高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)強(qiáng)化記憶2

專題二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù))

1、函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合B中都

有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,3以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合

A到5的一個(gè)函數(shù)，記作5.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)出。是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做(a,勿；滿足a<x<6的

實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做3,6)；滿足或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，

分別記做[a,b),(。,勿；滿足x>a,x>a,x<b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別記做

[a,+oo),(a,+oo),(-oo,Z?],(-°°,b).

注意：對(duì)于集合｛x[a<x<8｝與區(qū)間(a,》)，前者a可以大于或等于b,而后者必須a<b.

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則:(在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則)

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，x#^+―(A:eZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)累的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定

義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)槲?，其?fù)合函數(shù)/[g(x)]的定義

域應(yīng)由不等式解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)

最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)

的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù),我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域

或最值.

注意：給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題的解題步驟

a配方一找軸

b當(dāng)斷軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置一確定在所給區(qū)間上的單調(diào)性(軸的左右單調(diào)性不同)

c畫(huà)出草圖

d結(jié)合草圖，利用單調(diào)性得出結(jié)論.

求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位

置關(guān)系.閉區(qū)間上的二次函數(shù)必有最值，最值在端點(diǎn)處或頂點(diǎn)處取得.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)Y+b()，)x+c(y)=0,

則在a(y)#0時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有△=〃(y)-4a(y>c(y)20,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式。+人22J茄(a/w/T)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積

為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角

函數(shù)的最值問(wèn)題.

通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)(如y=x+9(a>0)y=Asin(3t+。)>其函數(shù)特

x

征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，

酶函數(shù)返_利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

注意：函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的

值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

注意：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性.

⑨導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)

2、函數(shù)的表示法

(1)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(2)映射的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯一

的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及A到8的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射,

記作了:Af5.

②給定一個(gè)集合A到集合8的映射，且aeASeB.如果元素。和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做

元素。的象，元素a叫做元素》的原象.

(3)分段函數(shù)的概念.

分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的

函數(shù).注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)

注意：在求分段函數(shù)的值/(X。)時(shí)，一定首先要判斷X。屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式;

求分段函數(shù)的定義域，先選定所有分段的區(qū)間，然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數(shù)的定義

域,分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.

.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種)：

一般式：f(x)-ax2+bx+c；

頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-m)2+ni

零點(diǎn)式：/(x)=a(x-內(nèi))(》-々)，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式).

(2)代換(配湊)法一一已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求/(x)的表達(dá)式.

(3)方程的思想一一已知條件是含有/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值,

從而得到關(guān)于/(幻及另外一個(gè)函數(shù)的方程組.

(4)分段函數(shù)解析式分段求解.

3、單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)y'y=f(X)/(2)利用已知函數(shù)

自變量的值XI、X2,當(dāng)個(gè)?的單調(diào)性

X2時(shí)，都有f(X1)<f(X)，(3)利用函數(shù)圖象

?f(xj

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)

0

X,x2X象上升為增)

間上是單申孰

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)yy=f(x)(2)利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值X|、X2,當(dāng)X1<f(x,)

(3)利用函數(shù)圖象

X2時(shí)，都有f(Xl)>f(X2),JWT-

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)

0X|xX象下降為減)

間上是該國(guó)新;

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函

數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],令〃=g(x),

若y=/(〃)為增，“=g(x)為增,則y=/[g(x)]為增

若y=/(〃)為減,“=g(x)為減,則y=ftgMJ為增

若丫=/(〃)為增,"=g(x)為減,則y=/[g(x)]為減

若丫=/(〃)為減,"=g(x)為增,則y=/Ig(x)]為減

(同調(diào)增，異調(diào)減)

(2)打“J”函數(shù)f(x)=x+-(a>0)的圖象與性質(zhì)

/(X)分別在(-8,-6］、［6,+8)上為增函數(shù)，

分別在［-G,0)、(O,JZ］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:

(I)對(duì)于任意的xe/,都有

(II)存在/€/，使得/(%)=M.

那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作7mm(?=加.

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足：

(I)對(duì)于任意的xe/,都有

(H)存在x°e/,使得/(玉))=加.那么，我們稱是函數(shù)/(X)的最小值，記作7max(x)=m-

4、奇偶性

(1)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

f(-x)=-f(X),那么函關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

-a二.

數(shù)f(x)叫做奇因數(shù).oax(2)利用圖象(圖

J象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(~a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

1

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有先判斷定義域是否

(_a.f(-a))(a.f(a))

f(―x)=f(X),那么函數(shù)已關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

f(x)叫做假西教.(2)利用圖象(圖

-ao象關(guān)于y軸對(duì)稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇

函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

5、函數(shù)的周期性

(1)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(a+x)(a>0),則/(x)是周期為n的周期函數(shù)”

得：

①函數(shù)/(X)滿足/(a+x)=—/(x),則/(X)是周期為2a的周期函數(shù)；

②若/(x+a)=」一(。聲0)恒成立，則T=2a；

fix)

③若/(x+a)=-一5一(。工0)恒成立，則T=2a.

f(x)

+l

提醒：a.函數(shù)/(x)滿足/(x+a)=/(x-a),f(x-2a]=f(x),f[a+x)=b-f(x)，f(x+a)=^?

/U)-l

/*+4)=]_"*)，f(xi⑶=""")+"<(°1、n、pGR,且pWO,+〃pH0)則函數(shù)/(x)是周期為

l+/(x)

2。的周期函數(shù)；

b.函數(shù)/(x)對(duì)XWR時(shí),對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,恒有f(x+a)=西二工，則f(x)是周期函數(shù)且3a是函數(shù)的一

/W

個(gè)周期.

(2)類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(aw。)，則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為

T^2\a-b\；特別地：若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2同的周期

函數(shù)；

②若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),8(。,0)(aW。)，則y=/(x)是周期函數(shù)，且一周期為

T=2|a—Z?|；

③如果函數(shù)y=/(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心4(4,0)和一條對(duì)稱軸x=b(awA),則函數(shù)y=/(x)必是周期

函數(shù)，且一周期為T(mén)=4|a-6；特別地：若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周

期為4時(shí)的周期函數(shù).

6、函數(shù)的對(duì)稱性

①滿足條件f(x-a)=f(bx)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=一對(duì)稱。

特別地：若xGR時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b—x)的圖像關(guān)于直線x=±W對(duì)稱；

2

函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=*對(duì)稱.

2

特別地：/(x)與/(24-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱

②點(diǎn)(x,刃關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為y=/(-x)；

③點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)；函數(shù)y=/(j關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為y=-/(。；

④點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(T,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為y=-/(-x)；

⑤點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=±x+a的對(duì)稱點(diǎn)為(土(y-a),±x+a)；曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=±x+a的對(duì)

稱曲線的方程為f(±(y一a),±x+a)=0。

特別地：

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線的方程為

f(y,x)=0；

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=—%的對(duì)稱點(diǎn)為(―y,—x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=—x的對(duì)稱曲線的方程為

/(-y,-x)=O?

⑥曲線/(x,y)=O關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y^Q)。特別地

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱

⑦形如y=g§（c*Q,ad*be）的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線尤=（由分母為零確定）和直

cx+ac

線y=且（由分子、分母中x的系數(shù)確定），對(duì)稱中心是點(diǎn)（-@,且）。

CCC

⑧|7（x）1的圖象先保留了（X）原來(lái)在X軸上方的圖象，作出X軸下方的圖象關(guān)于X軸的對(duì)稱圖形，然后擦

去X軸下方的圖象得到；/（|x|）的圖象先保留了（X）在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出

y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到。

提醒：

a.從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；

b.證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；

C.證明圖像G與的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明G上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在

上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C1上。

5、函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫(huà)出函

數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

人＞0,左移個(gè)單位f（h）&＞0,上移%個(gè)單位_f（}k

y=/(x)-/?＜o(jì),右移i川個(gè)單位）y―八x%+句丁=/（幻一火＜0,下移川個(gè)單位-八X）十K

②伸縮變換

y-f(x)..嗯穆L.?y=/(0X)y-fM嚓仔第i>>=*(x)

③對(duì)稱變換

y-f(x)=-/(%)y-f(x)

原點(diǎn)、-f（r\

y-jyx)〉=/(%)

去掉y軸左邊圖象

y-jyx)保留.v軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖象fyJu

保留X軸上方圖象

y=/(x)將咨i卜方圖象翻折上去>y="(x)l

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑,

獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

6、指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果＞1,且“eN+,那么x叫做a的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，。的〃次方根用

符號(hào)W表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的"次方根用符號(hào)加■表示，負(fù)的“次方根用符號(hào)-標(biāo)表示；0

的〃次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有〃次方根.

②式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)

時(shí)，a>Q.

③根式的性質(zhì)：(標(biāo))"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，后=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，技=|。|=1‘("2°).

-a(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：a；=行(a>0,m,〃eN+，且”>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：a'=(-)"=j(3”'(a>0,加,〃eM，且九>1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒(méi)

aVa

有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

①a'?a'=ar+s(a>0,r,se/?)②(a)=ars(a>0,r,s&R)③(ab)‘=a7/(a>0,b>0,reR)

7,指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a\a>0且a/1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<。<1

J7\y=aJy

圖象

J=1X.(0,1)

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>\(x>0)ax<l(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=\(x=0)

變化情況

/<1(x<0)ax>1(x<0)

。變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

8、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且awl),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù)，N叫做

真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log?N=優(yōu)=N(a>(),aH1,N〉0).

h

(2)幾個(gè)重:要的對(duì)數(shù)恒等式log.1=0,log"=l,\ogaa=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN,即log“)N；自然對(duì)數(shù)：InN,即log*(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,a#l,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log“N=logJMN)②減法：log.M-logaN=loga—

IN

③數(shù)乘：nlognM=log,,M"(neR)④=

ri

n⑥換底公式：log“N=電鼠乂S>0,且8Hl)

⑤log,,M=—log(JM(br0,nGR)

bk)g〃a

9、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

名稱對(duì)數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=log“x（a>0且。工1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>10<。<1

[iy=>ogax

圖象

IPW。）*

定義域(0,+oo)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（1,0）,即當(dāng)x=l時(shí)，y=Q.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+00）上是減函數(shù)

log“尤>0(x>l)log,,x<0(x>l)

函數(shù)值的

log“x=0(x=l)log,,x=0(x=l)

變化情況

log,,x>0(0<x<l)

logax<0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的

在第--象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，。越大圖象越靠高.

影響

10、嘉函數(shù)

（1）幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=/叫做'累函數(shù)，其中X為自變量，。是常數(shù).

（2）基函數(shù)的圖象

幾種基函數(shù)的圖象:

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第

一、二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；是非奇非

偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過(guò)定點(diǎn)：所有的幕函數(shù)在（0,+8）都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）.

③單調(diào)性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+8)上為增函數(shù).如果。<(),則幕函數(shù)的圖

象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),基函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，基函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)&=幺(其中〃國(guó)互

P

￡里

質(zhì)，p和qwZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則y=是偶

函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：幕函數(shù)y=xa,xe(0,+oo),當(dāng)cz〉l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x>l,

其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí).，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線

y=無(wú)下方.

11、二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(幻二以之+法+以^^^^②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-/^)2+后(aH0)③兩根式：

/(x)=a{x-xx\x-x2\a豐0)

(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(x)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(刈=以2+區(qū)+或。/0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2。

b4ac-b2

2a4a

hhb

②當(dāng)a〉()時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(—oo,——］上遞減，在［——,+8)上遞增，當(dāng)x=——時(shí)，

2ala2a

4-cic—b~hh

fmin(x)=--------；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(-8,-二］上遞增，在［—二,+oo)上遞減,

4a2a2a

b^ac-b2

當(dāng)”=一丁時(shí)，/max。)

4a

③二次函數(shù)f(x)=ax2+/?x+c(awO)當(dāng)△=〃-4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

MG，O),M(x,,O),|MM,HxT,l=E.

⑷

(4)一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，

下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程+陵+。=0(。/0)的兩實(shí)根為土”2,且占4々.令/'(x)=G?+/ZX+C,從以

下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：①開(kāi)口方向：。②對(duì)稱軸位置：%=--③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)

2a

值符號(hào).

①★〈汨<火2<=>

個(gè)，

7,)>0：a>0/

/H\

加?！?/p>

②X\Wx?Vk<=>

vlbZ后、

/1\

4<0：〃叭0

1:2a

③xVAV照Oaf(/c)<0

f

卜、/*(幻>0

\pC<07TY

④片VxiWx2VA12O

「廣T

yAo>0

fg>0

JR』4

jwr

牛<。,/(A.X0

a<0'

⑤有且僅有一個(gè)根汨(或熱)滿足片〈為(或王2)〈42O/(A)f(〃2)<0,并同時(shí)考慮F(%)=0或Afc)=0

這兩種情況是否也符合

fy

3tz〃自)>o

W^)<o

2i<Q/(八。

⑥kVxiVkWp\<xi<pz<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=ar2+Z?x+c(a^O)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,勿上的最大值為M,最小值為加，令/=；(〃+4)?

(1)當(dāng)a>0時(shí)(開(kāi)口向上)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

丁=的零點(diǎn)。

若函數(shù)/(幻的圖象在x=x0處與x軸相切，則零點(diǎn)X。通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；

若函數(shù)/(幻的圖象在x=/處與x軸相交，則零點(diǎn)/通常稱為變號(hào)零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/*)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象與

X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(%)的圖象與X軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

(3)零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)?/[)<(),那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cw(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

圖像連續(xù)的函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)

①函數(shù)的圖像是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)(變號(hào)零點(diǎn))，函數(shù)值變號(hào).

②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值保持同號(hào)

(4)函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)

的性質(zhì)找出零點(diǎn).

提醒：很多情況下，通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)確定圖像的大致形狀.

(5)二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax1+bx+c(a豐0).

1)△>0,方程分2+灰+。=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩

個(gè)零點(diǎn).

2)△=(),方程以2+云+。=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二

次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)△<0,方程?之+以+。=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

(6)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟:

①審題一一認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；

②建模一一通過(guò)抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域：

③解模一一求解所得的數(shù)學(xué)問(wèn)題；

④回歸一一將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問(wèn)題中去。

常見(jiàn)的函數(shù)模型有:

①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；

③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立y=ax+2型。

x

(7)抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件(如函數(shù)的定

義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問(wèn)題。求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法是：

a.借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究

幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：/(x)=W*0)---------f(x±y)=f(x)±f(y)；

②某函數(shù)型：f(x)=x2---------f(xy)=f(x)f(y),---------/(土)=用：

y/(y)

③指數(shù)函數(shù)型：f(x)=ax——f(x+y)=f(x)f(y),-------/(》—田=駕；

f(y)

r

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)=log"X/W)=/(x)+/(y)，/(-)=/(x)-/(y)；

y

⑤三角函數(shù)型:

/(x)=tanx

f(x)=cosx-----------/(X])+f(x2)=2/(內(nèi)；/)./(/2々)

b.利用函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)進(jìn)行演繹探究

c.利用一些方法(如賦值法(令x=0或1,求出f(0)或/⑴、令？=》或丁=—x等)、遞推法、反證法

等)進(jìn)行邏輯探究。

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(%0./(x0))處的切線的斜率,

即曲線y=/(x)在點(diǎn)P(x0/(%0))處的切線的