高考立體幾何題庫(kù)1

1、二面角a-/-6是直二面角，Aea,B&p,設(shè)直線與0、￡所成的角分別

為N1和N2,則

(A)Zl+Z2=90°(B)Nl+N2N90°(C)N1+N2W

90°(D)Zl+Z2<90°

解析：C

乙-------------/如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂

直的線，則/I和/2分別為直線AB與平面a1所成的角。根據(jù)最小角

定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成

的一切角中最小的角ZABO>Z2;NABO+Z1=90u/.Z2+Z1<90°

2.下列各圖是正方體或正四面體，P,。，R,S分別是所在棱的中

點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不年畫的一個(gè)圖是

(A)(B)(C)

(D)

D

解析：A項(xiàng)：PS底面對(duì)應(yīng)的中線，中線平行QS,PQRS是個(gè)梯形

B項(xiàng):

C項(xiàng)：是個(gè)平行四邊形

D項(xiàng)：是異面直線。

3.有三個(gè)平面a,8,r,下列命題中正確的是

(A)若a,8,K兩兩相交，則有三條交線(B)若aJ_

B,K,則￡〃Y

(0若&_1，，￡Aa=a,￡Ay=b,則(D)若a〃

B,￡Gr=0,則aGr=0

D

解析：A項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面相交，只有一條交線。

B項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩相交。

4.如圖所示，在正方體48C。-4SGA的側(cè)面/囪內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸

到直線48與直線8G的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為

C

解析:“_1_平面/51...與￡口民，如圖：P點(diǎn)到定點(diǎn)B的距離

與到定直線AB的距離相等，建立坐標(biāo)系畫圖時(shí)可以以點(diǎn)囪B的中點(diǎn)為

原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

5.在正方體ABCD-AxB{CyDx中與力2成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)

是

(A)4條(B)6條(C)8條

(D)10條

C

解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的

直線也有4條，共8條。

6.設(shè)4,B,C,。是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足"前=o,就.石=o,

AB.AD=0,則△38是

（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三

角形（D）不確定

C

解析：假設(shè)AB為a,AD為b,AC為c,且a>6>c則，BD=J/+/,

CD=VC2+62,BC=V77?如圖則BD為最長(zhǎng)邊，根據(jù)

—\2

余弦定理cos/DCB>0.-./DCB最大角

2yJa2+c2-Vc2+b2

為銳角。所以是銳角三角形。

7.設(shè)a、b是兩條不同的直線,a、B是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命

題（）

①若a±b,a±a,則b〃a②若alla,a±則a1。

③aJ./3,aJ,力,則a〃a④若a±b,aLa,b1.萬(wàn)，則aJ.J3

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

B解析：注意①中b可能在a上；③中a可能在a上；④中b//a,或

bea均有a1/3,

故只有一個(gè)正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為痣，底

面邊長(zhǎng)為百，E是SA的中點(diǎn),則異面直線BE與SC

所成角的大小為

A.90°B.60°

C.45°D.30°

AB

B解析：平移SC到S5,運(yùn)用余弦定理可算得BE=SE=S3=VI

9.對(duì)于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②

M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點(diǎn)到N的距離相等;④/,

M內(nèi)的兩條直線，且/〃M,m〃N;⑤/,m是異面直線,且/〃M,m〃

M;Z//N,m//N,則可判定平面M與平面N平行的條件的個(gè)數(shù)是

()

A.1B.2

C.3D.4

只有②、⑤能判定M//N,選B

10.已知正三棱柱ABC—AiBCi中,AiBICBi，

則AE與AC1

所成的角為

(A)45°(B)60°

(C)90°(D)120°

C解析：作CDLAB于D,作C[D」A]Bi于Dp連BQ、AD]，易知

ADBiDi是平行四邊形，由三垂線定理得AiB_LAG，選C。

11.正四面體棱長(zhǎng)為1,其外接球的表面積為

A.73"B.-"C.-"D.3"

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的l/4o(可連成四個(gè)小棱錐得

證

12.設(shè)有如下三個(gè)命題：甲：相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在

平面B內(nèi)；乙：直線/、m中至少有一條與平面6相交；丙：平面a與

平面B相交.

當(dāng)甲成立時(shí)，

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不

是丙的必要條件

解析：當(dāng)甲成立，即“相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面

B內(nèi)”時(shí)，若“八m中至少有一條與平面B相交”，則“平面a與平面

B相交成立；若“平面a與平面B相交”，則“/、m中至少有一條

與平面B相交”也成立.選(C).

13.已知直線m、n及平面a,其中m//n,那么在平面a內(nèi)到兩條直線加、

〃距離相等的點(diǎn)的集合可能是：（1）一條直線；（2）一個(gè)平面；（3）一

個(gè)點(diǎn)；（4）空集.其中正確的是

解析：（1）成立，如加、〃都在平面內(nèi)，則其對(duì)稱軸符合條件；（2）成

立，加、〃在平面a的同一側(cè)，且它們到a的距離相等，則平面a為所求,

（4）成立，當(dāng)加、〃所在的平面與平面a垂直時(shí)，平面a內(nèi)不存在到加、

〃距離相等的點(diǎn)

14.空間三條直線互相平行，由每?jī)蓷l平行線確定一個(gè)平面,則可確定平

面的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個(gè)側(cè)面。

15.若人6為異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是..

（）

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

解析：D如正方體的棱長(zhǎng)。

16.在正方體AiBiCQi-ABCD目＞一『c九D所成的角的大小為

D1

)

A

C.-D.-

32

解析：DBQ在平面AC上的射影BD與AC垂直，根據(jù)三垂線定理可

得。

17.如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在

棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是()

解析：CA,B選項(xiàng)中的圖形是平行四邊形，而D選項(xiàng)中可見(jiàn)圖:

18.如圖，是一個(gè)無(wú)蓋正方件合工記主面展開(kāi)圖，A、B、C為其上

An

的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子匚匚：等于

()c

A.45°B.60°

C.90°D.120°

A___________

解析：B如圖1-----Z

★右圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原正方體中，有下列命題:

①AB與CD所在直線垂直；②CD與EF所在直線平

行

③AB與MN所在直線成60°角;④MN與EF

所在直線異面

其中正確命題的序號(hào)是)

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

DB

19.線段以,OB,%不共面，zAOB=zBO(=zCOA=60°,勿=1,嬌2,

003,則△/回是

)

A.等邊三角形B非等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

解析：B.設(shè)AOx,A斤y,BOz,由余弦定理知：Al2+32-3=7,

/=12+2-2=3,Z2=22+32-6=7O

.??比是不等邊的等腰三角形，選（夕）.

20.若a,b,1是兩兩異面的直線，a與6所成的角是巴，1與a、1

3

與8所成的角都是a,

則a的取值范圍是)

D.g]

解析：D

解當(dāng)/與異面直線a”所成角的平分線平行或重合時(shí),a取得最小值工,

6

當(dāng)/與a、6的公垂線平行時(shí)，a取得最大峭，故選6

21.小明想利用樹(shù)影測(cè)樹(shù)高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)

竹竿影長(zhǎng)0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)樹(shù)高時(shí)，因樹(shù)靠近一

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所

示.他測(cè)得留在地面部分的影子長(zhǎng)2.7m,留在墻壁部分的

影高1.2m,求樹(shù)高的高度（太陽(yáng)光線可看作為平行光線）

4.2米

解析：樹(shù)圖為AB,影長(zhǎng)為BE,CD為樹(shù)留在墻上的影IWJ,

,CE=1.08^：,樹(shù)影長(zhǎng)BE=2.7+L08=3.78米，樹(shù)高

CECE0.9

AB=—BE=4.2TKO

0.9A

22.如圖，正四面體N

1~~'BcA-BCD

A（空

間四

邊形

的四

條邊長(zhǎng)及兩對(duì)角線的長(zhǎng)都相等）中，瓦廠分別是棱N28C的中點(diǎn)，則

EE和NC所成的角的大小是.

解析：設(shè)各棱長(zhǎng)為2,貝IJEF=及，取AB的中點(diǎn)為M,cosNMEE=①.即

2

0^-.

4

23.OX,OY,OZ是空間交于同一點(diǎn)。的互相垂直的三條直

線，點(diǎn)尸到這三條直線的距離分別為3,4,7,則。尸長(zhǎng)

為.

解析：在長(zhǎng)方體。無(wú)4-Z3PC中，OX、OY.OZ是相交的三條互相

垂直的三條直線。又PZ1OZ,PY1OY,PX1OX,有O*+。22=49,

0產(chǎn)=0*=9,or2+oz2=l6,

得0乃+0戶+應(yīng)^37,0戶踮.

24.設(shè)直線a上有6個(gè)點(diǎn)，直線6上有9個(gè)點(diǎn)，則這15個(gè)點(diǎn)，能確定

個(gè)不同的平面.

解析：當(dāng)直線。，b共面時(shí)，可確定一個(gè)平面；當(dāng)直線a,b異面

時(shí)，直線a與b上9個(gè)點(diǎn)可確定9個(gè)不同平面，直線力與a上6個(gè)

點(diǎn)可確定6個(gè)不同平面，所以一點(diǎn)可以確定15個(gè)不同的平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn).求證：

EF和AD為異面直線.

解析:假設(shè)EF和AD在同一平面a內(nèi),-（2分），則A,B,E,Fea;……

（4分）又A,EeAB,AABca,：.Bea,....（6分）同理Cea.......

（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是空間四邊形矛盾。1.EF和

AD為異面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AAB,

AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點(diǎn)，若AC+BD=a,ACBD=b,

求EG?+Ft/?.

解析：四邊形EFGH是平行四邊形,（4分）

EG2+FH2=2(EF2+FG2)=^(AC2+BD2)^^—2b)

27.如圖，在三角形/ABC中，

ZACB=90°,AC=b,BC=a,P是/ABC所在平

面外一點(diǎn)，PB±AB,M是PA的中八占八,，

AB±MC,求異面直MC與PB間的距離.

解析：作MN〃AB交PB于點(diǎn)N.（2分）IPBLAB,APBXMNo（4分）又

AB_LMC,（8分）MN即為異面直線MC與PB的公垂線段，（10

分）其長(zhǎng)度就是MC與PB之間的距離，則得后

22

28.已知長(zhǎng)方體ABCD—ABGDI中,AiA=AB,E、F分別是BD1和

AD中點(diǎn).

（1）求異面直線CD1、EF所成的角;

（2）證明EF是異面直線AD和BD］的公垂線.

（1）解析：?在平行四邊形歷1〃G中，E也是ZG的中點(diǎn)，.?.ER//CQ,

（2分）

???兩相交直線D,C與CD】所成的角即異面直線CD!與EF所成的角.

（4分）又

A]A=AB,長(zhǎng)方體的側(cè)面者B是正方形

,ADjCiCDi

???異面直線CD、EF所成的角為90。.（7分）

(2)證：設(shè)AB=AAi=a,,.,DiF==BFyAEFlBDi.(9分)

由平行四邊形8/4G，知E也是NG的中點(diǎn)，且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD一

AiBCDi的對(duì)稱中心,A2分），EA=ED,EF

±AD,又EFLBDi，「.EF是異面直線BDi與AD

的公垂線.（14分）

29./ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在

/ABC所在平面外有一點(diǎn)P,

PB=PC=^,PA=-,延長(zhǎng)BP至D,使BD=V7,E是BC的中點(diǎn)，

22

求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.

解析：分別連接PE和CD,可證PE〃CD,（2分）則NPEA即是AE

和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中，

3+3_9

PB=①，BE=1,?\PE=走。在/AEP中，AE=V3,COSNAEP=7±=J..

222忑32

2

AZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE1BC,PE1BC,PE//DC,ACD1BC,，CE為異面直線AE和CD的公

垂線段，（12分）它們之間的距離為1.（14分）

30.在正方體ABCD—A1B1GD］中，E,F,G,H,M,N分別是正

方體的棱44AB,BC,的中點(diǎn)，試證：E,F,G,H,

M,N六點(diǎn)共面.

解析：VEN//MF,.'EN與MF共面a,（2分）又,「EF//MH,/.EF和

MH共面（4分）???不共線的三點(diǎn)E,F,M確定一個(gè)平面，（6分）??.

平面a與￡重合，，點(diǎn)Hwa。（8分）同理點(diǎn)Gwa.（10分）故E,F,G,

H,M,N六點(diǎn)共面.

31.三個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部份時(shí)，它們的交線有

A.1條B.2條C.3條D.1條或2

條

解析：分類：1）當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，有兩條

交線；2）當(dāng)三個(gè)平面交于一條

直線時(shí)，有一條交線，故選D

32.兩兩相交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

解析：C如四棱錐的四個(gè)側(cè)面，個(gè)。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、

G、H四點(diǎn)如果EF與HG交于點(diǎn)M,則

（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：?.?平面ABCG平面ACD=AC,先證M￡平面ABC,M￡平面

ACD,從而M￡AC

A

34..用一個(gè)平面去截正方體。其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形

的邊數(shù)最多是

解析：6條

35.已知：aua,bua,acb=A,Peb,PQM

求證：PQua..（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共面問(wèn)題的方法.

解析：〈PQ〃d，PQ與。確定一個(gè)平面外..直線。U△點(diǎn)Pe/7.

pGb,bua,：.pea

又,.,4ua，a與力重合/.PQcza

36.已知△陽(yáng)（：三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、

Q、R三點(diǎn)共線。（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共線向

解析：:人、B、C是不在同一直線上的三J

...過(guò)A、B、C有一個(gè)平面夕

又：力8門二=0,且/8匚夕

.?.點(diǎn)尸既在夕內(nèi)又在。內(nèi)，設(shè)a0/3=1,則pe/.同理可證：。e/，Re/

..P,Q,R三點(diǎn)共線.

37.已知：平面ac平面尸=ua,bca=4cu夕且c//a,

求證：b、c是異面直線

解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

(1)若b//c.?/aHc,a//6這與acb=A矛盾

(2)若瓦。相交于民則8wd又acb=A,:.Aw0

ABu人即bu戌這與bc/7=4矛盾

??.Ac是異面直線

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),

EF=V3,求AD與BC所成角的大小

(本題考查中位線法求異面二直線所成角)

解析：取BD中點(diǎn)M,連結(jié)EM、MF,則

EA/〃皿且EM=L4)=1,MF〃BC且MF」BC=1,

22

在△加￡/中，:EF=百,由余弦定理得cosZEMF=+“/一=111二2=.1

2EMMF22

NEMF=120°

二.異面直線ZD,8。所成角的大小為60°

39.如圖，在正方體ABCD—AiBiGDi巾“八別為棱AAi和

6

BB1的中點(diǎn)，求異面直線CM與D.N所成角的正弦值.（14分）

（本題考查平移法，補(bǔ)形法等求異面二直線所成角）

解析：取DDi中點(diǎn)G,連結(jié)BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,記

MCnBG=O

則BG和MC所成的角為異面直線CM與DiN所成的角.

MC2=MA2+AC2=設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a）

BC=a

cosZ.BOC=—sinZ.BOC=4M

99

而CM與DiN所成角的正弦值為墳F

9;

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn).（一一/\AB和

PC的中點(diǎn)，且PA=PB=PC=AB=a。

（1）求證：MN是AB和PC的公垂線

（2）求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：（1）連結(jié)AN,BN,???△APC與aBPC是全等的正三角形，又N

是PC的中點(diǎn)

.\AN=BN

又YM是AB的中點(diǎn)，AMN1AB

同理可證MN_LPC

又?.?MNGAB=M,MNnPC=N

AMN是AB利PC的公垂線。

(2)在等腰在角形ANB中，、"/曲2=紇

2V22

即異面二直線AB和PC之間的距離為變”.

2

41空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么經(jīng)過(guò)

其中三個(gè)點(diǎn)的平面[]

A.可能有3個(gè)，也可能有2個(gè)B.可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)

C.可能有3個(gè)，也可能有1個(gè)D.可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)

解析：分類，第一類，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類，四點(diǎn)不共面,

因?yàn)闆](méi)有任何三點(diǎn)共線，則任何三點(diǎn)都確定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.

42.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：命題①是正確的，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確

定平面。

命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)

動(dòng)，就形成了空間四邊形。命題③也是錯(cuò)誤，它是上一個(gè)命題中比較特

殊的四邊形。

命題④是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅?，有一組對(duì)邊平行，則確

定了一個(gè)平面。

43.如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公

共點(diǎn)最多有—1個(gè)。

解析：如果有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)

平面內(nèi)，這就與已知有一個(gè)點(diǎn)不在平面上矛盾，所以這條直線與這個(gè)平

面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線

與已知直線，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)。答案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3

個(gè)。

解析：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形

在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任取三點(diǎn)一定不在一條直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)

平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內(nèi)

接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，

它的四個(gè)頂點(diǎn)可以不在同一平面內(nèi)。

46.三條平行直線可以確定平面?zhèn)€。答案：1個(gè)或3個(gè)

解析：分類、一類三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類三線不共面，每

兩條確定一個(gè)，可確定3個(gè)。

47.畫出滿足下列條件的圖形。

⑴aGB=1,aua,buB,aOb=A

(2)aGB=a,buB,b//a

解析：如圖1一8-甲,1-8-乙

48.經(jīng)過(guò)平面a外兩點(diǎn)A,B和平面a垂直的平面有幾個(gè)?

解析：一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)。

當(dāng)A,B不垂直于平面e時(shí)，只有一個(gè)。

當(dāng)A,B垂直于平面a時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)。

49.設(shè)空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，

若AB=12后，CD=4V2,且四邊形EFGH的面積為12框,求AB和CD

所成的角.

解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HGdB,

AD

HE〃D,「./HG就是異面直線AB和CD所成的A

角.

*/EFGH是平行四邊形，HG=』AB=6V2,Az------------XB

2

HE=i，CD=273,

2

r.SEFGH=HG-HE?sinJEHG=12V6sin^EHG,A12V6sin^EHG=12V3.

sin/HG="，故/HG=45。.

2

AB和CD所成的角為45。

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

50.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC,E、F

分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=^AD,求'A,

2

BD

F

C

面直線AD和BC所成的角。（如圖）

解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FGo因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故

EGZBC且EG=LBC,FGZAD,且FG=』AD,由異面直線所成角定義可知EG

22

與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即/GF為所求。由

BC=AD知EG=GF=2AD,又EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=0,即

2

/GF=90。。

注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G,按定義過(guò)G分別作出了兩條異

面直線的平行線，然后在4EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取

另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為

BC、AD的中點(diǎn)。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：（1）連接DM,過(guò)N作NE〃AM交DM于E,則NCNE

為AM與CN所成的角。

VN為AD的中點(diǎn),NE〃AM省.*.NE=|AM且E為MD的中點(diǎn)。

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則NC=￡g=坐

224

且ME=』MD?

24

222

在RtAMEC中，CE=ME+CM=A+1=Z

16416

(0+(%」

CN2+NE2-CE22

cosZCNE=4416

2-CN-NE3

Lo-..V..3....-V3

44

又?NCNEe（0,-）

2

/.異面直線AM與CN所成角的余弦值為|.

注：1、本題的平移點(diǎn)是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然

后先在4CEN外計(jì)算CE、后、后長(zhǎng),再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀

圖中無(wú)法判定，只有通過(guò)解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)

判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成

的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正。

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的

點(diǎn),已知AB=4,CD=20,EF=7,—=—=求異面直線AB與CD

FDEC3

所成的角。

解析：在BD上取一點(diǎn)G,使得駕連

GD3

結(jié)EG、FG

在ABCD中，—,故EG〃CD,“并

ECGDAD

旦EG_BE_1

"而一而一1

所以，EG=5；類似地，可證FG//AB,且條/T

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

EG。+GF?-EF?32+52-72

FGE=-F故々GER。。。

2EGGF2-3-5

另一方面，由前所得EG〃CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳

角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60°。

53.在長(zhǎng)方體ABCD—ABCD中，AA尸c,AB=a,AD=b,且a>b.求AG

與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設(shè)ACGBD=0,則。為AC中點(diǎn)，取GC的中點(diǎn)F,連OF,

貝UOF//AC1且OF竹ACL所以/FOB即為AC1與DB所成的角。在

4OB中，OB4E

定理得

cosZ

]22122222

(a+Z>)+(a+b+c)-(h+^c)2,2

OB=444=a-b

2-^a2+b2^a2+b2+c2yl(a2+h2)(a2+h2+c2)

4

解二：取AG中點(diǎn)0”BE中點(diǎn)G.在△COG中，NCQG即AC1與DB

所成的角。

解三：.延長(zhǎng)CD到E,使ED二DC.則ABDE為平行四邊形.AE^BD,所

以NEAG即為AG與BD所成的角.連EG,在△AEC1

222

中，AE=777F,ACl=^a+b+c,ClE="=+c2由余弦定理,得

/FAC=(/+⑹+"+〃+/)_(4/+/)=_____<n

,2.后+廬.揚(yáng)+/+/向+/)(/+戶+。

所以/EAG為鈍角.

根據(jù)異面直線所成角的定義，AG與BD所成的角的余弦為

7(a2+b2)(a2+b2+c2)

54.已知AO是平面a的斜線，A是斜足，OB垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內(nèi)的射影，設(shè)AC是a內(nèi)的

任一條直線，?

解析：設(shè)AO與AB所成角為AB與AC所成

角為。2，AO與AC所成角為。，則有

COS0=COS。］COS02O

在三棱錐s—ABC中，ZSAB=ZSAC=

ZACB=90°,AC=2,BC=5SB=曬,求異面直線SC與AB所成角的大

小。（略去了該題的1,2問(wèn)）

由SAJ_平面ABC知,AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，

設(shè)異面直線SC與AB所成角為。，A\\/B

c

則cos0=cosZSCA?cosNBAC，

由力。=2,8。=退,58=后彳導(dǎo)AB=后,SA=2也,SC=2

.12

??cos^SCA——，cosX.BAC――，

2V17

??.cosO=姮，即異面直線SC與AB所成角為arccos姮。

1717

55.已知平行六面體/BCD-4片。0的底面R__A,

ABCD是菱形，JiZC}CB=ZC,CD=ZBCD=60°,--------V/證

明C.CLBDo/H!/4

CD

（略去了該題的2,3問(wèn)）

解析：設(shè)G在平面ABCD內(nèi)射影為H,則CH為G。在平面ABCD內(nèi)

的射影，

?*.cosZC^CD=cos/C、CH-cosZDCH，

..cos/C'CB=cos/C】CH?cos/BCH，

由題意NCgD=NGCB,；.cosNDCH=cosNBCH。

又NDCH/BCHe[0,兀）

NDCH=NBCH,從而CH為NDCB的平分線，

又四邊形ABCD是菱形，CHVBD

GC與BD所成角為90",即C.C15D

56..在正四面體ABCD中，E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證ADJ_平面BFC,

/.EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影,

設(shè)AE與CF所成角為0,

cos0=cosZAEF?cosZ.CFE，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,則

AE=CF=BF=—a,

2

顯然EF1BC,EF=—a

2

COS/AEFH近,cosZ^FE=—

AE3CF3

ACOS0=

r即AE???與CF所成角為arccosj0

57.三棱柱0/8-O/聲，平面。陰。1，平面OAB,

NOQ8=6（T,NZO8=90。，且03=OQ=2,。4=石，求異面直線與ZQ所成

角的大小，（略去了該題的1問(wèn)）

解析：在平面叫內(nèi)作6c1。3于C,連4C,

由平面8OQ8J平面AOB,ZAOB=90°知，

AO_L平面8。。百,AOVBC,

又40coO1=O,/.BCL平面ZOO14，

4c為48在平面ZOQ4內(nèi)的射影。

設(shè)與所成角為0,4c與所成角為%，

IIcos0=cosCOS

貝ZBAtCQ2>

由題意易求得BC=y/3,AlC=2,AlB=47,

AC_2

cos/BA[C}

福一萬(wàn)'

在矩形ZOQ4中易求得4c與所成角仇的余弦值：cos%=唱，

cos0=cosNBA】C?cosQ2=-9

即48與NQ所成角為arccos|o

58.已知異面直線a與6所成的角為50。，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與

a，6所成的角均是30。的直線有且只有（）

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過(guò)空間一點(diǎn)P作a〃a,b//b,則由異面直線所成角的定義知:

。與//的交角為50。，過(guò)P與a,6成等角的直線與a,6亦成等角，設(shè)a,

6確定平面a,“，6交角的平分線為/,則過(guò)/且與a垂直的平面（設(shè)為0）

內(nèi)的任一直線/與a,6成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：［與a,h

所成角大于或等于/與a，6所成角25。，這樣在B內(nèi)/的兩側(cè)與a,d成30。

角的直線各有一條，共兩條。在從相交的另一個(gè)角130。內(nèi)，同樣可以

作過(guò)130。角平分線且與a垂直的平面丫，由上述結(jié)論知，丫內(nèi)任一直線與

a,6’所成角大于或等于65。，所以丫內(nèi)沒(méi)有符合要求的直線，因此過(guò)P

與a,力成30。的直線有且只有2條，故選（B）

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.以上都有可能

解析:D

60.h、b是兩條異面直線，直線n、m2與h、b都相交，則mi、m2的

位置關(guān)系是（)

A.異面或平行B.相交

C.異面D.相交或異面

解析：D

61.在正方體ABCD-AB，。。中，與棱AA，異面的直線共有幾條

()

A.4B.6

C.8D.10

解析:A

62.在正方體ABCD-A'BCR，中12條棱中能組成異面直線的總對(duì)數(shù)是

)

A.48對(duì)"B.24對(duì)

C.12對(duì)D.6對(duì)

解析：B

對(duì)，但每一對(duì)都重復(fù)計(jì)算一次，共有24對(duì).

63..正方體ABCD-ABC，。中，異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)是

)

A.45°B.60°

C.90°D.12O0

解析：B

ZAD,C=60°即為異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)為60°

64.異面直線a、b,a_Lb,c與a成30°角，則c與b成角的范圍是

()

[ii][ii]

B.

,因[TT]

ND.

解A直線c在位置c2吐它與b成角的最大值為90

°，直線c在cl位置時(shí)，它與b成角的最小值是60°

65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1,點(diǎn)M在邊AB

上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在邊CD上運(yùn)動(dòng)，則P、Q的最短距離為（）

43

%

解析：B

當(dāng)M,N分別為中點(diǎn)時(shí)。

因?yàn)锳B,CD為異面直線，所以M,N的最短距離就是異面直線AB,CD

的距離為最短。連接BN,AN則CD±BN,CD1AN且AN=BN,所以NM

±ABo同理，連接CM,MD可得MNJ_CD。所以

MN為AB,CD的公垂線。因?yàn)锳N=BN=

22

r--yBN-BM=/---=-^-

V3N-\/442

2所以在R1YXBMN中，MN=v求異面直

線的距離通常利用定義來(lái)求，它包括兩個(gè)步驟:先證一條線段同時(shí)與兩異

面直線相交垂直；再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時(shí)往往大家只重視

第二步，而忽略第一步。

66.空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF

=J3,則AD,BC所成的角為（）

A.300B.60°

C.90°D.120°

12+12-(V3)21

cosZEMF=2^1=-2

解B注：考察異面直線所成角的

概念，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能是鈍角，而利

用平行關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形，可能是鈍角三角形，望大家注意。同

時(shí)求角的大小是先證明再求解這一基本過(guò)程。

67.直線a是平面a的斜線，b在平a內(nèi)，已知a與b成60°的角，且

b與a在平a內(nèi)的射影成45°角時(shí)，a與a

所成的角是（)

A.45°B.60

a

C.90°D.135°

解A

Aea,A在a內(nèi)的射影是C,JfflACl.a于C,AB±b

于B,則08_1_平面人8（；/.OBLBC

OCOB

VcosZAOC=7rrcosZAOB=cos60°=-r--

OAOA

OBOC

COSZBOC=COS45O=7TT/.cosZAOC=-r--

OCOA

cosZAOBcos60°y/2

=---------------=----------=-:.ZAOC=45°

cosZBOCcos4502

68.m和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面a、0內(nèi)的兩條直線，a與0

交于1,m和n與1既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是

A.可能垂直，但不可能平行

B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行

解析：這種結(jié)構(gòu)的題目，常常這樣處理，先假設(shè)某位置關(guān)系成立，在此

基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，若無(wú)矛盾，且推理過(guò)程可逆，就肯定這個(gè)假設(shè)；若有

矛盾，就否定這個(gè)假設(shè)。

設(shè)m//n,由于m在B外，n在3內(nèi)，

m//B

而a過(guò)m與B交于1

這與已知矛盾，

Am不平行n.

設(shè)m，n,在B內(nèi)作直線a±1,

:aJ.B,

/.a±a,

.*.m±a.

又由于n和a共面且相交（若a//n則nJ_L與已知矛盾）

/.m±3,

與已知矛盾，

/.m和n不能垂直.

綜上所述，應(yīng)選（D）.

69.如圖，ABCD-A1B1CQ1是正方體，E、F分別是AD、DD1的中點(diǎn),

則面EFGB和面BCG所成二面角的正切值等于

A夜B忑

C.y/5D.不

解析：為了作出二面角E-BC「C的平面角，需在一個(gè)面內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)該

點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線（這是用三垂線定理作二面角的平面角的關(guān)鍵步

驟）。

從圖形特點(diǎn)看，應(yīng)當(dāng)過(guò)E（或F）作面BCG的垂線.

解析：過(guò)E作EH_LBC,垂足為H.過(guò)H作HGJ_BG，垂足為G連EG.

???面ABCD_L面BCG，而EH_LBC

VEH±?BECi，

EG是面BCG的斜線，HG是斜線EG在面BCG內(nèi)的射影.

VHGXBG,

AEGlBCi，

??.ZEGH是二面角E-BCrC的平面角。

02

在RtABCCi中：sin/GBC=g=⑻

HG

在RtABHG中：sinZC(BC=^

211

——X—=——

HG=42石（設(shè)底面邊長(zhǎng)為1）.

而EH=1,

在RtZXEHG中：tg/EGH=^"行

...NEGH=arctg一朽

故二面角E-BCrC等于arctgV5.

A/6

70.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,沿對(duì)角線AC折起，使BD=〒.則三

棱錐D-ABC的體積為

7276

1224

J4^5.受

C.-一D.

1224

解析：設(shè)AC、BD交于O點(diǎn)，則BOLAC

且DO_LAC,在折起后，這個(gè)垂直關(guān)系不變,因此NBOD是二面角

B-AC-D的平面角.

由于aDOB中三邊長(zhǎng)已知，所以可求出NBOD：

116

cosZSOD=224=」

2x12

2

這是問(wèn)題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個(gè)高實(shí)際上

是aDOB中，0B邊上的高DE,理由是:

ACIOB\__

!=471面。應(yīng)）

ACWD\

=M48cl面。即

VDE1OB

...DE，面ABC.

由cosZDOB=2,知sinZDOE=2

-xsinZZX)￡.

.\DE=24

/皿」.①J立

...D-MC34224

應(yīng)選(B)

71.球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C.A和B,A和C間的球面距離等于大圓周

11

長(zhǎng)的獲B利C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的打如果球的半徑是R,那

么球心到截面ABC的距離等于

A-RB.—RC.—RD-R

2223

解析：本題考查球面距離的概念及空間想像能力.

如圖所示，圓0是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其

中弦EF是過(guò)A、B、C的小圓的