高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣9 計(jì)數(shù)原理講學(xué)案 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

回扣9計(jì)數(shù)原理

IT基礎(chǔ)回歸--------------------

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，可以有〃類辦法，在第一類辦法中有以種方法,在第二類辦法中有麼種方法，…，

在第n類辦法中有血種方法，那么完成這件事共有以+加+…+園種方法(也稱加法原

理).

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要經(jīng)過(guò)〃個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有的種方法，做第二步有血種方法，…，

做第〃步有應(yīng)種方法，那么完成這件事共有血X…Xa,種方法(也稱乘法原理).

3.排列

(1)排列的定義：從〃個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做

從〃個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出加辰M個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n

個(gè)不同元素中取出〃個(gè)元素的排列數(shù)，用AZ表示.

(3)排列數(shù)公式：A7=〃(〃-1)(〃-2)…(〃一/+1).

(4)全排列：A個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做A個(gè)元素的一個(gè)全排列，9=n?(n—

nI

1)?5—2)....2?1=加.排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為A；=T—y-，這里規(guī)定0!=

{n~nr)!

1.

4.組合

(1)組合的定義：從〃個(gè)不同元素中取出個(gè)元素合成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中

取出0個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合數(shù)的定義：從〃個(gè)不同元素中取出"個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃

個(gè)不同元素中取出〃個(gè)元素的組合數(shù)，用比表示.

(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：———=-——-——尸-------由于0!=1,所

A“m\(n—/n)!初

以璘=1.

(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①&②CM=C2+C尸.

5.二項(xiàng)式定理

(a+6)"=C：a"+C：a"…+Ca""力"+…+C76"(AGN*).

這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)C：(k=

0,1,2,…，〃)叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用71+1表示，即展

開(kāi)式的第4+1項(xiàng)：Tk+l=片.

6.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)

(1)項(xiàng)數(shù)為〃+L

(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)n,即a與6的指數(shù)的和為n.

(3)字母a按降哥排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到零；字母6按升幕排列，從

第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到〃

(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從點(diǎn),C,一直到C式,

7.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C],當(dāng)人號(hào)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)左＞號(hào)時(shí)，

二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，那么其展開(kāi)式中間一項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

-+1

2

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)Ti和，+i的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.

——+1——+1

22

(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和

(a+6)”的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2",即C：+C+e+…+C+…+&=2".

二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即C+C：+C：+…

=C：+C[+C：+i=2"T.

易錯(cuò)提醒

1.關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的注意事項(xiàng)

(1)分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于:

分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以

做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完

成了才算完成這件事.

(2)混合問(wèn)題一般是先分類再分步.

(3)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏.

（4）要恰當(dāng)畫(huà)出示意圖或樹(shù)狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.

2.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.

（2）以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

（3）先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).

3.排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧

（1）特殊元素優(yōu)先安排.（2）合理分類與準(zhǔn)確分步.（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排.（4）

相鄰問(wèn)題捆綁處理.（5）不相鄰問(wèn)題插空處理.（6）定序問(wèn)題排除法處理.（7）分排問(wèn)題直排

處理.（8）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部.（9）構(gòu)造模型.（10）正難則反，等價(jià)條件.

4.對(duì)于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意

（1）區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì).

項(xiàng)的系數(shù)與a,6有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與〃有關(guān)，恒為正.

（2）運(yùn)用通項(xiàng)求展開(kāi)的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出k,再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)

需先求n,計(jì)算時(shí)要注意〃和4的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.

（3）賦值法求展開(kāi)式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0,±1.

（4）在化簡(jiǎn)求值時(shí)，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想看待a,b.

m回歸訓(xùn)練

1.從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣,

則不同的抽取方法數(shù)為（）

A.224B.112

C.56D.28

答案B

解析根據(jù)分層抽樣，從8名女生中抽取2人，從4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生

1名男生的方法數(shù)為dCl=112.

2.5人站成一排，甲、乙兩人必須站在一起的不同排法有（）

A.12種B.24種

C.48種D.60種

答案C

解析可先排甲、乙兩人，有度=2（種）排法，再把甲、乙兩人與其他三人進(jìn)行全排列，有

A：=24（種）排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有2X24=48（種）排法，故選C.

3.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任）,

要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A.210種B.420種

C.630種D.840種

答案B

解析因?yàn)橐?位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況,1男2女或2男1女.若

選出的3位教師是1男2女，則共有C/謔=180（種）不同的選派方法；若選出的3位教師是

2男1女，則共有ClC：A；=240（種）不同的選派方法，所以共有180+240=420（種）不同的方

案，故選B.

4.將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、清華大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所

大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有（）

A.150種B.180種

C.240種D.540種

答案A

解析先將5個(gè)人分成三組，（3,1,1）或（1,2,2）,分組方法有僚+心孚=25（種），再將三

組全排列有8=6（種），故總的方法數(shù)有25X6=150（種）.

5.（2016?四川）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.48

C.60D.72

答案D

解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)

中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C；種選法，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列有A：種排法，則滿足條件的五位

數(shù)有點(diǎn)?A；=72（個(gè)）.故選D.

6.如圖，花壇內(nèi)有5個(gè)花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池

內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為

A.180B.240

C.360D.420

答案D

解析若5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉，方法有用種，若5個(gè)花池栽了4種顏色的花卉，則

2,4兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，或3,5兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，方法有2只種；若5

個(gè)花池栽了3種顏色的花卉，方法有點(diǎn)種，所以最多有屋+2魔+屋=420（種）.

7.某天連續(xù)有7節(jié)課，其中語(yǔ)文、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物5科各1節(jié)，數(shù)學(xué)2節(jié).在排

課時(shí)，要求生物課不排第1節(jié)，數(shù)學(xué)課要相鄰，英語(yǔ)課與數(shù)學(xué)課不相鄰，則不同排法的種數(shù)

為（）

A.408B.480

C.552D.816

答案A

解析數(shù)學(xué)在第（1,2）節(jié)，從除英語(yǔ)外的4門課中選1門安排在第3節(jié)，剩下的任意排，故

有C：A：=96（種）排法；數(shù)學(xué)在第⑵3）節(jié)，從除英語(yǔ)、生物外的3門課中選1門安排在第1

節(jié)，從除英語(yǔ)外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié)，剩下的任意排，故有C/A；=54（種）

排法；數(shù)學(xué)在（3,4）,（4,5）,（5,6）情況一樣，當(dāng)英語(yǔ)在第1節(jié)時(shí)，其他任意排，故有A；=

24（種）排法，當(dāng)英語(yǔ)不在第1節(jié)時(shí)，從除英語(yǔ)，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再

從除英語(yǔ)外剩下的3門中選2門放在數(shù)學(xué)課前1節(jié)和后1節(jié)，乘J下的任意排，有C；A加=36（種）

排法，故共有3X（24+36）=180（種）排法；數(shù)學(xué)在第（6,7）節(jié)時(shí)，當(dāng)英語(yǔ)在第一節(jié)時(shí)，其他

任意排，故有解=24（種）排法，當(dāng)英語(yǔ)不在第1節(jié)，從除英語(yǔ)，生物外的3門課中選一門安

排在第1節(jié)，再?gòu)某⒄Z(yǔ)外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié)，剩下的任意排，有C/A；=

54（種）排法，故有24+54=78（種）排法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有96+54+180+78

=408（種）排法.故選A.

8.設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i＞的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為（）

A.-157B.15/

C.-20iyD.20i/

答案A

解析由題可知，含x4的項(xiàng)為《式2=-15f.故選A.

9.在二項(xiàng)式（*一^”的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為

（）

A.32B.-32

C.0D.1

答案C

解析依題意得所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2〃=32,解得〃=5.

因此，令x=l,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于（I?-；）=o,故選Q

10.已知（1+父+（1+分？+（1+^，+…+（1+分"=&+&不+。23+…+&/,且為+2+〃2

+…+a=126,那么［5一的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-15B.15

C.20D.-20

答案D

2”-1

解析令x=1得為+功+/+…+a=2+2?+…+2"=2~=2/?+1—2=126=>2/7+1=128

N—1

n2"+i=2'n〃=6,又，+1=底（正）-｛一力"=或（一1）"一",

所以由3—"=0,得常數(shù)項(xiàng)為一日=-20.

故選D.

11.已知等比數(shù)列｛aj的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式Q+；）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，則a-&=.

答案36

解析（葉今的展開(kāi)式的通項(xiàng)為加尸區(qū)個(gè)

令4-24=0,得#=2,.,.常數(shù)項(xiàng)為以=6,即a=6.

,.,｛@〃｝為等比數(shù)列，...@3?@7=@看=62=36.

12.書(shū)架上原來(lái)并排放著5本不同的書(shū)，現(xiàn)要再插入3本不同的書(shū)，那么不同的插入方法共

有種.

答案336

解析由題意得3本不同的書(shū)，插入到原來(lái)的5本不同的書(shū)中，可分為三步，第一步：先插

入第一本，插入到原來(lái)5本不同的書(shū)排成的一排所形成的6個(gè)間隔中，有&=6（種）方法；

第二步：再插入第二本，插入到原來(lái)6本不同的書(shū)排成的一排所形成的7個(gè)間隔中，有A；=

7（種）方法；第三步：再插入第三本，插入到原來(lái)7本不同的書(shū)排成的一排所形成的8個(gè)間

隔中，有忘=8（種）方法，共有6X7X8=336（種）不同的插入方法.

13.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各2名，分

別乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置），其中大一的

攣生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來(lái)自同一年級(jí)的乘坐方式

共有種.

答案24

解析分類討論，有2種情形.攣生姐妹乘坐甲車，則有索或以=12（種）乘車方式；享生姐

妹不乘坐甲車，則有C；C；C；=12（種）乘車方式.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有24種乘車

方式.

14.已知（l+2x）6=ao+aix+a2V+…+貝！11ao|+|ai|+|a?|+…+|a|=.（用

數(shù)字作答）

答案729

解析|劣1+|&|+,+?“+,相當(dāng)于（1+24的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和，令x=

1,WISo|+|31I+I32|+,??+|36|=36=729.

（1A