024年蘇J25，J28揚(yáng)州泰州二調(diào)）1.已知單位向量，夾角為120°，則（【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.【詳解】.故選：A.）

A.B.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.【詳解】.故選：A.（2024年鄂J02八市聯(lián)考）2.若，，則（【答案】B【解析】【分析】利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題意可知，所以，故選：B）

A.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題意可知，所以，故選：B（2024年湘J21一起考一模）2.已知與的夾角為，則（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，故選：C．）

A.B.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，故選：C．（2024年魯J02荷澤一模）5.已知向量，，若，則（【答案】B【解析】【分析】由得到，結(jié)合得到方程組，求出，進(jìn)而得到余弦和正切值.【詳解】由得，又，故，即，【答案】B【解析】【分析】由得到，結(jié)合得到方程組，求出，進(jìn)而得到余弦和正切值.【詳解】由得，又，故，即，解得，故，故.故選：B（2024年蘇J22南通二調(diào)）1.已知單位向量，的夾角為120°，則（【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.【詳解】.故選：A.）

A.B.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.【詳解】.故選：A.數(shù)量積——最值范圍分析：（2024年湘J29邵陽(yáng)二聯(lián)考）5.“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出，，，四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出，，，四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，其中，所以，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，且,則，故，，則，因?yàn)?，所以，綜上，的取值范圍為.故選：C.（2024年浙J23適應(yīng)，末）14.如圖，邊長(zhǎng)為的正三角形的邊落在直線l上，中點(diǎn)與定點(diǎn)重合，頂點(diǎn)與定點(diǎn)重合.將正三角形沿直線l順時(shí)針滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在l上，再以頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).當(dāng)滾動(dòng)到時(shí)，頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；在滾動(dòng)過(guò)程中，的取值范圍為【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)圓心角都為的圓弧，即可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，分別求出點(diǎn)在滾動(dòng)的過(guò)程中縱坐標(biāo)的范圍，求出點(diǎn)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)圓心角都為的圓弧，且圓弧的半徑為，【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)圓心角都為的圓弧，即可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，分別求出點(diǎn)在滾動(dòng)的過(guò)程中縱坐標(biāo)的范圍，求出點(diǎn)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)圓心角都為的圓弧，且圓弧的半徑為，所以頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，，，設(shè)，則所以，滾動(dòng)的過(guò)程中的縱坐標(biāo)滿足，所以，故答案為：；.（2024年粵J110珠海一中沖刺，末）8．鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上，連接，則【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，所以，，則、、三點(diǎn)共線，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，在逐漸增大，同理可知，，當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)到的過(guò)程中，在逐漸增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上運(yùn)動(dòng)，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，則，所以，；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．（2024年冀J13示范高中）12.已知向量，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上找一個(gè)點(diǎn)，使得取最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，求出，再利用配方法可得答案.【詳解】設(shè)【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，求出，再利用配方法可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，因?yàn)橄蛄?，，所以，，，?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量求最值有三種常見(jiàn)方法：1、幾何法；2、三角函數(shù)有界法；3、二次函數(shù)配方法.（2024年湘J26衡陽(yáng)八中）13.已知點(diǎn)M為直角外接圓O上的任意一點(diǎn)，，則的最大值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得外接圓的半徑為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結(jié)合向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)直角外接圓的半徑為，由正弦定理得，故，所以，當(dāng)過(guò)點(diǎn)圓上一點(diǎn)作平行于的圓的切線時(shí)，此時(shí)最大，由于到的距離為，所以的最大值為，故答案為：（2024年蘇J34航附二模）13．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知，，與的夾角為，M為AB的中點(diǎn)，，則的最大值為13．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)的坐標(biāo)，分別求出向量，的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線為13．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)的坐標(biāo)，分別求出向量，的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，與的夾角為，，由于，故，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，，得，所以當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)，則．故答案為：．（2024年鄂J20黃岡浠水三模）13．太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而又被稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段過(guò)點(diǎn)且兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)半圓弧上，是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為13．0【分析】先根據(jù)向量運(yùn)算表示出，結(jié)合的最值可得答案.【詳解】連接，可得，顯然當(dāng)最大，即取得最大值2時(shí)，取得最小值0．13．0【分析】先根據(jù)向量運(yùn)算表示出，結(jié)合的最值可得答案.【詳解】連接，可得，顯然當(dāng)最大，即取得最大值2時(shí)，取得最小值0．故答案為：0.夾角：（2024年魯J44日照三模）4．已知和是兩個(gè)單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

4．B【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算、向量的模的計(jì)算公式以及向量的數(shù)量積求夾角即可求解.【詳解】因?yàn)楹褪菃挝幌蛄?，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.

）4．B【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算、向量的模的計(jì)算公式以及向量的數(shù)量積求夾角即可求解.【詳解】因?yàn)楹褪菃挝幌蛄浚杂忠驗(yàn)?，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.（2024年湘J35湖師附一模）6.設(shè)平面向量，若，則平面向量可能是（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用向量的夾角公式可推出，確定的坐標(biāo)，求得每個(gè)選項(xiàng)中向量的坐標(biāo)，一一計(jì)算驗(yàn)證是否成立，即可求得答案.【詳解】由題意,因?yàn)?，所以，所以，所以，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用向量的夾角公式可推出，確定的坐標(biāo)，求得每個(gè)選項(xiàng)中向量的坐標(biāo)，一一計(jì)算驗(yàn)證是否成立，即可求得答案.【詳解】由題意,因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，由題意，對(duì)于A,若，則，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，若，則，故D正確，故選：D（2024年蘇J05常州調(diào)研）4.若，是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則向量與的夾角為（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、模、夾角的計(jì)算求得正確答案.【詳解】，，，由于向量夾角的取值范圍是，所以向量與的夾角為120°.故選：D【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、模、夾角的計(jì)算求得正確答案.【詳解】，，，由于向量夾角的取值范圍是，所以向量與的夾角為120°.故選：D（2024年粵J47湛江一模）3.已知向量，均為單位向量，，若向量與向量的夾角為，則（【答案】D【解析】【分析】由向量的夾角和模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，均為單位向量，，所以，，因?yàn)椋?，，所?故選：D.【答案】D【解析】【分析】由向量的夾角和模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，均為單位向量，，所以，，因?yàn)?，所以，，所?故選：D.（2024年閩J01廈門一模）4.已知，為單位向量，若，則與的夾角為（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B）

A.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B（2024年粵J14華附二調(diào)）2.已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.【詳解】由題意：，，，所以.故選：D）

A.B.C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.【詳解】由題意：，，，所以.故選：D（2024年湘J04師大附中）4.已知向量，則與夾角的余弦值為（【答案】D【解析】【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D．）

A.【答案】D【解析】【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D．（2024年浙J30嘉興二模）12．已知平面向量是非零向量，且與的夾角相等，則的坐標(biāo)可以為12．均可【分析】設(shè)，，利用向量夾角公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，得解.【詳解】設(shè)12．均可【分析】設(shè)，，利用向量夾角公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，得解.【詳解】設(shè)，，由題意可得，，，即，，解得.，.故答案為：，均可.（2024年浙J36名校聯(lián)盟三聯(lián)考）3．已知單位向量滿足，則（

3．B【分析】計(jì)算出，，，利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】，，故，，故，所以.故選：B

）

3．B【分析】計(jì)算出，，，利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】，，故，，故，所以.故選：B（2024年蘇J36七市三調(diào)）2．已知三個(gè)單位向量滿足，則向量的夾角為（

2．C【分析】對(duì)等式兩邊同時(shí)平方即可得到，再利用向量數(shù)量積定義和向量夾角的范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，因?yàn)?，的夾角為，故選：C.

）

A．2．C【分析】對(duì)等式兩邊同時(shí)平方即可得到，再利用向量數(shù)量積定義和向量夾角的范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，因?yàn)?，的夾角為，故選：C.（2024年鄂J24荊州三適）6．已知向量，滿足，，，則（6．D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.）

A．B．6．D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.（2024年粵J125新會(huì)華僑二模）14．設(shè)向量，則的最小值為14．/【分析】先求得的表達(dá)式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】14．/【分析】先求得的表達(dá)式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】，令，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故答案為：（2024年粵J27深圳一調(diào)）4.已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，由且與不共線求得的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷..【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，由且與不共線求得的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷..【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當(dāng)時(shí)，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B．（2024年湘J48長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡四適）3．若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（

3．B【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角求出m的范圍，即可判斷“”和“向量的夾角為鈍角”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】向量，由向量的夾角為鈍角，即有，解得且，即“3．B【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角求出m的范圍，即可判斷“”和“向量的夾角為鈍角”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】向量，由向量的夾角為鈍角，即有，解得且，即“”不能推出“且”即“向量的夾角為鈍角”；“向量的夾角為鈍角”即“且”能推出“”；故“”是“且”的必要不充分條件，即“”是“向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選：B．（2024年蘇J24蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）3.已知平面向量滿足，則與的夾角為（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，，故，故選：B.（2024年閩J06某市期末）4.已知，為單位向量，若，則與的夾角為（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B）

A.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B（2024年蘇J24蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）3.已知平面向量滿足，則與的夾角為（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，，故，故選：B.共線：（2024年魯J03臨沂一模）1.已知向量.若，則實(shí)數(shù)（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，得，?故選：B.）

A【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，得，?故選：B.（2024年粵J16天河二測(cè)）2.設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（【答案】A【解析】【分析】由化簡(jiǎn)得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，【答案】A【解析】【分析】由化簡(jiǎn)得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，，即與共線當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理.（2024年浙J22九加一聯(lián)盟三月考）3.已知向量是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，則（【答案】C【解析】【分析】由平面向量共線定理求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋羧c(diǎn)共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若三點(diǎn)共線，設(shè)【答案】C【解析】【分析】由平面向量共線定理求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋羧c(diǎn)共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若三點(diǎn)共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤；故選：C.（2024年蘇J35南京二模）1．已知向量，．若，則（

1．C【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【詳解】由，知，解得.故選：C.

）

A．B．C．31．C【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【詳解】由，知，解得.故選：C.（2024年蘇J09徐州適應(yīng)）2.若角的終邊經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義列式計(jì)算即得.【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則，所以.故選：B）

【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義列式計(jì)算即得.【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則，所以.故選：B（2024年魯J21濟(jì)南三月考）2.已知，，若，則（【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：A.）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：A.（2024年粵J105湛江二模）12.若向量，，//，則__【答案】①.9②.【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解第一空，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解第二空即可.【詳解】因?yàn)椤敬鸢浮竣?9②.【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解第一空，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解第二空即可.【詳解】因?yàn)?/，所以，解得，所以.故答案為：；（2024年湘J42岳陽(yáng)三檢）3．直線的一個(gè)方向向量是（3．A【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對(duì)于A，因，即向量與共線，A是；對(duì)于B，因，即向量與不共線，B不是；3．A【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對(duì)于A，因，即向量與共線，A是；對(duì)于B，因，即向量與不共線，B不是；對(duì)于C，因，即向量與不共線，C不是；對(duì)于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.（2024年浙J31五校聯(lián)考）3．已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（

3．B【分析】思路一：根據(jù)向量共線的判定條件即可解出.思路二：由共線向量基本定理即可得解.【詳解】方法一：由已知有，，解得.方法二：設(shè)，由題意，解得.故選：B.

）

A．13．B【分析】思路一：根據(jù)向量共線的判定條件即可解出.思路二：由共線向量基本定理即可得解.【詳解】方法一：由已知有，，解得.方法二：設(shè)，由題意，解得.故選：B.（2024年粵J138汕頭金南三模）13．已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則13．【分析】根據(jù)向量共線可設(shè)，進(jìn)而對(duì)比系數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的向量，，若與13．【分析】根據(jù)向量共線可設(shè)，進(jìn)而對(duì)比系數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，設(shè)，則，則，解得.故答案為：.（2024年粵J135茂名二測(cè)）2．已知向量，則與方向相同的單位向量是（2．B【分析】與方向相同的單位向量是，求解即可【詳解】由題意，因此與方向相同的單位向量故選：B

）

A．B．C．2．B【分析】與方向相同的單位向量是，求解即可【詳解】由題意，因此與方向相同的單位向量故選：B（2024年鄂J18四月調(diào)）2．已知點(diǎn)，和向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（2．B【分析】先求出，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題得，因?yàn)椋?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.）

A．B．C．2．B【分析】先求出，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題得，因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.（2024年冀J12大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研）12.已知平面向量，若，則【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得出；再代入【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得出；再代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得：?所以.故答案為：.（2024年冀J16邯鄲三調(diào)）3.已知向量與共線，則（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以．故選：B.）

【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以．故選：B.垂直：（2024年J01全國(guó)一卷）3.已知向量，若，則（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以即，故，故選：D.）

A【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以即，故，故選：D.（2024年浙J06金麗衢一聯(lián)）3.已知平面向量滿足：與的夾角為，若，則（【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算平面向量的數(shù)量積，再利用，列式解得即可.【詳解】由題意，得，由，得，即，∴，解得.故選：D【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算平面向量的數(shù)量積，再利用，列式解得即可.【詳解】由題意，得，由，得，即，∴，解得.故選：D（2024年湘J27長(zhǎng)沙一中適應(yīng)）12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為【答案】【解析】【分析】利用向量的模和向量的數(shù)量積的定義，求向量夾角的余弦值.【詳解】，，由【答案】【解析】【分析】利用向量的模和向量的數(shù)量積的定義，求向量夾角的余弦值.【詳解】，，由，有，所以.故答案為：（2024年魯J01濱州一模）1.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】平面向量，，由，得，所以故選：A）

A【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】平面向量，，由，得，所以故選：A（2024年粵J42江門一模）12已知向量，，若與垂直，則=_【答案】##【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再依題意可得，即可得到方程，解得即可.【答案】##【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再依題意可得，即可得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又與垂直，所以，解得.

故答案為：（2024年粵J26深圳華僑城一模）1.已知向量，且，則m=（【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．）

【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（2024年浙J08強(qiáng)基聯(lián)盟三月）12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋遥?，解?

故答案為：（2024年浙J20麗湖衢二模）4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（【答案】D【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：D（2024年冀J05唐山一模）3.已知向量，，若，則（【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的性質(zhì)和向量的模長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A）

【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的性質(zhì)和向量的模長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A（2024年浙J02嘉興一中一模）3.已知向量，，若實(shí)數(shù)λ滿足，則（【答案】A【解析】【分析】先表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到的方程，由此求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，故選：A.【答案】A【解析】【分析】先表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到的方程，由此求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，故選：A.（2024年魯J06濰坊一模）1.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】平面向量，，由，得，所以.故選：A）

【答案】A【解析】【分析】利用向量垂