高中數(shù)學(xué)概統(tǒng)考試

三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)試題分項(xiàng)版解析

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)

一、選擇題

1.【2016高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車(chē)在7:00,8:00,8:30發(fā)車(chē),小明在7:50至8:30之間

到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是

()

1123

(A)§(B)-(C)§(D)Z

【答案】B

■【解析】■

試題分析：如圖所示,畫(huà)出時(shí)間軸：

7:307:407:508:008:108:208:30

1'ACDB

d詡到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段加中，而當(dāng)他的到達(dá)0寸間落在線段/C或D8時(shí),才能保證他等車(chē)的

時(shí)間不超過(guò)10分鐘根據(jù)幾何被型，所求概率P?山坐■g.故選B.

■40■2

考點(diǎn)：兒何概型

【名師點(diǎn)睛】這是全國(guó)卷首次考查幾何概型，求解幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是確定"測(cè)度"，常見(jiàn)的

測(cè)度有：長(zhǎng)度、面積、體積等.

2.[2014高考廣東卷.理.6]已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所

示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，

則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()

4.200,20B.100,20C.200,10

D.100,10

【答案】A

【解析】由題意知，樣本容儲(chǔ)為（3500+4500+2000）x2%=200,其中高中生人數(shù)為

2000x2%=40,

高中生的近視人數(shù)為40*50%=20,故選4

【考點(diǎn)定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計(jì)圖，屬于中等題.

【名師點(diǎn)晴】木題主要考查的是分層抽樣和統(tǒng)計(jì)圖，屬于中等題.解題時(shí)要抓住關(guān)鍵字眼''樣

本容量”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是分層抽樣，即

樣本容量

抽取比例

總體容量

3.12016高考新課標(biāo)3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中

月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中/點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15。（2,

8點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（）

---平均?低，-----平均

（A）各月的平均最低氣溫都在（TC以上（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同（D）平均氣溫高于2（TC的月份有5個(gè)

【答案】D

【解析】

試題分析：由圖可知均在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在。七以上，A正確；由圖可在七月的

平均溫差大于7.5。。，而一月的平均溫差小于7.5。￡7,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；

由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在5久7,基本相同，C正確：由圖可知平均最高氣溫高于20七

的月份有3個(gè)或2個(gè)，所以不正確.故選D.

考點(diǎn)：1、平均數(shù)；2、統(tǒng)計(jì)圖.

【易錯(cuò)警示】解答本題時(shí)易錯(cuò)可能有兩種：（1）對(duì)圖形中的線條認(rèn)識(shí)不明確，不知所措，只

覺(jué)得是兩把雨傘市:餐在一起，找不到解決問(wèn)題的方法；（2）估計(jì)平均溫差時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)

選B.

4.【2015高考廣東，理4】袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5

個(gè)紅球。從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（）

,11105

A.1B.—C.—D.—

212121

【答案】B.

【解析】從袋中任取2個(gè)球共有=105種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有C；oC=5。種,

所以從袋中任取的2個(gè)球恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為%=3,故選5.

10521

【考點(diǎn)定位】排列組合，古典概率.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合，古典概率的計(jì)算和轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用、運(yùn)算求解能

力，解答此題關(guān)鍵在于理解所取2球恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球即是分步在白球和紅球各取1個(gè)球

的組合，屬于容易題.

5.[2014湖南2】時(shí)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、

系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為

0，。2，。3,則（）

c

A.pi=p2<p3B,22=<P\-Pi=Pi<PiD.

P\=Pl=03

【答案】D

【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個(gè)個(gè)體被

抽到的概率相等,即Pl=P2=外，故選D.

【考點(diǎn)定位】抽樣調(diào)查

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)抽

樣的原理進(jìn)行具體分析求得對(duì)應(yīng)概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目.

7.【2015高考山東，理8】已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,

從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）

（附：若隨機(jī)變量《服從正態(tài)分布,則P（〃一<J<〃+cr）=68.26%,

P(〃-2b<J<〃+2b)=95.44%。)

(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%

【答案】B

【解析】用及示&零件的長(zhǎng)度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：

p(3<J<6)=g[p(—6<g<6)—尸(―3<4<3)]=09544”6826=01359,故選

B.

【考點(diǎn)定位】正態(tài)分布的概念與正態(tài)密度曲線的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運(yùn)算，幣;點(diǎn)考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及

如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對(duì)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運(yùn)算

能力.

9.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2〃個(gè)數(shù)/，X2,…，X,,凹，y2,…，

y?,構(gòu)成〃個(gè)數(shù)對(duì)(王,乂)，(4，%)，…，(X.,”)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共

有用個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率萬(wàn)的近似值為

,、4〃，、2〃，八、4加,、2m

(A)—(B)—(C)—(D)—

mmnn

【答案】C

【解析】

試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為二虬=嗎=生，所以

品方形4Rn

4/72

7t----.選C.

n

考點(diǎn)：幾何概型.

【名師點(diǎn)睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)

題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

11.[2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙

是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中?個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就

將另?個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則

()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中藥:球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

【答案】c

試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽

到的兩個(gè)球是一紅一黑，目紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑：

口黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球；A：由于抽到的兩個(gè)球是紅球

和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無(wú)法確定，故形捌定乙盒和丙盒中異色球的大4關(guān)系，而摘到兩個(gè)紅球的

次數(shù)與由到兩個(gè)黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故選C：

■"■I

考點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)分析.

【名師點(diǎn)睛】本題將小球與概率知識(shí)結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件

對(duì)應(yīng)的基本事件有多種可能，那么?般我們通過(guò)逐?列舉計(jì)數(shù)，再求概率，此題即是如此.

列舉的關(guān)鍵是要有序（有規(guī)律），從而確保不重不漏.另外注意對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用.

12.12014高考陜西版理第6題】從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，

則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】

試題分析：從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，共有=10條線段，A,

B.C,。四點(diǎn)中任意2點(diǎn)的連線段都不小于該正方形邊長(zhǎng)，共有C：=6,所以這2個(gè)點(diǎn)

的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率p=—=一，故選c

105

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是古典概型及其概率計(jì)算公式.，屬于中檔題.解題時(shí)要準(zhǔn)確

理解題意由“5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)”.利用排列

組合有關(guān)知識(shí)，正確得到基本事件數(shù)和所研究事件所包含事件數(shù).從而得到所求事件的概率

17.12014課標(biāo)I,理514位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()

A.-B.-C.-D.-

8888

【答案】D

■【解析】由已知，4位同學(xué)各目在周六、周日兩天中薦選一天參加公益活動(dòng)共有2,=16種不同的結(jié)果，而‘

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有兩類(lèi)不同的情況：(D一天一人，另一天三人，有。：老=8種不同的

備果；(2)周六、日各2人，有點(diǎn)=6種不同的結(jié)果，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有8+6=lM/

不同的結(jié)果，所以周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的樞率為=選D..

!■:168:

【考點(diǎn)定位】1、排列和組合；2、古典概型的概率計(jì)算公式.

【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型，是一個(gè)古典概型與排列組合結(jié)合的問(wèn)題，解題時(shí)先要判斷

該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事

件的總數(shù).

18.12015高考新課標(biāo)1,理4】投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試。

己知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試

的概率為()

(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312

【答案】A

【解析】根據(jù)獨(dú)立.市復(fù)試險(xiǎn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為《06X0.4+0.63=0.648,

故選A.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與互斥事件和概率公式

【名師點(diǎn)睛】解答本題時(shí)，先想到所求事件是恰好中3次與恰好中2次兩個(gè)互斥事件的和，

而這兩個(gè)事件又是實(shí)驗(yàn)3次恰好分別發(fā)生3次和2次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),本題很好考查了學(xué)生

對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的理解和公式的記憶與靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題,正確分析概率類(lèi)型、

靈活運(yùn)用概率公式是解本題的關(guān)鍵.

22.【2015高考安徽，理6】若樣本數(shù)據(jù)再，X2,…，再。的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2玉一1,

2X2-1,…，2%0-1的標(biāo)準(zhǔn)差為()

(A)8(B)15(C)16(D)32

【答案】C

【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)芯，/,%的標(biāo)準(zhǔn)差為J萬(wàn)"則J欣=8,即方基￡>X=64,

而數(shù)據(jù)2%一1,2X2-1,…，2xK)-l的方差。(2X-l)=22。X=22x64,所以其標(biāo)準(zhǔn)

差為應(yīng)=16.故選C.

【考點(diǎn)定位】1.樣本的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)y=oX+6的均值、方差和

標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機(jī)變量X的均值EX、方差0X、標(biāo)準(zhǔn)

差ja,則數(shù)y=a￥+b的均值aEX+b、方差a°DX、標(biāo)準(zhǔn)差aj市.

25.12015高考湖北，理4】設(shè)x口N(“，其)，y口N(〃”云)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲

線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是()

A.P(Y>p2)>P(Y>^)B.P(X<a2)<P(X<

C.對(duì)任意正數(shù)t,P(X<t)>P(Y<t)D.對(duì)任意正數(shù)f,P(X>t)>P(Y>t)

【答案】C

'【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，x-Ng￡、YS存)的密度曲線分別關(guān)于x=4、x=a

時(shí)稱(chēng)，因此結(jié)合所給圖象可得自〈為且b)的密度曲線兢y-N&,")的密度曲線女高“，麗

以0</<%,所以對(duì)任意正數(shù)f,p(z</)>p(y</).

■■■

【考點(diǎn)定位】正態(tài)分布密度曲線.

【名師點(diǎn)睛】正態(tài)曲線的性質(zhì)

①曲線在X軸的上方，與X軸不相交.

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對(duì)稱(chēng).

③曲線在x=〃處達(dá)到峰值一4=.

c/2%

④曲線與x軸之間的面積為1.

定肘,曲線隨八〃內(nèi)變化而沿X利呼移，如區(qū)甲所小

⑥〃--定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；。越

小.曲線越“瘦高”.總體分布越集中.如圖乙所示.

29.[2015湖南理2]在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲

線C為正態(tài)分布N（0,l）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）

A.2386B.2718C.3413D.4772

附：若X口NO，/),則尸(〃一cr<XK〃+cr)=0.6826,

P(〃一2cr<X<4+2。)=0.9544

【解析】

試題分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，P（0<x<l）=lp（-l<x<l）?0.34,故選C.

2

【考點(diǎn)定位】1.正態(tài)分布；2.幾何概型.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識(shí)點(diǎn)，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給

出的數(shù)據(jù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，亦應(yīng)關(guān)

注正態(tài)分布等相對(duì)冷門(mén)的知識(shí)點(diǎn)的基本概念.

1.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處HI發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再

一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)

為（）

(A)24(B)18(C)12(D)9

【答案】B

【解析】

試題分析：由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路，再?gòu)腇處到G處最短共

有C；條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為?《=18條，故選B.

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理、組合.

【名師點(diǎn)睛】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類(lèi)做法中每一種方法都能完成這件事情，

類(lèi)與類(lèi)之間是獨(dú)立的.

分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這

件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的.

2.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)/為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開(kāi)式中含X’的項(xiàng)為

(A)—15x4(B)15x4(C)-20/x4(D)20/X4

【答案】A

'【解析】',

試題分析：二項(xiàng)式(x+i)6展開(kāi)的通項(xiàng)工1=，；/■'」,令6-一4,得r=2,則展開(kāi)式中含x，的項(xiàng)為.

Cixi2=-\Sx,故選A.

■?■

考點(diǎn)；二項(xiàng)展開(kāi)式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎

是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來(lái)說(shuō)，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可.二項(xiàng)式

(x+z)6的展開(kāi)式可以改為。+x)6,則其通項(xiàng)為C：產(chǎn)Y,即含丁的項(xiàng)為c：產(chǎn)與4=一15/.

10.12014四川，理6】六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排

甲，則不同的排法共有()

A.192種B.216種C.240種D.288種

【答案】B

【解析】

試題分析：最左端排甲，有5!=120種排法；最左端排乙，有4x4!=96種排法，共仃

120+96=216種排法.選B.

【考點(diǎn)定位】排列組合.

【名師點(diǎn)睛】涉及排列與組合問(wèn)題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問(wèn)題

與順序有關(guān)，組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān)含”與“不含”的問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，

再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.通常用直接

法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

15.[2014高考重慶理第9題】某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1

個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

【答案】B

■【解析】'

試題分析：將所有的安排方法分成兩類(lèi)，第一類(lèi)：歌舞類(lèi)節(jié)目中間不穿插相聲節(jié)目，有

謁/，=6x2x2=24（種）：第二類(lèi)：歌舞類(lèi)節(jié)目中間穿插相聲節(jié)目，有

@44/=6x2x2x4=96（種）；根據(jù)分類(lèi)頒去計(jì)數(shù)原理，共有96+24=120種不同的排法.故選B.

■■_________________________________________

考點(diǎn)；1、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；2、排列.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了綜合應(yīng)用排列與組合知識(shí)解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題目，根

據(jù)條件將分類(lèi)，然后用分類(lèi)計(jì)數(shù)原獲得結(jié)果.

18.12014遼寧理6】把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為（）

A.144B.120C.72D.24

【答案】C

■1

試題分析：將6把椅子依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,故任何兩人不相鄰的做法，可安排:“135”「136”嚴(yán)1,4,6”3.

“24,6”號(hào)位遇坐人，故總數(shù)由4/；=24,故選“

考點(diǎn)：排列組合.

【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單排列組合應(yīng)用問(wèn)題.從近幾年高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查看，基本

是排列與組合相結(jié)合，多可以結(jié)合圖表分析解題途徑.本題首先將座位編號(hào)，分析任何兩人

都不相鄰的情況，再安排人員就坐，現(xiàn)實(shí)背景熟悉，分析形象直觀，易于理解.

本題是一道基礎(chǔ)題，考查排列組合基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題

的能力.

7.12014高考北京理第13題】把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品/與產(chǎn)品8相鄰，且

產(chǎn)品A與產(chǎn)品。不相鄰，則不同的擺法有種.

【答案】36

"ira■

試題分析:先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個(gè)元素有《種方法，而A、B可交換位置,所以有2￡=48

■

種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有2勾=12種擺法，故滿足條件的擺法有48-12=36種..

考點(diǎn)：排列組合，容易題.

【名師點(diǎn)睛】本題考查排列、組合及計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題，本題屬于中等難度問(wèn)題，高考每年

都會(huì)考查這個(gè)問(wèn)題，題目或簡(jiǎn)或難，由于命題可以很靈活，可以考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)，也可以考

查具體的排列組合基本方法如：相鄰問(wèn)題捆綁法、不鄰插空法、分排問(wèn)題直排法、有序問(wèn)題

用除法、隔板法等，需要學(xué)生不但要有扎實(shí)的基本功，還要有分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

9.12014高考廣東卷.理.11】從0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)

數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.

【答案】

6

【解析】上述十個(gè)數(shù)中比6小的數(shù)有6個(gè)，比6人的數(shù)有3個(gè)，要使得所選的七個(gè)數(shù)的中位

數(shù)為6,則應(yīng)該在比6大的數(shù)中選擇3個(gè)，在比6人的數(shù)中也選擇3個(gè)，因此所求事件的概

【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合與古典概型的概率計(jì)算，屬于能力題.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是排列組合和占典概型，屬于中等題.解題時(shí)要抓住重要字眼

“中位數(shù)是6"，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.用排列組合列舉基本事件一定要做到不重不漏，防

止出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率公式，即

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

(^基本事件的總數(shù)'

16.【2016高考上海理數(shù)】在(五-的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,

則常數(shù)項(xiàng)等于

【答案】112

【解析】

試題分析:

因?yàn)槎?xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)之和為2",所以2"=256,所以n=8,

L2---t84

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為丁川——）r=（—2）,C；x33,令——r=0,得r=2,

x33

所以13=112.

考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù).

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)：項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，是

二項(xiàng)式定理問(wèn)題中的基本問(wèn)題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開(kāi)式的

通項(xiàng)求解.本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等.

2.[2016年高考四川理數(shù)】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上

時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.

3

【答案】-

2

【解析】

治題分析：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)集有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次'

試蛉中成功次數(shù)<的取值為0J2,其中R4=0）=：,P&=1）=1.=2）=:,

424

113

在1次試勘中成功的率為P（^>I）=4+-=4，

■4-4-■

□I□4g

所以在2次試蛉中成功次數(shù)X的粒率為P（X=l）=Cjx￡xl=i,I\X=2）=弓尸=弓,

448416

EY=lx-34-2x9—=3i

8162

■■

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值

【名師點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機(jī)變量的所有

可能取值玉,々,…，怎,再求得對(duì)應(yīng)的概率耳。=1,2,…，則均值為4.

8.12015高考廣東，理13］已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（〃,p）,若E（X）=30,

D（X）=20,則0=.

【答案】

3

【解析】依題可得E（X）=〃p=30且。（X）=〃p（l—p）=20,解得p=；,故應(yīng)填入;.

【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)分布的均值和方差應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的均值和方差應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于容易題，解答

此題關(guān)鍵在于理解熟記二項(xiàng)分布的均值和方差公式E（X）=印，O（X）=np（\-p）并運(yùn)用

其解答實(shí)際問(wèn)題.

11.【2014年.浙江卷.理12】隨機(jī)變量J的取值為0,1,2,若P（J=0）=（,￡代）=1,

則。（/=.

2

答案：-

5

解析：設(shè)J=1時(shí)的概率為p，則E（J）=0x［+lxp+2x（l—p—1）=1,解得p=1,

故0僮）=（0_鵬+（］_］八|+（2_］區(qū)=|

考點(diǎn)：方差.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率公式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條

件求解對(duì)應(yīng)事件的概率，然后求方差即可；求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法：（1）利

用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事

件入手計(jì)算

2.12016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用

三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)

200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)

買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下

面柱狀圖：

ill!

8910

'■的秣0

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X

表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

(I)求X的分布列；

(II)若要求。(入〈〃)20.5,確定〃的最小值；

(III)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與w=20之中選其一,應(yīng)選用

哪個(gè)？

【答案】⑴見(jiàn)解析(ID19(ill)〃=19

【解析】

試題分析：(I)先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22〃再用相互獨(dú)立事件概率模型求

概率，然后寫(xiě)出分布列；(H)通過(guò)頻率大小進(jìn)行比較；(川)分別求出n=9,n=20的期望，根據(jù)

〃=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于〃=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，應(yīng)選〃=19.

試題解析：(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易戰(zhàn)零件數(shù)為

8,9,10,11的概率分另I」為0.2,0.4,0.2,0.2,從而

p(x=16)=0.2x02=0.04；

=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2義0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x02=0.04.

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(H)由(I)知P(X418)=0.44,尸(XW19)=0.68,故〃的最小值為19.

(III)記F表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)一

當(dāng)〃=19時(shí)目=19x200x0.68+(19x200+50ax0.2+(19x200+2x50ax0.08

+Q9x如0+3x500x0.04=4040.

當(dāng)”=20時(shí)，

ZZ=20x200x0.88+(20x200+50%0.08+(20x200+2x50?x0.04=4080.

可知當(dāng)w=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于并=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選彥=19.

考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列

【名師點(diǎn)睛】本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，有一定綜合性但

難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題.

3.12015高考天津，理16](本小題滿分13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比

賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙

協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

(I)設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”

求事件A發(fā)生的概率；

(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(I)—；

35

(II)隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

1331

P

TZ7714

E(X)=

【解析】(I)由已知,有

C；C；+C；C；_6

P(N)

c：35

所以事件〃發(fā)生的概率為9.

35

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4

尸(丫=左)=(*=1,2,3,4)

~cT

所以隨機(jī)變量X的分布列為

【考點(diǎn)定位】古典概型、互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列可數(shù)學(xué)期望.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型、互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.把

實(shí)際生活中的乒乓球比賽與數(shù)學(xué)中的古典概型相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值與研究?jī)r(jià)

值，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中概率、期望對(duì)實(shí)際生活中的一些指導(dǎo)作用.

4.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為。(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投

保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

保費(fèi)0.85aa1.25Q1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人-年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如F：

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

(II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;

(III)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

【答案】(1)0.55；(II)；(III)1.23.

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;

(II)一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,由條件概率

公式求解；(W)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,求X的分布列，再根據(jù)期望公式求解.

試題解析：(I)設(shè)/表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件/發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出

險(xiǎn)次數(shù)大于1，故N⑷=0.2+02+0.1+0.05=055.

(II)設(shè)6表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件方發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)

次數(shù)大于3,故氏3)=01+005=0.15.

又P(如尸⑶，故明/)=需=筋嚙年

因此所求概率為2.

(III)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為

X0.85。a1.25a1.5。1.75。2。

P0.300.150.200.200.100.05

EX=().85ax().3()+ax().15+1.25。x().2()+1.5。x0.2()+1.75ax().10+2ax0.05

=1.23。

因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23

考點(diǎn)：條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望.

【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法：

(D定義法：先求尸(4)和尸(48),再由P(8M)=粵瞿，求P(8⑷：

(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先

求事件A包含的基本事件數(shù)?U),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)

n(AB),得尸(8|/)="(斐).

求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能取得的全部值；(2)

求X的每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列；(4)山均值定義求出E(X).

14..12016高考山東理數(shù)】(本小題滿分12分)

甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜?個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，

如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人

都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是'，乙每輪猜對(duì)的概率是士：每輪

43

活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：

(I)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；

(II)“星隊(duì)”兩輪得分之和為才的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

223

【答案】(I)*(II)分布列見(jiàn)解析，EX=—

36

【解析】

試題分析：(1)找出“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)所包含的基本事件，山獨(dú)立事件的概率公

式和互斥事件的概率加法公式求解：(II)由題意，隨機(jī)變量I的可能取值為0,1,2,3,4,6.

由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解.

試題解析：

(1)記事件人:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件B：“乙第?輪猜對(duì)”,

記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”，

記事件E：“，星隊(duì)'至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”.

由題意，E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的獨(dú)立性與互斥性，

P(E)=P(ABCD)+P(1BCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+尸(ABCD)

=/⑷P(8)P(C)P(O)+P(7)P(B)P(C)尸(0+尸⑷P⑻P(C)P(0+

P(/)P⑻尸(弓尸(O)+P(/)P⑻P(C)P(方)

3232.(12323132、

――-x—x—x—I-2x-—x—x—x—I--x—x—x—?

4343(43434343J

_2

2

所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為

3

(II)由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.

山事件的獨(dú)立性與互斥性，得

11111

p(x=o)=—X—X-X——

4343L44

3111121105

P(X=l)=2x—X-X—X—+—X—X—X—=-------=

43434343J14472

313131121231121225

P\X-2)=-x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x-=---

\,4343434343434343144

「43%衿+%衿

7V八c(32313212、_60_5

P(X=4)=2x—x—x—x—+—x—x—x—

\>(43434343)一不一'

小人32321

P(X=6)=—x—x—x—=一.

,743434

可得隨機(jī)變量X的分布列為

X012346

p152515J_

1447214412124

152515123

所以數(shù)學(xué)期望EX=0x——+lx—+2x—+3x—+4x—+6x1=—.

14472144121246

考點(diǎn)：1.獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【名師點(diǎn)睛]本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分

布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，

利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)

學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.

17.[2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）

某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

（I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4"，求事件4發(fā)生的概率：

（II）設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【答案】（I）-（II）詳見(jiàn)解析

3

【解析】

試題分析：（1）先確定從這10人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù)：G3再確定選出的2

人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：C；C：+C：,最后根據(jù)概率公式求概率

（H）先確定隨機(jī)變量可能取值為0,1,2.再分別求出對(duì)應(yīng)概率，列出概率分布，最后根據(jù)公

式計(jì)算數(shù)學(xué)期里

試題解析：解：（I）由已知，有

C103

所以，事件4發(fā)生的概率為

3

（口）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

Hx=o）/+.盤(pán)4

do15

7

P（X=1）=c；C+c；c：

15

GC_4

P（X=2）

Go-15

所以，隨機(jī)變量X分布列為

X012

474

P

151515

474

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x]+lxj+2x^=l.

考點(diǎn)：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望

【名師點(diǎn)睛】求均值、方差的方法

1.已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義（公式）求解；

2.已知隨機(jī)變量，的均值、方差，求：的線性函數(shù)n