工程力學 第2版 課件 第8章 軸向拉伸、壓縮與剪切

工程力學材料力學篇

第八章軸向拉壓與剪切

§8.1材料力學引言一、材料力學的任務1.材力——關于構件承載能力的科學載荷，約束反力建筑結構構件構件承載能力{強度（strength）穩(wěn)定性（stability）剛度（stiffness）哈里發(fā)塔（828m）上海中心大廈（632m）上海環(huán)球金融中心（492m）廣州塔（600m）構件(members)基本形式（理想模型）板（plane）桿件（bar）殼（shell）塊體（body）其他類型？2.任務

保證足夠承載能力，在安全的前提下，以最經濟代價選擇合適材料，確定構件合理形狀和尺寸。

工程結構的破壞可能導致災難性的后果，提高工程結構的安全性是非常重要的。結構工程和工程力學中大量研究工作的一個目標就是提高結構的安全性，避免結構的破壞。

安全與經濟之間的矛盾?。〔牧狭W首先回答了安全功能如何保證的問題。材料力學也是在解決安全問題中發(fā)展起來的。

來源于工程，應用于工程。強度問題剛度問題穩(wěn)定性問題承載能力指標，不同問題各有側重。軸類？高壓氣罐？有需要防范的一面也有可利用的一面。安全銷，緩沖彈簧3.學科發(fā)展歷史為材料力學發(fā)展做出杰出貢獻的他們伽利略：《關于兩種新科學的談話及數(shù)學證明》牛頓：《自然哲學的數(shù)學原理》拉普拉斯：《天體力學》拉格朗日：《分析力學》亥姆霍茲：《論力的守恒》納維和圣維南：《力學在結構和機械方面的應用》……對比早期中國西方科學發(fā)展差異4）研究方法

1）理論分析方法

20世紀初，探索新設計、新結構。2）實驗方法具體設計的實驗驗證。3）計算方法現(xiàn)代計算技術與計算機應用。實驗方法計算方法

FiniteelementmodelofVCM

磁頭臂計算機硬盤內部件的有限元分析卵形彈丸侵徹雙層靶5.研究內容

1）基本理論受外載作用構件的內力、應力變形分析。

2）實驗載荷與變形的關系（力學性能），確定材料抵抗破壞和變形的能力。

3）應用根據(jù)工況，確定安全控制條件（強剛穩(wěn)），為構件選擇合適材料和尺寸。二、可變形固體及基本假設小學物理初中物理高中物理大學物理理論力學材料力學力學常識力學簡單問題力學特殊問題力學一般問題約束體、剛體約束體、變形體自由體、質點……流體力學塑性力學彈性力學結構力學質點：只有質量，沒有大小變形體：有質量，有大小，有變形（相對位置變化）材料力學的由來——學科發(fā)展的必然性人類認識世界的深化過程剛體：有質量，有大小，但沒有變形（相對位置不變）一般金屬材料的顯微組織球墨鑄鐵灰口鑄鐵普通鋼材優(yōu)質鋼材建立理想模型的必要性微觀上看：材料是不連續(xù)、不均勻、各向異性。但單個晶粒聚集成金屬材料時呈隨機取向。在宏觀上可以認為：材料是連續(xù)、均勻的，表現(xiàn)為各向同性。

為簡化研究，對可變形固體作如下假設：1）連續(xù)性假設（continuityassumption）2）均勻性假設（homogenizationassumption

）3）各向同性假設（isotropyassumption

）材力研究的可變形固體還得再加一條4）小變形假設（theassumptionofsmalldeformation

）ABFCablFAFB?三、外力（externalforces）外力包括主動載荷和約束力！1.

按作用方式分體積力

（bodyforce)

表面力(surfaceforce)

集中力(concentratedforce)

分布力(distributedforce)2.

按隨時間變化分靜載荷（staticload)

動載荷

(dynamicload)交變載荷（alternateload)

沖擊載荷（impactload)

普通動載（ordinarydynamicload)靜載動載力學表現(xiàn)?四、內力、截面法、應力（internalforces，methodofsections，stress）1.內力的概念構件承載能力與內力大小及分布密切相關。所以內力分析是材料力學重中之重！如何得到？mmmmmm2.求內力的方法——截面法截-留-顯-平

Negative.F1F2內力主矩MO內力主矢FR前兩頁圖的分布內力可以求出么？FN——軸力normalforceFSy，F(xiàn)Sz——剪力shearforceT——扭矩torqueMy，Mz——彎矩bendingmoment進而，截面法練習ACqaaBDmm21kN2112kN·m3kN·m小結：①取左？取右？②支反力？③力可傳？力偶可平移？力線平移？截面法只能求出內力大小，不能解決內力分布問題，如之奈何？從而引出應力的概念①應力定義：截面上一點，內力的聚集程度。3.應力

P

AK平均應力

比較左圖兩桿，兩桿的材料、長度均相同，所受的內力FN大小相同，為F。Whichrodisbrokenfirst？

構件的強度與內力在截面上的分布和在某點處的聚集程度有關。FNFNp

K

③垂直于截面的應力分量----正應力④與截面相切的應力分量----切應力三者之間的關系：（normalstress）（shearstress）units：Pa，MPa，GPa②一點的全應力：小結：①應力不是力，所以。。。。。。；②是矢量，所以。。。。。。，與K和m-m截面有關；③若已知均布，則。。。。。。。請思考：應力與壓強的區(qū)別與聯(lián)系？五、變形和應變（deformation，strain）構件宏觀變形微元體變形的累加，所以。。。體積改變（3D），面積改變（2D），長度改變（1D）角度改變（某個平面內）請思考：兩種機制是否相干？形狀的改變大小的改變兩種變形機制用什么物理量來描述長度和角度的相對變化呢？應變應變 strain

線應變

(linearstrain)

描述一點在某方向上長度相對改變。

切應變

(shearstrain)γ

過一點兩個互相垂直截面的夾角改變。

直角改變量γ=

+

單位長度線段改變量dxuu

+dudx

說明：①應變無量綱；②與點的位置有關；③正負如何規(guī)定？④與應力有何聯(lián)系？（單向應力）六、桿件變形基本形式桿件四種基本變形軸向拉壓剪切扭轉彎曲本節(jié)要點

1.

材料力學研究桿件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題，因此其研究對象為變形體，不再是剛體。應注意適用于剛體的概念、原理和方法，用于變形體時是否適用，如理論力學中的靜力等效、力線平移？判斷下列簡化在什么情形下是正確的，什么情形下是不正確的？FACB00FACBFACBFACBM

2.

內力是附加內力的主矢分量和主矩分量，它由外力引起，與變形有關，應滿足平衡方程。

3.

計算內力的基本方法為截面法，其原理為局部平衡，應逐步習慣用截面法計算內力（截、留、顯、平）。

4.

應力是強度計算的基本參數(shù)，應注意兩種應力（

和

）的點、面概念，注意單位的規(guī)范寫法為（MPa）。

5.

應變是描述變形的基本參數(shù)，應注意兩種應變(

和γ)點的概念、方向的概念，都是無量綱量。

6.

構件受力發(fā)生變形，卸載后消失的變形稱為彈性變形，不能消失的稱為塑性變形，一般構件只允許發(fā)生彈性變形。

7.

恰當?shù)貞眯∽冃蝸斫鉀Q力系平衡問題。工程力學

第八章拉伸、壓縮與剪切§8.1軸向拉壓概念與模型1、工程實例2、軸向拉壓的概念（2）變形特點：桿沿軸線方向。。。（1）受力特點：外力合力作用線與。。。FN1FN1FN2FN2以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。ABCF3、拉桿和壓桿模型（計算簡圖）仍有個小問題拉桿FFFF壓桿

FFFF端部外力作用方式的差異，產生結果有何不同？圣維南（Saint-Venant）原理：

等效力系只影響荷載作用點附近局部區(qū)域的應力和應變分布。FFFF§8.2

軸向拉壓桿的內力應力分析1、軸力FN

(axialforce)——拉壓桿的內力截面法——截斷、取半、畫內力、平衡

∑Fx=0,FN-F1+F2=0∴FN=F1-F2

F1F2F3mmF1F2mmFN怎么求？FN=F3=F1-F2FNF1F2F3mmFNF1F2mmF3mm殊途同歸。因此，可選外力較簡單的一側來計算軸力。取左半

取右半

小討論那么，F(xiàn)N到底朝左還是朝右？

軸力符號的規(guī)定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若軸力方向背離截面，則規(guī)定為正，稱為拉力(tensileforce)。（2）若軸力方向指向截面，則規(guī)定為負，稱為壓力(compressiveforce)。從而引出內力符號取決于變形，與坐標軸無關?。?！設正法?。?！m問題：當拉壓桿上存在多個軸力時，如何描述不同截面的軸力既簡單又直觀？方法：1.

分段

2.

寫方程式

3.

作圖

——軸力圖:

橫坐標——桿的軸線縱坐標——軸力數(shù)值F1F4F3F2332211例8-1

一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖。600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解:求支座反力CABDE20kNFRA40kN55kN25kN求AB段內的軸力FRAFN1CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN1

求BC段內的軸力

FRA40kNFN2CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN2

FN3求CD段內的軸力20kN25kNCABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN3求DE段內的軸力20kNFN4CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（壓力）FN4=20kN（拉力）

發(fā)生在BC段內任一橫截面上5010520++600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解：1.軸力計算2.

畫軸力圖并確定最大軸力

軸力圖為直線例8-2等直桿BC，桿長l，橫截面面積為A,材料密度為ρ,畫出桿的軸力圖，求最大軸力。2、拉壓桿橫截面應力分析判斷：1

已知軸力求應力，這是超靜定問題，

2

需要研究變形才能解決。思路：

應力表達式（由內力表示應力）觀察變形（外表）

變形假設（內部）

應變分布

應力分布

回顧：

應力的點、方向等概念F1變形特點

縱向線——仍為直線，且平行于軸線橫向線——仍為直線，且垂直于軸線FF縱向線橫向線平截面假設（planecross-sectionassumption）

應變分布由平截面假設，軸向應變分布是均勻的。應力分布由均勻性假設，橫截面上的應力也是均勻分布的，即各點應力相同。應力公式由平衡關系，橫截面上

=0

因此，拉壓桿橫截面上只存在正應力。

靜力學關系

∴dA

dA符號？unit？FF

FFFF？問題：兩桿橫截面的正應力分布是否相同？

考慮一下例8-3一橫截面為正方形的立柱分上、下兩段，其受力情況，各段長度及橫截面面積如圖所示。已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應力。解：（1）作軸力圖FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應力結論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應力。FABCFF3000400037024021例8-4

∑Fy

=0,FN1sin45°－F=0

已知：A1=1000mm2,

A2=20000mm2,F=100kN求：各桿橫截面的應力解：⑴軸力計算取節(jié)點A=－100kN=141.4kN∑Fx=0,－FN1cos45°－FN2=0

FN2=－FN1cos45°

=－141.4×0.707

FACB45oAFFN2FN145°xy21FN1=141.4kNFN2=－100kN⑵應力計算FACB45oAFFN2FN145°xy

拉壓桿橫截面上沒有切應力，只有正應力，斜截面上是否也如此？觀察一個現(xiàn)象：FNFNFNFN3、軸向拉壓斜截面應力分析說明。。。為什么要研究斜截面上的應力（Stressonaninclinedplane）

？因為工程中經常發(fā)現(xiàn)構件沿斜截面破壞。為什么？

pα：斜截面k-k上的應力；

Aα：斜截面k-k的面積；

A

：橫截面面積。因為變形均勻，所以應力均布Fα：斜截面k-k上的內力；沿截面法線方向的正應力

沿截面切線方向的切應力

將應力pα分解：

（1）當

=0°

時，（2）當

=45°時，（3）當

=90°時，討論：§8.3

材料拉壓力學性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtension)任意橫截面的軸力可求每一橫截面內任意點的應力可求桿內最大應力可求建立強度條件還需要掌握材料的力學性能

力學性能：材料在外載作用下，表現(xiàn)出的與其形狀，尺寸無關的變形和破壞方面的特性（固有性能）。由實驗獲得。

變形分類彈性變形塑性變形按破壞前塑性變形大小分為塑性材料脆性材料實驗條件：室溫，緩慢平穩(wěn)加載，標準試件。dh實驗設備：萬能試驗機1.低碳鋼拉伸力學性能何謂低碳鋼？鋼？FOΔl拉伸圖(F-

l

曲線)(tensiondiagram)efhabcdd′gf′Δl0應力-應變圖（

-圖）

l0

——原長名義應力名義應變A0——原始橫截面面積拉伸圖是結構響應（非本質），So

ε

e

p①彈性階段elasticstage

特點變形是完全彈性的線性+非線性特征應力彈性極限

eelasticlimit

比例極限

pproportionallimit線性關系

胡克定律

(Hooke’slaw)E：彈性模量

Young’smodulus,modulus

ofelasticity

材料常數(shù)unit？前世今生②屈服階段yieldingstage

特點材料失去抵抗變形的能力——屈服(流動）yield，flow應力不增加，變形增加

特征應力（下）屈服極限

s

yieldinglimitQ235鋼

s

=235MPa

ε

sFF45°滑移線滑移線sliplines方位？原因？機理？③強化階段hardeningstage特點應變硬化strainhardening

材料恢復變形抗力

-

關系非線性滑移線消失試件明顯變細特征應力強度極限

b

ultimatestrength

ε

b④頸縮階段（局部變形階段）stageoflocaldeformation特征頸縮現(xiàn)象

necking斷口杯口狀有磁性

ε低碳鋼拉伸分為四個階段：彈性階段（ob段）屈服階段（bc段）強化階段(ce段)局部變形階段(ef段)材料的強度指標：——比例極限——屈服極限——強度極限——彈性極限

s

b

e

p

fOf′h

abce卸載與冷作硬化：

ε卸載

K平行于比例階段

ε再加載coldhardeningunloadinglaw卸載完畢后，如果再反向加載。。。塑性指標⑴斷后伸長率（延伸率）

percentelongation塑性材料

＞5﹪

ductilematerial

Q235鋼

=20～30﹪脆性材料

＜5﹪

brittlematerial

鑄鐵

＜0.5﹪l0?l

FF⑵斷面收縮率

percentagereductionofarea

A0

———

斷口原始橫截面面積A1

———

斷裂時斷口橫截面面積ΔA=A0

-A1斷口處橫截面面積改變量

Q235鋼

=60﹪2.其它塑性金屬材料拉伸力學性能

塑性材料特點

＞5﹪現(xiàn)象有的有明顯屈服階段有的則無塑性指標σs問題來了：對無明顯屈服階段的塑性材料,

如何確定屈服極限？

ε錳鋼16錳鋼退火球墨鑄鐵玻璃鋼無明顯屈服階段有明顯屈服階段

一般地，一點線應變

由兩部分組成：彈性應變

e和塑性應變

p

＝

e＋

p

e

pεε

0.2平行于比例階段0.2％塑性應變K名義屈服極限σ0.2塑性應變等于0.2％時的應力值強度指標：σs或σ0.2

（MPa）ε（%）100500.45

b3.鑄鐵拉伸

1）

強度極限低

σb=110～160MPa

2）非線性可近似用割線代替

3）無屈服，無頸縮

4）

＜0.5﹪5）平斷口所以脆性材料。。。4.材料壓縮力學性能壓縮

(MPa)0.200.10200400ε1）E，

p

，

e，

s與拉伸相同2）測不出

b3）試件棋子狀壓縮試驗無意義低碳鋼拉伸400

(MPa)ε3006000.100.05壓縮

1.

b高于拉伸（接近4倍）2.

大于拉伸（接近5%）3.E與拉伸不同4.斜斷口——剪斷可制成受壓構件拉伸斷口鑄鐵§8.4

軸向拉壓桿強度條件什么是失效？斷裂，變形過大，穩(wěn)定性不足，高溫，腐蝕etc

正常工作這里只討論強度不足引起的失效。1.強度計算的基本思想外力↑內力↑應力↑

0時破壞

0稱之為極限應力（危險）——材料固有性質

(ultimatestress)

欲使構件安全工作，需要理論強度條件2.實用強度條件僅滿足太危險，所以。。。n—安全因數(shù)(factorofsafety)>1

s或

0.2

塑性材料

0=

b

脆性材料[

]—許用應力(allowablestress)確定n的原則：①載荷，靜or動？②材料自身，均勻？塑？脆？③理論計算的精度④零件重要否？工況如何？3.強度計算內容拉壓問題強度條件可解決三方面問題：⑴強度校核⑵求許可載荷[F]

⑶設計截面[F]——人生目標[

]——個人能力A——條件與措施例8-5已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應力

[

]=17MPa，試判斷此桿是否滿足強度要求。解：1、軸力FN=F=25kN2、應力：3、強度校核：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。FF25kNxFN例8-6簡易起重設備中，AC桿由兩根80

80

7等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號工字鋼組成。材料為Q235鋼，許用應力[

]=170MPa。求許可載荷[F]。ABCF1m30°FAxyFN1FN230。解：（1）取A點為研究對象，受力分析如圖所示。點A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到（2）許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）結論：許可荷載[F]=184.6kN§8.5

軸向拉壓桿的變形1.軸向變形(axialdeformation)軸向應變(axialstrain)由可得胡克定律的另一種形式。幾種？EA？ll1aa1bb12.橫向變形(lateraldeformation)，泊松比橫向應變(lateralstrain)橫向變形泊松比在比例極限內?。?！取值范圍？負？ll1aa1bb1a.等截面直桿受圖示載荷作用，計算總變形。（各段EA均相同）b.連續(xù)變化軸力，計算總變形。取微段dx容重c.階梯桿，各段EA不同，計算總變形。

d.截面連續(xù)變化桿受圖示載荷作用計算總變形。（各段

EA均相同）例8-7圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：（1）I-I、II-II、III-III截面的軸力并作軸力圖；（2）桿的最大正應力

max；（3）B截面的位移及AD桿的變形。F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kN（1）求I-I、II-II、III-III截面的軸力并作軸力圖F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3F1FN1FRDFN3F2F1FN2F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN15+-2050F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN（2）桿的最大正應力

maxAB段CD段BC段

max=176.8MPa

發(fā)生在AB段F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3（3）B截面的位移及AD桿的變形F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3例8-8已知桿的抗拉壓剛度EA，F(xiàn)1，F(xiàn)2，l1，l2，試分析桿

AC

的軸向變形

Dl。解：分段求解解法二——疊加原理分別計算2個力單獨作用引起AC的變形，然后代數(shù)疊加單獨F1作用時單獨F2作用時二者相加，即和前述結果一致?！?.6

應力集中的概念因桿件外形（尺寸，形狀）突然變化而引起局部應力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應力集中，如：孔、裂縫、溝槽…應力集中因數(shù)smax－截面上最大局部應力。sm－名義應力(凈截面上的平均應力）；同一截面上按凈面積算出的平均應力。開有圓孔的板條帶有切口的板條尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應力集中的程度越嚴重。FFFFFF應力集中對構件強度的影響對于脆性材料構件，當

smax＝sb

時，構件斷裂。應力集中對脆性材料的影響嚴重，應特別注意。對于塑性材料構件，當smax達到ss

后再增加載荷，

s

分布趨于均勻化，不影響構件靜強度。應力集中促使疲勞裂紋的形成與擴展，對構件

（塑性與脆性材料）的疲勞強度影響極大?！?.7

軸向拉壓超靜定問題

前述章節(jié)中，支反力，軸力均可由靜力平衡方程求得，屬靜定問題（staticallydeterminateproblem），再看看這個：ααAFBC1

2yFFN1FN2xααA一個鑰匙兩把鎖，如之奈何？E2A2=E1A1FE1A1E3A3ABCDl1l3l2=l1321yxFFN3FN2FN1A超靜定問題——僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力。又稱靜不定問題（staticallyindeterminateproblem)。求解步驟：2、然后根據(jù)變形協(xié)調條件列出變形幾何方程；3