高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (31)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（31）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.（）分）

1.己知四棱錐P-4BC。中，平面240平面ABCZ）,其中A8CZ）為邊長為4的正方形，4PAD為

等腰三角形，PA=PD=2V3,則四棱錐P-4BC0外接球的表面積為（）

A.307rB.367rC.347rD.327r

2.體積為近的三棱錐4-BCD中，BCAC=BD=AD=3,CD=2層,AB<272，則該三棱錐

3

外接球的表面積為

A.20?rB.7TC.~^7TD.~7r

31212

3.蹴鞠起源于春秋戰(zhàn)國，是現(xiàn)代足球的前身.到了唐代，制作的蹴鞠已接近于現(xiàn)代足球，做法是：

用八片糅制好的尖皮縫制成“圓形”的球殼，在球殼內(nèi)放一個動物膀胱，“噓氣閉而吹之”，

成為充氣的球.如圖所示，將八個全等的正三角形縫制成一個空間幾何體，在幾何體內(nèi)放一個

氣球，往氣球內(nèi)充氣使幾何體膨脹，當(dāng)幾何體膨脹成球體（頂點位置不變）且恰好是原幾何體外

接球時，測得球的體積是乃兀，則正三角形的邊長為（）

4.下列四個命題:

①矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體一定是圓柱；

②以直角三角形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得幾何體是圓錐;

③圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交;

④圓錐的軸截面是等腰三角形.

其中錯誤命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.半正多面體（semiregn/arso〃d）亦稱“阿基米德多面體”，如圖所示，

是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美將正

方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去-一個三棱錐，如此共可截去八

個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的邊長都相等，其

中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊

體.若二十四等邊體的棱長為2,則該二十四等邊體外接球的表面積為（）

A.47rB.67rC.87rD.127r

6.已知正四面體P-ABC的棱長為a,。為正四面體P-ABC的外接球的球心，過點。作平行于底

面ABC的平面截正四面體P-4BC,得到四面體P-4/iCi，那么四面體P-4當(dāng)好的外接球

的表面積為

92272c「2r-x157

AA.-rca￡B.—na￡C.一TTQD.—na￡

832816

7.棱長為I的正方體力BCD-中，P為正方體表面上的一個動點，且總有PCLBDi，則

動點P的軌跡的長度為（）

A.|TTB.4兀C.3V2D.4企

8.在《九章算術(shù)J）中通常把直角三角形按照邊的大小分別稱為“勾、股、玄”。一個直角三角形

的玄長為8cm,有一個銳角為30。，繞其玄所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則得到的幾何體的表面積為（）

A.8（3+V3）7TC7n2B.24n:cm2

C.4（3+V3）7rc7n2D.8（6+y/G^ncm2

9.3。打印模型是使用輔助設(shè)計軟件C4力來進(jìn)行制作的.現(xiàn)有一家公司決定通過C4O來設(shè)計一個

球形兒童玩具模型，為增加美觀性，決定在球內(nèi)設(shè)計一個內(nèi)接三棱錐幾何體，已知該三棱錐P-

BMN的底面是等腰直角三角形BMN,且BM=BN=2,且點P到△BMN的三個頂點的距離都

為乃，則該公司設(shè)計的球形兒童玩具模型的半徑為

A.；B.；C.；D,

2222

10.如圖，在正方體48?！辏疽?道傳1。1中，點/）在線段3。1上運動，1c

則下列判斷中，正確命題的個數(shù)是（）

①三棱錐A-CD1P的體積不變；'、、］\

②4P〃平面AC?！浚灰?-玄弋（二＞^，

③平面PaD1平面力CD】；

④4P與ADi所成角的范圍是

A.4個B.3個C.2個D.1個

11.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球

的半徑為（）

叵

A.V22

2

12.已知正三棱柱ABC-的所有棱長都相等，。是A1名的中點，則AO與平面BCG/所成角

的正弦值為（）

B?管C.噂D?噂

多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

13.如圖是正方體的平面展開圖，則關(guān)于這個正方體的說法正確的是（

A.與平行

B.C7V與BE是異面直線

C.CN與成60。角

D.QM與BN是異面直線

14.如圖，在正方體ABCD-AIBIGDI中，棱長為2,點P在線段aC上運動，則正確的命題是（）

A.直線BO】J_平面46。

B.異面直線AP與4。所成角的最小值為45。

C.三棱錐P-&GD的體積為定值

D.正方體內(nèi)切球的體積為47r

三、填空題(本大題共13小題，共65.0分)

15.關(guān)于棱柱，下列說法正確的有(填序號).

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;

(2)棱柱的側(cè)棱長相等，側(cè)面都是平行四邊形；

(3)各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體.

16.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球。的球面上，P41平面A8C,且NB力C=60。，PA=2,

BC=2V3J!JA力BC面積最大時，球。的表面積為.

17.平行六面體486-&8傳過1中，已知底面四邊形ABCD為矩形，〃148=4&4。=多其中,

\AB\=a,\AD\=b,\AAX\=c,體對角線|4C|=1,則c的最大值是.

18.如圖，直三棱柱ABC-&BiCi中，力是BC的中點，四邊形4BB14

為正方形.若/4BC為等邊三角形，BC=4,則點8到平面AB］。的

距離是.

19.⑴已知復(fù)數(shù)z=(m2-2m-3)++l)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)機(jī)的值為

(2)等差數(shù)列｛an｝的前〃項之和為立,已知q>0,Sl2>0,EJVO,則S2,S3,Se

…，S”，S12中最大的是.

(3)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球

O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為.

(4)已知△ABC是半徑為5的圓。的內(nèi)接三角形，且tan4=%若近=%南+y彳？(x,y6R)，

貝H+y的取值范圍是.

20.已知一個圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為18兀，則此圓錐的內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形的直棱

柱)的體積的最大值為.

21.設(shè)P,。為一個正方體表面上的兩點，已知此正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)火0<。<2兀)角后能與

自身重合；那么符合條件的直線PQ的條數(shù)為.

22.已知直三棱柱ABC-的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=2,=4,ABAC=120°,

則此球的表面積等于.

23.在半徑為花的球。中，4、B、C、力為球。上的點，AD//BC,ABAD=DC=2,BC=4,

P是球。上的動點，則四棱錐P—ABC。的體積最大值為.

24.在四面體ABC。中，底面ABC,DA=AB=BC=1,AB1BC,則該四面體的外接球體

積為.

25.在三棱錐P—ABC中，AB1平面PAC,PC=AB=2AC=2,PA=V5,則該三棱錐的外接球。

的表面積為.

26.一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，若該圓錐的側(cè)面積為3百兀，則該圓錐外接球的表面積

為.

27,在三棱錐。一ABC中，已知4。1平面ABC,且△ABC為正三角形，4D=4B=8，點。為三

棱錐。-4BC的外接球的球心，則點。到棱DB的距離為.

四、解答題(本大題共3小題，共36.0分)

28.如圖，在長方體48。。一4816。1中，點E是的中點.

(1)求證：力劣〃平面&GE；

(2)若48=AD=2,44i=3,求點/到平面4送隹的距離.

29.用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的半徑比是1：4,截去的圓

錐的母線長是3cm.求截得的圓臺的母線長.

30.如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2,且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱.

(1)用x表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；

(2)當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查了簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，球的表面積和體積和面面垂直的性質(zhì).

利用四棱錐P-ABCD外接球的結(jié)構(gòu)特征得0E1平面A8CD,再利用面面垂直的性質(zhì)得PF1平面

ABCD,然后解三角形得外接球的半徑平方，最后利用球的表面積公式，計算得結(jié)論.

解：如下圖：

點E是正方形ABCQ的對角線交點，。是四棱錐P-4BCD外接球的球心，則OEL平面ABCD

取AO的中點F,連接PF.

因為平面PAD1平面ABCD交于AD,且P4=PD=2731所以PF_L平面ABCD,即P尸〃?！?/p>

因為正方形A8C3的邊長為4,若。E=x,

所以在RM04E中，AO2=AE2+0E2=8+x2.

又因為PF=2A/LEF=2,所以O(shè)P?="2+（PF-of）2=4+（2&—X）2,

而OP=。4為外接球的半徑，所以4+（2&—x）2=8+/，解得“爭

2

因此外接球的半徑的平方為8+（4）=

所以外接球的表面積為垢XI；347T.

故選C.

2.答案：B

解析:

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問題，屬于難題.

求出A8的長，確定出三棱錐，建立空間直角坐標(biāo)系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長方體中，如圖所示（4B分別為長方體棱上的中點），

BC=AC=BD=AD=3,CD=2通,則4CBD尚&CAD,

設(shè)。為CZ）中點，易得C。=。。=遮，OB=0A=^32—（V5）2=2,

則在Rt△048中，AB="22+22=2近,

而根據(jù)題干信息ZB<2VL則點B在上圖中的Q（不包含端點）上運動，

當(dāng)運動到三棱錐A-BCD的體積為竽時，此時的三棱錐如圖所示（O'B為三棱錐的高）:

由幾何關(guān)系可得448的面積為S“cD=?1。41=2遍,

故匕-Be。=Jx2V5x\B0'\=彎,解得|BO|=V3,

則在RtAOB。'中，B0=2,\B0'\=V3.貝1」。。'=1,

而。4=2,則力。'=1,則8為MN中點（M,N分別為對應(yīng)長方體棱上的中點），

而在△2CD中，AD=AC,。為CD中點，sin^DAO=―，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin/n4c=延，

9

設(shè)44CD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=

4

而4￡>=4C,。為CQ中點，所以AACD的外接圓圓心一定在0A所在的直線上,

而r=：>04=2,故外接圓圓心在0A的延長線上，

4

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,。1為△ACD的外接圓圓心，則OIA=￡

則POi1底面。1C4D,

而0送u底面01C4D,故POi1OXA,

而CD140「

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（01為原點，為），軸，POi為z軸，8的平行線為x軸）:

設(shè)P（0,0,z）則4（03,0）,B（0,；,V3）,

44

則|PB|=\PA\=R,

則+（z—次）2=,+Z?=R,

解得Z=—"（說明P在上圖所示的z軸的負(fù)半軸上）,

則R2=g,

故外接球的表面積S=4兀R2=?7r.

故選B.

3.答案：B

解析：

本題考查球的和體積和多面體的結(jié)構(gòu)特征,考查空間想象能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，可知該外接球是正八面體的外接球，設(shè)出邊長與半徑，利用體積即可求解.

解：圖中的八個全等的正三角形縫制成的空間幾何體是正八面體，，

設(shè)正三角形邊長為m正八面體外接球半徑為R,

則2R=近a，

由題可知X（=Mik,

J/

可得=3V3＞所以a=V3.

故答案為B.

4.答案：C

解析：

本題主要考查旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的結(jié)構(gòu)特征，屬基礎(chǔ)題.

對四個選項逐個分析即可得出答案.

解：①以矩形的對角線所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體不是圓柱，所以不正確；

②以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，所以

不正確；

③圓臺的任意兩條母線的延長線，一定相交，所以不正確；

④圓錐的軸截面是等腰三角形，正確.

所以錯誤的有3個，

故選C.

5.答案：C

解析：

本體考查簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積公式，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的對稱性，得出所求外接球為底面棱長為遮，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球是解題的

關(guān)鍵.

解：由已知，根據(jù)幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球為底面棱長為側(cè)棱長為2的正四棱

柱的外接球.

(2/?)2=(V2)2+(V2)2+22>R=V2>

,該二十四等邊體外接球的表面積為S=4TTR2=4TTx(通)1一8懺，

故選C.

6.答案：B

解析：

本題主要考查了簡單多面體(棱柱、棱錐、棱臺)及其結(jié)構(gòu)特征及球的表面積和體積，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)正四面體P-ABC的外接球的半徑為r,四面體P-4B1Ci的外接球的球心為Oi，半徑為小利用

勾股定理求得「=漁a.

4

V-6ar

意

由

題-3-

逅-進(jìn)而得到r1的值，從而得到答案.

Qn

4

解：設(shè)正四面體P-ABC的外接球的半徑為r,四面體P—ZiBiG的外接球的球心為Oi，半徑為心,

由題意知，正四面體P—A"的高為乎a，r2=/a-r)2+(9a)2,解得一彳如

所以四面體P-4B】Ci的高為在a,由題意得

匹&

a

3

-=

逅G

a

4

2

27Q

一77-T

故四面體P32

故選B.

7.答案：C

解析：

本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力、推理能力，屬中檔題.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，易證BOi平面4B1C,只要尸在平面平面481c內(nèi)總有PC1BDr則P的軌

跡為圖中的三角形AB1。除去C點，即可解答.

解：如圖：連接BiC,AC,

正方體4BCD-中，

由ACJ■平面88皿。，則4c1BD1,

由&C_L平面ABGDi，則B1CJ.BD1，

所以BDi_L平面4B1C,

只要「在平面平面A/C內(nèi)總有了C1BDi,

P為正方體表面上的一個動點，所以P的軌跡為圖中的三角形AB1。除去C點,

由正方體的棱長為1,所以4C=魚，三角形ZBiC的周長為3&,

故選C.

8.答案：A

解析：

本題考查的是空間幾何體得表面積問題，屬于基礎(chǔ)題。

解：由題意知，空間幾何體是以斜邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到兩個圓錐,

根據(jù)題意，底面半徑是28，即兩圓錐的弧長，=27TX2V5=4WTT，

母線長萬=4,r2=4y/3,

所以S=pS+r2)=gx4V3TTx(4+4V3)=8(3+V3)7rcm2,

故答案選A。

9.答案：A

解析:

本題主要考查了兒何體的外接球問題，意在考查考生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.

頂點在底面內(nèi)的射影是底面三角形的外心，將有關(guān)信息轉(zhuǎn)化為RtAOiOB中，利用勾股定理求解，另

外，本題中Rt△BMN斜邊上的中點到Rt△BMN各頂點的距離相等，因此只需在過斜邊中點且與Rt△

BMN所在平面的垂線上探求球心，即可解決問題.

解:設(shè)頂點P在底面內(nèi)的射影為由于PB=PM=PN=①，

所以O(shè)iM=0、B=OiN,即點。1是4BMN的外心.

因為BM=BN=2,ABMN是等腰直角三角形，

所以。1為的中點，MN=2?BOj=V2,P0r=2.

設(shè)外接球的球心為。，半徑為七則。必在POi上，

在RtAOiOB中，（2-/?>+（魚產(chǎn)=R2,解得R=*

故選A.

10.答案：B

解析：解：對于①，VA_DiPC=VA_CDiP,C到面AD1P的距離不變，

且三角形力D1P的面積不變.???三棱錐4-D1PC的體積不變；正確；

②連接&B,41cl容易證明平面B4C1〃面從而由線面平行的

定義可得aP〃平面4CD1；正確.

③連接根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DBi，面4。。1，DBiu平面P&D,

從而可以證明平面PBi。J?平面AC/；正確.

④當(dāng)戶與線段BQ的兩端點重合時，41P與4久所成角取最小值g,

當(dāng)尸與線段BC1的中點重合時，&P與45所成角取最大值與,

故4』與ADi所成角的范圍是弓,§；錯誤；

正確的命題個數(shù)有3個.

故選8.

&VA-D1PC=yA-CD1p<C到面ADiP的距離不變，且三角形A0P的面積不變；

②連接&B,41cl容易證明平面B&G〃面從而由線面平行的定義可得;

③連接。當(dāng)，容易證明OB】1面從而可以證明面面垂直；

④分析出aP與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；

本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系，空間想象能力，中檔題.

11.答案：B

解析：

本題考查了空間幾何體的三視圖，三棱錐外接球半徑的求法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

先根據(jù)三視圖還原三棱錐的直觀圖，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出該三棱錐的外接球的半徑即可.

解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD,F為2。的中點，

外接球球心。在過CZ）的中點E且垂直于平面BCD的直線/上，又點。到A,B,。的距離相等，

???。又在過左邊正方體一對棱的中點所在直線上，在△OEN中，由蕓=黑,即:=得0E=3,

ME0E30E

???三棱錐4-BCD外接球的球半徑R=WE?+BE2=卜+（魚尸=V11.

故選B.

12.答案：D

解析：

本題考查線面所成角的正弦值求解，考查分析與計算能力，屬于中檔題.

取AB中點E,作EF_1.BC于尸，連接得NE/F即為AD與平

面BCGa所成角，即可得到答案.

解：如圖，取AB中點E,作EFJ.BC于尸，

連接BiE,則/EB#即為4。與平面BCGa所成角?

不妨設(shè)棱長為4,則BF=1,BE=2,

EF=痘,B、E=2V5，

??.sin"B/=^=7r

故選D.

13.答案：CD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，異面直線，直線與直線所成的角，直線與直線的垂直，是基礎(chǔ)題.

將正方體的平面展開圖復(fù)原為正方體，對每個選項進(jìn)行判斷即可.

解：由題意畫出正方體的圖形，如圖：

8M與為異面直線，不平行，故A錯誤；

CN與BE平行,并且在同一平面ENCB中，故8錯誤；

因為NC//BE,所以BE與8M所成的角即為NC與8M所成的角，

因為是正方體的面對角線，所以三角形BEM為等邊三角形，所以60，

所以CN與B加成60。角，故C正確；

因為EN_L平面CDNM,DMC平面CDNA/,所以EN1DM,

又因為DMINC,并且NCnEN=N,EN,NC都在平面BCN內(nèi)，

所以。M_L平面5CN,又因為BN在平面2CN內(nèi)，所以O(shè)M與8N垂直，故￡＞正確.

故選CD.

14.答案：AC

解析：

本題主要考查了線面垂直的判斷，考查了異面直線所成角，考查了空間幾何體的體積，屬于中檔題,

利用相關(guān)定理對選項逐項判定即可.

解：如圖：

對A、連接當(dāng)歷，根據(jù)正方體的性質(zhì)，

BB114G，B也1又BBin8也=Bx,

，aCi_L平面BiBODi,Z?DiU平面

AiG1BD1,

同理&01B01，又&Dn41cl=&,

BDiJ.平面力iGD,故A正確；

對8,?.?4D〃BiC,.,.直線”與81c所成的角即為異面直線”與&D所成角,

為正三角形，點P在線段4C上運動，

.??直線AP與81c所成的角的取值范圍為［60。,90。］,

即異面直線AP與所成角的取值范圍為［60。,90。］,故B錯誤；

對C,?:AM/BG又從DU平面ACiDBCU平面4G。，

B\C］,，面lVp-AiCiD=

即三棱錐P—AiCi。的體積為定值，故C正確；

對。，正方體棱長為2,則內(nèi)切球半徑為R=l,

則體積l'=、R3、，故O錯誤，

故選AC.

15.答案：(2)

解析：

本題主要考查棱柱的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

解：(1)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體，但是這個幾何體不是棱柱，二(1)不

正確.

(2)五棱柱的底面是五邊形，六棱柱的底面是六邊形，(2)正確；

(3)棱錐被過頂點的平面分成的兩部分有可能都是棱錐，二(3)不正確；

故答案為(2).

16.答案:207r

解析：

本題考查球的表面積公式，余弦定理，三角形的面積公式，利用基本不等式求最值，屬于較難題.

先運用余弦定理，三角形面積，基本不等式等求解出：當(dāng)△ABC為等邊三角形時其面積最大，設(shè)H

為△ABC的外心，建立與球。半徑R有關(guān)的方程，解方程即可.

解：如圖，在△ABC中，作ADJ.BC,

在△ABC中，Z.BAC=60°,BC=2相,由余弦定理，MFC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

AB2+AC2-AB-AC=12,^AB-AC<12,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，等號成立.

5-甌=]-BCAD=iAD-AC-siuZBAC

=^AB-AC<3V3.

ABC的面積最大值為3次，止匕時3x2取AD=373,即40=3,AB=AC=BC=2W，此時△ABC

為等邊三角形，

記H為44BC的外心，即三棱錐P-4BC的外接球半徑為R,

連接0H,過。做0E1P力于E,

可知AH=|/W=2,

易知四邊形0H4E為矩形，令OH=X,

則有R2=22+/=Q_%)2+22,解得R2=5,

故球。的表面積為S：垢儲2O7T.

故答案為207r.

17.答案:V2

解析：

根據(jù)直線與平面所成角的定義，求出線面角，結(jié)合三角形的正弦定理，即可求出c,的最大值.

本題考查執(zhí)行與平面所成角、線面角，考查正弦函數(shù)求最值等知識點，數(shù)形結(jié)合，屬于難題.

解：如圖，

由44送8=44送0=g可知，點為在底面的射影點在直線AC上，記直線&A與底面的夾角為。,

則cos。=cosZ-A^B?CQSZ-CAB,

所以cos。=cos-cos-=—，所以sin。=—，

3442

在△A14C中，由正弦定理可得c=&sin〃iC4WVL

當(dāng)=T時，。取最大值VL

故答案為：V2

18.答案:延

5

解析：

本題考查根據(jù)等積法求點到平面的距離，屬于中檔題.

由等體積法以-BBS=構(gòu)造關(guān)于所求距離的方程，解出方程即可得結(jié)果.

解：???在直三枝柱ABC—481G中，

平面;平面ABC,且BC為它們的交線又AD1BC,

?1?AD，平面BCG'1設(shè)點B到平面AB/的距離為h,

由等體積法可得：VA-B0D=叫-BB1-BD-DA=1^-AD-DBr-h,

即4?2?6=g?2遍?/i，

14V5

??,h=——，

5

即點B到平面4當(dāng)。的距離為華.

故答案為延.

5

19.答案：(1)3

⑵56

⑶當(dāng)

5

(4)(-oo-]

O

解析：

(1)本題考查純虛數(shù)定義，得出｛?。?2mo"3=0,解之可得答案.

解：由題意和純虛數(shù)定義可得色2-2巾13=0；

解得m=3.

故答案為3.

(2)本題考查等差數(shù)列的前〃項和以及性質(zhì)，得出等差數(shù)列｛即｝的前6項為正數(shù)，從第7項開始為負(fù)

數(shù)，易得結(jié)論.

解：因為等差數(shù)列｛aj的前〃項和為土,

a1>0,Si2=12(a6+a7)>0,S13=13a7<0,

所以。6+。7>0,a7<0,

所以等差數(shù)列｛a"的前6項為正數(shù)，從第7項開始為負(fù)數(shù)，

故S6最大.

故答案為56.

(3)本題考查三棱錐的體積，考查學(xué)生的計算能力，求出點。到平面ABC的距離，進(jìn)而求出點S到

平面A8C的距離是關(guān)鍵.

根據(jù)題意，利用截面圓的性質(zhì)即可求出001，進(jìn)而求出底面48c上的高S￡>,即可計算出三棱錐的體

積.

解：根據(jù)題意，

設(shè)球心為。，過ABC三點的小圓的圓心為則0。11平面A8C,

延長CO】交球于點D,則SOJ_平面48c.

cc2V3V3

,**CO1=—X—=—,

1323

.?.0。］=浮

?滴SD=2。。1=孚

???△力8。是邊長為1的正三角形，

?C_V3

..hABC_4'

1V3276y/2

yI7=-x——x——=—,

3436

故答案為五.

6

(4)本題主要考查了二倍角公式、向量運算、基本不等式、平面幾何等方面的知識，以及解二次不等

式等有關(guān)方面的能力，屬于中高檔題型.

根據(jù)二倍角公式求出COSNBOC,進(jìn)而利用平面向量的加減及數(shù)乘運算和基本不等式即可求得％+y的

取值范圍.

解:由已知得，不妨設(shè)x+y<l,(即點。在△ABC內(nèi))，

sinZBAC=g,cos/BAC=|,又乙BOC=2乙BAC,

如圖所示，貝(jcoszBOC=2xcos2Z.BAC-1=-親,

又=x~AB+y~AC=x(A0+05)+y(^AO+0C),

即(％+y-1)而=-xOB-yOCf

2222

兩邊平方可得(％+y—1)2^Q—x2Q~g+2xyO^-0?+y0??

整理得2(%+y)-1=設(shè)％+y=t,則%y工g當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立.

代入上式可得2-拼2,即16t2-501+25NO,解得t輻或tN|,

故％+y的取值范圍是(一8,自.

故答案為(一8曲.

o

20.答案：8-\/3

解析：

本題主要考查空間幾何體四棱柱的體積的最大值，考查利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，屬于中檔題.

設(shè)出圓錐的母線長為/,高為人由已知解出/,比再設(shè)正四棱柱的高為"，底面正方形的邊長為“，

作出截面圖，表示出九'與。的關(guān)系，求出圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體積V=3ba2-彳。3,利用導(dǎo)數(shù)

討論單調(diào)性，判斷出最值即可.

解：設(shè)圓錐的母線長為/,高為人，

則S掰=3旭=18兀，解得［=6.

故人=VZ2-9=3V3.

如圖①，設(shè)正四棱柱的高為"，底面正方形的邊長為“，

作截面如圖②，則OE=#a.

COG

因為△SDE~aS4。，所以=

所以a=逋型，所以"=3我—漁a.

所以此圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體積為，=a2hf=a2（3V3-^a）=3>/3a2-^a3,0<a<3A/2.

則Vr=6V3a—a2，

2

令V'>0,得0<a<2注；令片<0,得2&<a<3&.

故J=375a2一日.3在區(qū)間（0,2夜）匕單調(diào)遞增，在區(qū)間（2夜,3夜）匕單調(diào)遞減.

所以當(dāng)a=2a時，監(jiān)ax=3A/3x（2V2）2-yx（2V2）3=8V3.

即此圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體積的最大值為8H.

故答案為：8V3.

21.答案：13

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，由正方體自身的對稱性可知，若正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)0（0<0<271）

角后能與自身重合，則P。必過正方體中心，由此分三種情況，即P,0為正方體一體對角線兩頂點

時，P,Q為正方兩相對棱中點時，P,。為正方體對面中心時求得符合條件的直線PQ的條數(shù).

解：若正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)火0<8<2兀）角后能與自身重合，則尸。必過正方體中心，否則，

正方體繞著直線P。旋轉(zhuǎn)。（0<。<2兀）角后，中心不能回到原來的位置，共有三種情況，

如圖，

圖1留2圖3

當(dāng)P,。為正方體一體對角線兩頂點時，如圖1,把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)f正方體回到原來的位置，

此時直線共有4條：

當(dāng)P,。為正方體對面中心時，如圖2把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)以兀,手，正方體回到原來的位置，此時直

線共有3條；

當(dāng)P,。為正方兩相對棱中點時，如圖3,把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)兀，正方體回到原來的位置，此時直

線共有6條；

綜上，符合條件的直線P0有4+6+3=13條.

故答案為13.

22.答案：327r

解析：

本題考查了直三棱柱的外接球問題，考查正弦定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出外接球半徑是關(guān)鍵，

屬于中檔題.

在△ABC中，利用等腰三角形性質(zhì)求出44BC=30。，然后利用正弦定理求出外接圓半徑，進(jìn)而根據(jù)

勾股定理求出外接球半徑，即可得解.

解：由題意可知，直三棱柱ABC-AiBiCi的高為九=4&=4,

在△力BC中，AB=AC=2,則該三角形為等腰三角形，

又NB4C120。,"ABC=30°，

設(shè)△力BC的外接圓半徑為r,

由正弦定理得力■■r=2.

sinZ.ABCsin30"

設(shè)直三棱柱ABC-ABiG的外接球半徑為R,

則R=r2+(-)2=25/2,

因此，該球的表面積為4TTR2=32兀.

故答案為327r.

23.答案：V3+-/15

解析：

本題考查四棱錐體積的最大值的求法，屬于中檔題.

根據(jù)題意可知當(dāng)平面PBCJ?平面ABCO時，四棱錐P-ABCD體積最大.由題可知底面四邊形為等腰

梯形A8CC,計算出其面積，在求出點尸到底面ABCQ的最大距離為人，由此求出四棱錐P-4BC。體

積的最大值.

解：由題意知，當(dāng)點尸到底面ABQ)的距離最大，即平面PBC1平面ABCC時，四棱錐P—ABCD體

積最大，

因為4D〃BC,AB=AD=DC=2,BC=4,

所以底面四邊形為等腰梯形ABCQ,

所以等腰梯形ABCD的面積S=x(2+4)xV3=3V3,

設(shè)點P到底面A8CO的距離為h,

則八max=V5+JV52-22=V5+1,

則四棱錐P-力BCD體積的最大值為［x3>/3x(1+V5)=V3+715.

24.答案:

9

解析:

本題考查四面體的外接球的體積的求解，著重考查了球內(nèi)接多面體等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

根據(jù)外心的性質(zhì)，可得其半徑，然后利用勾股定理求解得四面體A3C。的外接球的半徑即可求得球

的體積.

解：如圖，

■：AB1BC,AB=BC=1,

AC=V2.1??AD1面ABC,

DA1AC,DA1BC,

???△4CD是直角三角形，

vDAIBC,CB1BA,???CB1平面AB。，BC_LBD,CDB是直角三角形，

CD的中點就是球心，CD-Jl2+(V2)2=2/?>

R=—,

2

???球。的體積v=皿=巫.

32

故答案為止.

2

25.答案:97r

解析：

本題考查三棱錐的外接球，涉及球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意求出相關(guān)線段的長，得出P8的中點即為外接球的球心，得出2R=PB=3,由球的表面積公

式可得答案.

解：因為三棱錐P-4BC中，平面PAC,PC=AB=2AC=2,PA=V5.

所以力B_L4C,ABLAP,

由AB=2,PA=和勾股定理可得PB="俘+AB?=3,

由4c=1,AB=2,和勾股定理可得BC=VAC?+AB?=圾,

再由PC=2,PB=3,可得B(72+P(?2=pp2,

所以APCB為直角三角形，且NPCB為直角，

結(jié)合APAB為直角三角形，且NP4B為直角，和圓的性質(zhì)可得PB的中點即為外接球的球心，故2R=

PB=3,

故該三棱錐的外接球0的表面積為S=4兀/?2=兀＞4R2=9兀.

故答案為97r.

26.答案：等

解析：

本題考查圓錐的側(cè)面積公式與球的表面積公式，屬于較難題目.

先通過圓錐的側(cè)面積公式求出底面圓的半徑以及高，進(jìn)而通過勾股定理，求出外接球的半徑，從而

得到圓錐外接球的表面積.

解：

A

由題意知，三角形48c為正三角形，N4SB=N4SC=4BSC=60°,

所以48=S4,設(shè)圓錐底面半徑為r,則吟;=2兀，

sm60°

AB=y[3r,S0=\/3r2—r2=V2r,因為該圓錐的側(cè)面積為3g兀，

|x2nrxV3r=yj3nr2=3yj3n,r=V3,SO=6，

設(shè)圓錐的外