備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第二章§2.9　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

§2.9函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解考試要求1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解．知識梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(×)(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.(×)(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)有且僅有一個零點(diǎn)．(×)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，則f(x)無零點(diǎn)．(√)教材改編題1．(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為()A．(1,2)B．(2,3)C．(5,6)D．(5,7)答案BCD解析由所給的函數(shù)值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴f(x)在區(qū)間(2,3)，(5,6)，(5,7)內(nèi)各至少有一個零點(diǎn)．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0，))則f(x)的零點(diǎn)為________．答案－2，e解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.3．方程2x＋x＝k在(1,2)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(3,6)解析設(shè)f(x)＝2x＋x，∴f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，又f(1)＝3，f(2)＝6，∴3<k<6.題型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定例1(1)(多選)(2022·菏澤質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案AD解析f(－2)＝eq\f(1,e2)>0，f(－1)＝eq\f(1,e)－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因?yàn)閒(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)．(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案A解析函數(shù)y＝f(x)是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點(diǎn)．教師備選(2022·湖南雅禮中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)答案D解析f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)，令f′(x)>0?x>3，f′(x)<0?0<x<3，∴f(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，又f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)．又f(e)＝eq\f(e,3)－1<0，∴f(x)在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·太原模擬)利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一個區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案C解析設(shè)f(x)＝log3x－3＋x，當(dāng)x→0時，f(x)→－∞，f(1)＝－2，又∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在區(qū)間(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一個區(qū)間是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函數(shù)y＝logax與y＝－x＋b的交點(diǎn)為(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.答案2解析依題意x0為方程logax＝－x＋b的解，即為函數(shù)f(x)＝logax＋x－b的零點(diǎn)，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.題型二函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定例2(1)(2022·紹興模擬)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，已知函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,ex，x<0，))則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－6,6]內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為()A．14B．13C．12D．11答案C解析因?yàn)閒(x＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是周期為2函數(shù)，因?yàn)閤∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，所以作出它的圖象，則y＝f(x)的圖象如圖所示．(注意拓展它的區(qū)間)再作出函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,ex，x<0))的圖象，容易得出交點(diǎn)為12個．(2)函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點(diǎn)個數(shù)為______．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域?yàn)閇－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，∴x為－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6個零點(diǎn)．教師備選函數(shù)f(x)＝2x|log2x|－1的零點(diǎn)個數(shù)為()A．0B．1C．2D．4答案C解析令f(x)＝0，得|log2x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，分別作出y＝|log2x|與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象(圖略)，由圖可知，y＝|log2x|與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象有兩個交點(diǎn)，即原函數(shù)有2個零點(diǎn)．思維升華求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點(diǎn)；(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤x<2時f(x)＝x2－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[－3,3]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為()A．6B．7C．8D．9答案B解析令f(x)＝x2－x＝0，所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0.所以函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[－3,3]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7.(2)(2022·泉州模擬)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)的個數(shù)為()A．3B．7C．5D．6答案B解析根據(jù)題意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2).作出f(x)的簡圖：由圖象可得當(dāng)f(x)＝1和f(x)＝eq\f(1,2)時，分別有3個和4個交點(diǎn)，故關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)的個數(shù)為7.題型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)例3(2022·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋2x|，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))若關(guān)于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4－2eq\r(3)) B．(4＋2eq\r(3)，＋∞)C．[0,4－2eq\r(3)] D．(0,4－2eq\r(3))答案D解析畫出f(x)的函數(shù)圖象，設(shè)y＝a(x＋3)，該直線恒過點(diǎn)(－3,0)，結(jié)合函數(shù)圖象，若y＝a(x＋3)與y＝－x2－2x相切，聯(lián)立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，Δ＝(a＋2)2－12a＝0，得a＝4－2eq\r(3)(a＝4＋2eq\r(3)舍)，若f(x)＝a(x＋3)有四個不同的實(shí)數(shù)根，則0<a<4－2eq\r(3).命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)例4(2022·北京順義區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C．(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案B解析由f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x)＝0，可得a＝3x－eq\f(1,x)，令g(x)＝3x－eq\f(1,x)，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函數(shù)y＝3x，y＝－eq\f(1,x)在區(qū)間(－∞，－1)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增．當(dāng)x∈(－∞，－1)時，g(x)＝3x－eq\f(1,x)<3－1＋1＝eq\f(4,3)，又g(x)＝3x－eq\f(1,x)>0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).教師備選1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)－kx2有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為________．答案－1解析由f(x)＝eq\f(x,x＋2)－kx2＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋2)－kx))，函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)－kx2有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)y＝eq\f(1,x＋2)－kx只有一個零點(diǎn)x0，且x0≠0.即方程eq\f(1,x＋2)－kx＝0有且只有一個非零實(shí)根．顯然k≠0，即eq\f(1,k)＝x2＋2x有且只有一個非零實(shí)根．即二次函數(shù)y＝x2＋2x的圖象與直線y＝eq\f(1,k)有且只有一個交點(diǎn)(橫坐標(biāo)不為零)．作出二次函數(shù)y＝x2＋2x的圖象，如圖．因?yàn)閑q\f(1,k)≠0，由圖可知，當(dāng)eq\f(1,k)>－1時，函數(shù)y＝x2＋2x的圖象與直線y＝eq\f(1,k)有兩個交點(diǎn)，不滿足條件．當(dāng)eq\f(1,k)＝－1，即k＝－1時滿足條件．當(dāng)eq\f(1,k)<－1時，函數(shù)y＝x2＋2x的圖象與直線y＝eq\f(1,k)無交點(diǎn)，不滿足條件．2．若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))解析依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知，m需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,m－2－m＋2m＋12m＋1<0，,m－2＋m＋2m＋1·[4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).思維升華已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|，x>0，,exx＋1，x≤0.))若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b可取的值可能是()A．0B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1答案BCD當(dāng)x≤0時，f(x)＝(x＋1)ex，則f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2,0]上單調(diào)遞增，且f(－2)＝－eq\f(1,e2)，f(0)＝1，x→－∞時，f(x)→0，從而可得f(x)的圖象如圖所示，通過圖象可知，若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有三個不同的交點(diǎn)，則b∈(0,1]．(2)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1,3]上有零點(diǎn)，則m的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))答案D解析由于函數(shù)y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在區(qū)間(1,3]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增，由于函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1,3]上有零點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m<0.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).

課時精練1．函數(shù)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析由題意知，f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，因?yàn)閒(x)在R上連續(xù)且在R上單調(diào)遞增，所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的過程中，計算得到f(1)<0，f(3)>0，則方程的近似解落在區(qū)間()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))答案A解析取x1＝2，因?yàn)閒(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，取x2＝eq\f(3,2)，因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝4×eq\f(27,8)＋eq\f(3,2)－8＝7>0，所以方程近似解x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).3．(2022·武漢質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有實(shí)數(shù)解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).4．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log4x－1，x>1，,－3x－m，x≤1))存在2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[－3,0) B．[－1,0)C．[0,1) D．[－3，＋∞)答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一個零點(diǎn)，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log4x－1，x>1，,－3x－m，x≤1))存在2個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在(－∞，1]上有一個零點(diǎn)，x≤1時，f(x)＝0?m＝－3x，即函數(shù)y＝－3x在(－∞，1]上的圖象與直線y＝m有一個公共點(diǎn)，而y＝－3x在(－∞，1]上單調(diào)遞減，且有－3≤－3x<0，則當(dāng)－3≤m<0時，直線y＝m和函數(shù)y＝－3x(x≤1)的圖象有一個公共點(diǎn)．5．(2022·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，設(shè)0<a<b<c，且滿足f(a)·f(b)·f(c)<0，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的一個解，那么下列不等式中不可能成立的是()A．x0<a B．x0>cC．x0<c D．x0>b答案B解析f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由f(a)·f(b)·f(c)<0，得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.∴x0<a或b<x0<c，故x0>c不成立．6．(2022·北京西城區(qū)模擬)若偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的根的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．多于4答案C解析f(x)＝log3|x|的解的個數(shù)，等價于y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，且f(x)為偶函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象，如圖所示．顯然函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象有4個交點(diǎn)．7．(多選)函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k的交點(diǎn)個數(shù)可能是()A．1B．2C．4D．6答案ABC解析由題意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，))在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由其圖象知，直線y＝k與y＝f(x)的圖象交點(diǎn)個數(shù)可能為0,1,2,3,4.8．(多選)(2022·南京模擬)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間，并是構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點(diǎn)x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動點(diǎn)”函數(shù)的是()A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析選項(xiàng)A，若f(x0)＝x0，則＝0，該方程無解，故A中函數(shù)不是“不動點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)B，若g(x0)＝x0，則xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)C，若f(x0)＝x0，則＋1＝x0，可得xeq\o\al(2,0)－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝eq\f(3＋\r(5),2)，故C中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)D，若f(x0)＝x0，則|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|與y＝x＋1的函數(shù)圖象，如圖，由圖可知，方程|log2x|＝x＋1有實(shí)數(shù)根x0，即|log2x0|＝x0＋1，故D中函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)．9．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函數(shù)，且有三個不同的零點(diǎn)，寫出一個符合條件的函數(shù)：f(x)＝________.答案x3－x(答案不唯一)解析f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c為奇函數(shù)，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三個不同零點(diǎn)，∴b<0，∴f(x)＝x3－x滿足題意．10．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))若函數(shù)y＝f(x)－m有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(1,2)解析畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象，如圖所示，注意當(dāng)x＝－1時，f(－1)＝－1＋2＋1＝2，f(0)＝1，∵函數(shù)y＝f(x)－m有三個不同的零點(diǎn)，∴函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有3個交點(diǎn)，由圖象可得m的取值范圍為1<m<2.11．(2022·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0，e2]上有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e2)，\f(1,e)))解析∵函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0，e2]上有三個零點(diǎn)，∴y＝f(x)的圖象與直線y＝ax在區(qū)間(0，e2]上有三個交點(diǎn)，由函數(shù)y＝f(x)與y＝ax的圖象可知，k1＝eq\f(2－0,e2－0)＝eq\f(2,e2)，f(x)＝lnx(x＞1)，f′(x)＝eq\f(1,x)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，lnt)，則eq\f(lnt－0,t－0)＝eq\f(1,t)，解得t＝e.∴k2＝eq\f(1,e).則直線y＝ax的斜率a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e2)，\f(1,e))).12．(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，則x1x2＝________.答案1解析x1，x2分別是函數(shù)y＝ex，函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))兩點(diǎn)關(guān)于y＝x對稱，因此x1x2＝1.13．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x－1，g(x)＝log2x＋x－1，h(x)＝x3＋x－1的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小為()A．c>b>a B．b>c>aC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b答案B解析令f(x)＝0，則2x＋x－1＝0，得x＝0，即a＝0，令g(x)＝0，則log2x＋x－1＝0，得x＝1，即b＝1，因?yàn)楹瘮?shù)h(x)＝x3＋x－1在R上為增函數(shù)，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，所以h(x)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點(diǎn)c，且c∈(0,1)，綜上，b>c>a.14．(2022·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a