高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (二十七)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(27)

1.三棱柱ABC-AB?被平面&B1C截去一部分后得到如圖所示幾何體，BB]，平面ABC,

^ABC=90°,BC=BB],E為棱&C上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，平面ABE交41c于點(diǎn)F.

(I)求證：AB1平面為BC；

(II)求證：EF//AB-,

(III)試問是否存在點(diǎn)E,使得平面ABE1平面&%C?并說明理由.

2.如圖，在三棱柱ABC-A/iCi中，平面力遇CCi1底面=BC=2,AACB=30。,4cle8=

60°,BCrl.ArC,E為AC的中點(diǎn)，側(cè)棱CC1=2.

(1)求證：4cl平面GEB；

(2)求直線CG與平面ABC所成角的余弦值.

3.如圖1所示，在直角梯形ABC。中，乙40c=90。，AB//CD,AD=CD=^AB=2,E為AC的

中點(diǎn)，將AACD沿AC折起，使折起后的平面4C￡＞與平面48c垂直，得到如圖2所示的幾何體

D-ABC.

(1)求證：BC1平面ACQ；

(2)點(diǎn)尸在棱CO上，且滿足AD〃平面BEF,求幾何體f-BCE的體積.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD^,PA_L平面ABCD,AC1CD,PA=2,

AB=1,BC=a,CD=娓,PC與平而ABC。所成的角為45。，

(1)求證：平面PAB_L平面尸BC；

(2)若CM_LPC于M,N為AO的中點(diǎn)，求三棱錐P-CMN的體積.

5.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為

4祖。1，/.BAC=90°,AiAJ?平面ABC,ArA=陰，AB=AC=2,

,尸,BD_i

—1，DC~2-

(I)證明：平面4遇01平面BCQB］；

(口)求二面角4一。6-3的正切值.

6.如圖，長(zhǎng)方體4BCD—4聲傳12中，AC=A&=1,AB=m,點(diǎn)M是棱C￡＞的中點(diǎn).

(1)求異面直線aC與4G所成的角的大??；

(2)是否存在實(shí)數(shù)相，使得直線4cl與平面BMDi垂直？說明理由；

(3)設(shè)P是線段4G上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，滿足某=九求；I的值，使得三棱錐當(dāng)-CDiG與三棱錐為-

CD1P的體積相等.

7.如圖，在四棱臺(tái)力BCD—4BiGDi中，底面A8CQ是菱形,44]==^AB=1,乙4BC=60°,

AA!I5??ABCD,點(diǎn)E是棱BC上一點(diǎn).

(1)若E是BC中點(diǎn)，求證：平面ADiE平面CCiAC；

(2)設(shè)二面角E-AD1一。的平面角為。，且|cos0|=/求線段CE的長(zhǎng).

8.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCQ中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、A。的中點(diǎn)，以CE,CF為折痕將AOFG和

△BCE折起，使點(diǎn)B、。重合于點(diǎn)P,連結(jié)PA,得到如圖所示的四棱錐P-4EF.

(1)求證：EF1PC；

(2)求直線PA與平面PEC所成角的正弦值.

9.在正方體4BCD-48停1。1中，已知E,F,G分別CCi，BC,CD

的中點(diǎn)，

(1)求證：ABJ/GE；

(2)求證：&G1平面EFD；

(3)求二面角B-ArC-。的余弦值.

10.如圖所示，已知四邊形A8C。為矩形，AD1￥?ABP,AP=PB=

BC=2,M為CP的中點(diǎn)，且BM_L平面ACP,AC與BD交于N點(diǎn).

(1)證明：API平面BCP；

(2)求三棱錐C—BNM的體積.

11.直三棱柱4BC-&B1Q中，AA1=AB=AC=1,E,尸分別是CQ,

BC的中點(diǎn)，AELAiBi，力為棱&Bi上的點(diǎn).

(1)證明：ABA.AC；

(2)證明：DFLAE；

(3)是否存在一點(diǎn)。，使得平面OEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值

為豆？若存在，說明點(diǎn)。的位置，若不存在，說明理由.

14

12.如圖，在三棱錐S-4BC中，BC1平面S4C.已知S4=4C,點(diǎn)”，E,F分別為SC,AB,BC的

中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面SAC；

(2)求證：AH1平面SBC.

13.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD_L底面A8CD,其中底面A8C。為等腰梯形，AD//BC,

PA=AB=BC=CD,PA1PD,/.PAD=60°,Q為尸。的中點(diǎn).

P

(1)證明：CQ〃平面PA8；

(2)求二面角P-AQ-。的余弦值.

14.如圖，在長(zhǎng)方體4BC。一4/口5中，AB=AD=1,AAr=2,點(diǎn)尸為。。i的中點(diǎn).

(1)求證：直線BQ〃平面PAC；

(2)求證：平面PAC_L平面BO%；

(3)求直線PG與平面A4C的夾角.

15.已知斜四棱柱平面48co-&勺。［。］的各棱長(zhǎng)均為2,/.A^AD=60°,/.BAD=90°,平面

A1ADD1_L平面ABCD,

(1)求直線BO】與平面A8C。所成的角的正弦值；

(2)若E為CCi中點(diǎn)，在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得MB】_L平面BED］，若存在求出AM長(zhǎng)度,

若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖，在直四棱柱4BC。一公8道1。1中，底面ABCO是菱形，且4B=

\AAr=1,E是棱44的中點(diǎn)，EC=V3.

(1)求證：平面DiEC_L平面EDC；

(2)求二面角5-EC-B］的大小.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,AB=1,CD=3,AP=2,

DP=2V3rZ.PAD=60°,ABI5]2?PAD,點(diǎn)M在棱PC上.

(I)求證：平面PABJ■平面PCD；

(II)若直線PA〃平面MBD,求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值.

18.如圖所示，已知四棱錐P—4BCD中，底面A8CO為菱形，PA1平面A8C。，乙4BC=60.,E,

尸分別是BC,PC的中點(diǎn)，AB=PA=2.

(/)求證：AE1PD；

(11)設(shè)平面2。。。平面248=1,試判斷直線/與直線A8的位置關(guān)系，并證明;

(HI)求二面角E-AF-C的余弦值.

19.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為平行四邊形，AP=AB=AC=a,AD=V2a,PA1

底面ABCD.

(1)求證：平面PCD1?平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)E,使得四棱錐E-ABCD的體積為等？若存在，求出；1=繇的值？若

不存在，說明理由.

D

20.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。中，BC//AD,CDJ.AD,P在底

面的射影0在4。上，PA=PD,O,E分別為A￡>,PC的中點(diǎn)，且P0=AD=

2BC=2CD.

(1)求證：AB1DE；

(2)求二面角4-PE-。的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：(I)因?yàn)锽BiJ.平面A3C,ABU平面ABC，所以

因?yàn)橐?BC=90。，所以BC14B.

因?yàn)?4BU平面3田。，3廠(1平面3聲「，

所以平面

(11)在三棱柱48。-418住1中，AB

因?yàn)锳BC平面ABQ,4歸1C平面4BC，

所以平面AK.

因?yàn)?BU平面ABEF,平面4BEFC平面ABiC=EF,

所以EF//AB.

(HI)存在點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E為BiC中點(diǎn)時(shí)，平面ABE_L平面A|3|C'.

因?yàn)锽C=BB「E為&C的中點(diǎn)，所以8EJ.B1C,

因?yàn)?AB1平面BEC平面BBL,所以AB1BE,

因?yàn)锳B〃4Bi，所以BEJ.4

因?yàn)閚B]C=Bi，A\B\.B[CC平面出場(chǎng)。，

所以BE_L平面.山區(qū)「.

因?yàn)锽EU平面ABE,所以平面ABE_L平面

解析：本題考查立體幾何的相關(guān)定理，考查線面垂直、面面垂直，考查線線平行、線面平行，屬于

中檔題.

(I)結(jié)合題目條件以及線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

(口)利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；

(ID)證明面面垂直過程中，找到線面垂直是關(guān)鍵，再由線面垂直推出面面垂直.

2.答案：(1)證明：如圖：

■：AB=BC,E為AC的中點(diǎn)，.iBElAC,

?.?平面44CC11平面ABC,平面44CGD平面力BC=AC,BEu平面ABC,

BE，平面4遇CCi，

VAXCU平面41ACG，BE141c.

又BC1J_4C,BECBG=B,BE,BC】u平面6EB,

???41c1平面GEB.

（2）解：???平面4iACG_L平面ABC,.'Ci在面ABC上的射影H在AC上,

???為直線CW與面A8C所成的角.

過H作1BC于M,連,

vCrH1BC,MHCO1H=H,MH,C】Hu平面MC】H,

BC_L平面MG”.「MJu平面MG”,???BC1MCr,

在Rt△C]CM中，CM=CCJCOSZ.CJCM=2cos60°=1.

2y/3

在RtACMH中，CH=CM

CQSZ-ACB3

CHp/3V3

???在/?%。107中，coszCiCH____—￡___—__

CC1-2-3

???直線C1C與面A8C所成的角的余弦值為號(hào).

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

(1)證明BEJ■平面414CG，可得BEJLAiC,即可證明：41cl平面GEB；

(2)判斷NGC4為直線GC與面ABC所成的角.過H作HM1BC于M,連GM,即可求直線CC】與平

面A8C所成角的余弦值.

3.答案：（1）證明：由圖1可知4c=BC=2V2>

所以AC2+B（?2=AB2,所以AC_LBC,

取AC中點(diǎn)E,連接。E,則DEIAC,又平面4CD_L平面ABC,

又平面4coe平面ABC=AC,DEu平面ACT）,所以EO_L平面ABC,

而BCu平面ABC,所以EDJ.BC,又ACJ.BC,ACCtED=E,

所以BC1平面AC￡)；

(2)解：取。C中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，所以E/7/AD,

又EFu平面BEF,ADC平面BEF,所以平面BEF,

由(1)知I,BC為三棱錐B-ACD的高，

因?yàn)槿忮FF-BCE的高九=|BC=V2,SABCE=|5Ai4CD=]x：x2x2=l,

所以三棱錐F—BCE的體積/_BCE=，SABCE,h=：X1XV2=*.

解析：⑴利用勾股定理可證得4CLBC,取AC中點(diǎn)E,連接。E,則DE1AC,從而證得ED，平面

ABC,由此能證明BC1平面ACO；

（2）取0c中點(diǎn)F,連接EF,BF,則EF〃/1D,三棱錐F-BCE的高％=S^BCE=^S^ACD,由

此能求出三棱錐尸-BCE的體積.

本題主要考查了線面垂直的證明，以及三棱錐的體積計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化的思想,

屬于中檔題.

4.答案：解：（1）證明：PAABCD,外

可得PC與平面A8CZ）所成的角為NPC4=45°,

可得4C=PA=2,川

/

由48=1,BC=曲，AC2=AB2+BC2,即有BC_L力B,

由P41BC,可得BC_L平面PAB,BCu平面P8C,-L

可得平面PAB_L平面PBC；C

（2）由PA1平面ABCD,可得P41CD,

又CD1AC,可得CD1平面PAC,

即有CD1PC,在直角三角形PC。中，CD=#,PC=2V2,

由CM1PD,可得PM-PD=PC2=8,DM-PD=DC2=6,

可得型==PM=-PD,

'DM37

可得Vp_CND=[PA.SACND=32-，，2.乃=苧，

即有Vp-CNM—；Vp-CND=竽.

解析：（1）由線面角的定義可得4PCA=45。，AC=PA=2,由線面垂直的判定定理可得BC1平面

PAB,再由面面垂直的判定定理即可得證；

（2）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)可得CD1PC,在直角三角形PC。中，運(yùn)用射影定理可得PM=；PD,

再由三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值.

本題考查面面垂直的判定定理，考查棱錐的體積求法，注意運(yùn)用線面垂直的判定定理和轉(zhuǎn)化思想，

考查推理能力，屬于中檔題.

5.答案：證明：（I）r4p4_L平面ABC,BCu平面ABC,

???AtA1BC.

在RtzMBC中，AB=?AC=2,

???BC=V6?

???BD：DC=1：2,

???BD——9

3

-riBD_y/3_AB

AB3BC

???△DBA-AABC,

^ADB=^BAC=90°,即/W1BC.

又4i4n4D=4,ArA,4￡><=平面4遇。，

BC，平面4遇0,

???BCu平面BCCiBi，

平面力_L平面BCC$i.

(II)如圖，作力E_LQC交CiC于E點(diǎn)，連接BE,

由己知得AB1平面4CC14.

4E是BE在面ACC14內(nèi)的射影.

由三垂線定理知BE1CG，

N4EB為二面角4-CG-B的平面角.

過G作C/14c交AC于F點(diǎn),

則CF=AC-AF=1,GF=ATA=百，

4cleF=60°.

在Rt△力EC中，AE=4Csin60°=2x—=V3.

2

在RtZkBAE中，tazMEB=再=*=漁，

AEW3

即二面角4-CG-B的正切值為當(dāng)

解析：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同時(shí)考查了空間想象能

力，計(jì)算能力和推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.

（I）欲證平面44。，平面BCGB1，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BCG以內(nèi)一直線與平面

垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知4遇J_BC,AD1BC,又4404。=/1,根據(jù)線面垂直的判定

定理可知BC_L平面4遇D,而BCu平面BCG/,滿足定理所需條件；

（口）作4后1C1C交GC于E點(diǎn),連接BE,由三垂線定理知BE1CC1,從而乙4EB為二面角A-CCr-B

的平面角，過G作C/J.4C交AC于尸點(diǎn)，在RtABAE中，求出二面角4一CQ-B的正切值即可.

6.答案：解：（1）連接BCi，由四邊形BCG當(dāng)為正方形，可得

B[C1BQ

5LABCD-43傳1。1為長(zhǎng)方體，可得ZB1B】C,而ABnBCX=

B,

■■B、C_L平面力而4Gu平面ABC1，二BXC14Q,

即異面直線與AR所成的角的大小為90。；

（2）存在實(shí)數(shù)m=V2.使得直線AC1與平面BMD1垂直.

事實(shí)上'當(dāng)m=a時(shí)，CM=-，

ADD('-

■：BC=1,=V2,則RtAABORMBCM,

則4a4B=乙MBC,

???Z.CAB+AACB=90°,???AMBC+/.ACB=90°,即4clBM,

又CQ1BM,ACnCCr=C,二1平面4CG，貝IJBM14G，

同理可證力G1D1M,

又％Mn8M=M,.?.直線AG1平面8MD1；

(3)Vci-BjCDj=5X5X1x1X771=%,

..yymmmmm

V_=1X1Xm---------------=—

ARrn66663

設(shè)4cl與平面B1CD1的斜足為0,貝1」4。=2。6,

???在線段4G上取一點(diǎn)P,要使三棱錐為-C5G與三棱錐當(dāng)-CD/的體積相等,

AP1

則尸為AO的中點(diǎn)，即k=2=

解析：（1）連接BC]，可得當(dāng)CLBC1，再由ZBCD-AiBiCiCi為長(zhǎng)方體，可得4BJ.B1C,得8傳1平

面力則BiClACi，可得異面直線BiC與AC1所成的角的大小為90。；

(2)當(dāng)m=及時(shí)，CM=字利用三角形相似可得皿B=乙MBC,結(jié)合皿B+乙4cB=90°,得

ZMBC+￡.ACB=90°,BMC1BM,同理可證AGJ.D1M,再由線面垂直的判定可得直線AC1，平

面BMDi；

(3)利用等體積法求解各=4=［時(shí)，三棱錐當(dāng)-CDiG與三棱錐/-CAP的體積相等.

本題考查異面直線所成角的求法，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利

用等積法求多面體的體積，是中檔題.

7.答案:(1)證明:取BC中點(diǎn)M,連接AM,

???四邊形ABC。是菱形，乙4BC=60。，

：.△ABC是等邊三角形，二4M±BC,

???AM1AD,

乂ZZi，平面ABCD,

AM,AD,44］兩兩垂直，

?.,四棱臺(tái)4"。一公8由。1，二四邊形

48cos四邊形4出6。1，

二四邊形是菱形，4也==1,

以A為原點(diǎn)，以AM,AD,44］為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系4一xyz,如圖所示,

則4(0,0,0),0(0,2,0),C(⑸，0),5(0,1,1),

若E為2c得中點(diǎn)，則E(舊,0,0),

AE=(V3.0,0),而=(0,1,1),CD=(-V3.1.0),函*=(0,-1,1),

設(shè)平面gE的法向量為記=(如月㈤,則情條；°o,即｛￡%二。，

令Zi=1可得沅=(0,-14)，

設(shè)平面CDDiG的法向量為方=(%2,y2,z2),則E'祟2,即『8x2+力：0,

(n-DDi-0(.-y2+Z2=0

令小=1可得記=(1,V3,V3),

in-n=0—V3+V3=0)?-mLn,

???平面平面ADiE1平面CGDiD

(2)解：設(shè)E(H〃，0),-1<m<1,則荏=(舊〃，0),

設(shè)平面Em的法向量為五=。3，為浮3)，則｛三,窘L°o,即｛f%：鷲=°

令心=巾可得元=(m,-V3,V5),

???AM1平面沱=(1,0,0)為平面ADD1的一個(gè)法向量,

___,—＞、n7njmm

???cosvni，的＞==[.+6x1=

-*?\cos0\==也解得?n=±—，

V7n2+632

又CM=1,CE=1+—.

-2

解析：⑴取BC中點(diǎn)M,證明AM140,建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,求出平面4。花和平面CC/i。

的法向量，證明法向量垂直得出兩平面垂直；

(2)設(shè)E(次"，0),求出平面4。止的法向量4和平面4。。出的法向量河令際＜用式＞|=：計(jì)

算“從而得出CE的長(zhǎng).

本題考查了面面垂直的判定，考查空間向量與空間位置關(guān)系、空間角的計(jì)算，屬于中檔題.

8.答案：解：（1）連接AC,BD,EF,設(shè)EFnAC=。，連接

OP.

???PCLPE,PCLPF,PEQPF=P,

：.PCJL平面PEF,PC1.EF.

???四邊形ABC。是正方形，4CJ.BD,

???E,F分別是A8,A。的中點(diǎn),

???EF//BD,

：.EF1AC,又PCnAC=C,

???EF，平面PAC,又PCu平面PAC,

???EF1PC.

（2）由（1）可知EF_L平面PAC,PCl5FjSlPEF.

■:OC—~AC—3^21PC—4,.0.PO-VOC2-PC2=V2,

4

???sinZ-PCA==pcos乙PCA=—,

OC33

***S&PAC=￡x4x4^2x—=—.PA—J16+32-2x4x4^2x~~~=

又OE=^EF=0,

..18>/2/7T16

???^E-PAC=3X-Xv2=Y*

又SAPCE=|X2X4=4,設(shè)A到平面PCE的距離為h,

1竺4

得

解

九

4九

=-XX==-

P，

-CE393

直線PA與平面PEC所成角的正弦值為2=巨

PA3

解析：⑴連接AC,BD,EF,通過證明PC1平面尸EF得出PC1EF,根據(jù)中位線定理得出EFJLHC,

故而可得EF_L平面PAC,于是EF_LPC；

(2)根據(jù)/_PAC=匕.PCE計(jì)算A到平面PCE的距離，再計(jì)算線面角的正弦值;

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

9.答案：解：(1)證明：連結(jié)G。，在正方體4BC。一

41B1GA中,ABJ/CM

在平面QD/Ci中，；E,F,G分別CG，BC,CD的中

點(diǎn)，

AC^Df/GE..-.ABr//GE

(2)證明：設(shè)正方體ABCD-4B1C1D1中棱長(zhǎng)為1,

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，

則Ai(O,O,l),Bi(l,O,l),D(0,l,0),E(Ll,》，F(xiàn)(iq,0),

G(|,l,0),

=DF=(1,-i,O),DE=(1,0)

???A^G-DE=0>A^G-DF=0,

**?41G.LDFiA^G.LDE,

vDEC\DF=D,ArG_L平面EFD.

(3)解：8(1,0,0),C(l,l,0),

BC=(04>0),BAl=(-1,0,1),DC=(1,0,0),西=(0,—1,1),

設(shè)平面8c4的法向量有=(%,y,z),

則g?￡￡=、=°,取彳=1,得元=(i,o,1),

設(shè)平面0力1。的法向量沅=(a/，c),

^fm-DC=a=0取b=l,得沅=(0,1,1),

(rn-DAX=-b+c=0

設(shè)二面角B-AC-。的平面角為。.由圖知。為鈍角，

二面角B-&C-D的余弦值為一宗

解析：(1)連結(jié)G。，推導(dǎo)出4BJ/GD，GD〃GE.由此能證明4BJ/GE

(2)設(shè)正方體ABC。-AiBiGDi中棱長(zhǎng)為1,以A為原點(diǎn)，A8為x軸，A。為y軸，人必為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明&G，平面EFD

(3)求出平面BC&的法向量和平面D&C的法向量，利用向量法能求出二面角B-&C-。的余弦值.

本題考查線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題.

10.答案：解：(1)證明：平面ACP,APu平面ACP,“醞--------------刁°

???1AP,

M

乂4。工平面4BP,BC//2D,彳7\|

BC_L平面ABP,APu平面ACP,\"\,

BCLAP,「

又BMCBC=B,BMu平面8c尸，BCu平面8cP,

AP1平面BCP.

(2)vM.N分別為PC、AC的中點(diǎn)，

MN//AP,MN=^AP=1,

由(1)知，4P_L平面8CP,

MN_L平面BCP,MN為三棱錐N-BCM的高，

三棱錐C一B/VM的體積為：

V-：棱錐C-BNM=V-：楂卿-BCM=|'S^BCM'MN=^X|X2X2X|X1=|'

解析：(1)推導(dǎo)出BM_L4P,BCLAP,由此能證明4PJ■平面BCP.

(2)推導(dǎo)出MN，平面BCP,MN為三棱錐N-BCM的高，三棱錐C-BNM的體積為匕/律C-B/VM=

V三棱錐N-BCM，由此能求出結(jié)果.

本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

1L答案：(1)證明：???4ElA/i，A^J/AB,^AElABf

XvAAr1AB,AA±C\AE=A,AAB

又???u面AiACCi，AAB1AC,

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則有4(0,0,0),E(O,1,》/C0),4(0,0,l),Bi(l,0,1),

設(shè)。(x,y,z),砸=44B；且AG(0,1),

即??z-1)=A(l,0,0),則。(4,0,1),.-.DF=(i-A,p-l),

?1?AE=(0,1,1),DF-=|-i=0,所以DF1AE；

(3)結(jié)論：存在一點(diǎn)。，使得平面OE尸與平面48C所成銳二面角的余弦值為答，理由如下:

由題可知面A8C的法向量祠=(0,0,1),設(shè)面。EF的法向量為元=(%,y,z),

貝晦嚅U

???麗=(-￡39=(?桔,-1)，

.(-lX+b+lZ=0即「二出？

[(--A)x+-y-z=o|/=罰2

令z=2(l-a),則元=(3,1+2尢2(1—Q).

???平面OE尸與平面ABC所成銳二面角的余弦值為曹,

???加保，元＞1=需V14

14

即|2(1T)|=叵

、79+(l+2A)2+4(l-A)2—玄，

解得；1=;或；1=;(舍),

所以當(dāng)。為中點(diǎn)時(shí)滿足要求.

解析：(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明481面AiACCr即可.

(2)建立空間坐標(biāo)系，求出直線對(duì)應(yīng)的向量，利用向量垂直的關(guān)系進(jìn)行證明.

(3)求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線的垂直的判斷以及空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角

問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

12.答案：證明：（l）；E,F分別為AB,2C的中點(diǎn)，S盡

???EF//AC,/iVK

又ACu平面SAC,EF<t平面SAC,/I\X.

EF//平面SAC；k

（2）vBC1平面SAC,AHu平面SAC.\\[!"

BC1AH,/

?；S4=AC,點(diǎn)H分別為SC的中點(diǎn)，

??MHISC,

又；BCnSC=C,

■.AH_L平面SBC.

解析：（1）由已知可證EF〃/IC,利用線面平行的判定定理即可證明EF〃平面SAC；

（2）由線面垂直的性質(zhì)可證BC14”，由等腰三角形的性質(zhì)可證AH_LSC,利用線面垂直的判定定理

即可證明AH1平面SBC.

本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)和判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，

屬于中檔題.

13.答案：（1）證明：取PA中點(diǎn)M連接QN,BN,

vQ,N是PD,PA的中點(diǎn)，QN〃4D,

且QN="。，

vPA1PD,/.PAD=60°,PA=^AD,

2

：.BC=-AD,

2

:.QN=BC,5LAD//BC,???QN//BC,

??.BCQN為平行四邊形，［BN〃CQ,

又BNu平面PAB,且CQ仁平面PAB,

???CQ〃平面PAB;

(2)解：取A。中點(diǎn)M,連接BM,取AM的中點(diǎn)O,

連接BO,PO,設(shè)24=2,

由(1)得PA=AM=PM=2,

???△4PM為等邊三角形，:POLAM,

同理，BO1AM,

???平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

POu平面PAD,PO1平面ABCD,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。8,OD,。尸所在直線為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),C(V3,2,0),P(0,0,V3).Q(0,|,日)，

前=(低3,0)，而=(0,|,當(dāng))，

設(shè)平面ACQ的法向量沅=(%y,z),

m-AC=y/3x+3y=0

則｛一一?5V3'

m-AQ=-y+y=0

取丫=_b，得竊=(3,-6,5),

平面24。的法向量針二(1。0),

由圖得二面角P-/Q-。的平面角為鈍角，

???二面角P-AQ-C的余弦值為一雙亙.

37

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)取PA中點(diǎn)N,連接QMBN,推導(dǎo)出BCQN為平行四邊形，仄而BN//CQ,由此能證明CQ〃平

面PAB.

(2)取AO中點(diǎn)M,連接8M,取AM的中點(diǎn)O,連接B。，PO,推導(dǎo)出P。LAM,BO1AM,從而PO1

平面ABCZ),以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。8,OD,OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法求二面角P-4Q-C的余弦值.

14.答案：（1）證明：連接8。，交AC于。則。為BO中點(diǎn)，連接0P,

???P為期的中點(diǎn)，???OP//BD1,

...opu平面PAC,BD、C,平面PAC,BO】//平面PAC；

(2)證明：長(zhǎng)方體aBCD-AiBiGDi中，AB=AD=1,底面ABCQ是正方形，則4clBD,

又。。i1面ABCD,ACcffiABCD,則叫1AC.

???BDu平面BOD[，D]Du平面BCQ,BDnDrD=D,

：.AC1面BOD】，vACu平面PAC,

二平面PACJ■平面BOD1；

(3)解：連接PBi，由(2)知，平面P4C_L平面30%,

???4B】PO即為PBi與平面PAC的夾角，

在長(zhǎng)方體4BCD中，

vAB=AD=1,AAt=2,

在AOPBi中，COS4B1P0=（丫3尸+（、）2,工）2=0.

2xV3X—

???直線PBi與平面PAC的夾角為最

解析：本題考查線面平行與面面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法，

是中檔題.

（1）連接BD,交AC于O,則。為8。中點(diǎn)，連接OP,可得OP〃BDi，再由線面平行的判定可得BDJ/

平面PAC；

⑵由已知長(zhǎng)方體可得力C_L8D,且DD11面ABC。,則DD1_LAC.由線面垂直的判定可得AC1面BDD「

進(jìn)一步得到平面P4C，平面BDDi；

(3)連接PBi，由(2)知，平面P4C_1_平面8。。1，則48記。即為PS】與平面PAC的夾角，然后求解三

角形得答案.

15.答案：解：(1)：延長(zhǎng)AQ,過久作。/14。于H,連接84,

因?yàn)槠矫?p4DDiJ■平面ABCD,平面AiADOin平面4BC0=AD,%Hu平面

所以么“1平面ABCD,即2”為8么在平面ABCZ)內(nèi)的射影，

所以4D1BH為直線BO1與平面A8CO所成的角，

因?yàn)镈i"=2sin600=V3,DH=2cos60。—1,

BH=>JAB2+AH2=V13.D1B=V3+13=4,

所以sin/OiB"=y,

(2)取AD中點(diǎn)O,

???四棱柱平面SBC。-4道也1。1的各棱長(zhǎng)均為2,

Z-A^AD=60°>???A101AD.

又?.?平面4遇0。11平面A8C￡>,平面人4叫n平面4BCD=4D,4。u平面”叫,

Ar01平面ABCD.

故如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則0(0,0,0),4(1,0,0),Di(-2,0,V5),

C(—1,1>0),G(—2,1,V3)(Bi(0,1,V3)>

0),E(—1,1,泉，

設(shè)M(x,0,0).則砥=(一％,1,遮)，西=(―3,—1,遮)，麗=(一|,0,日)，

要使得MB「平面BE八則|驊?蔡ROTI=。0，5—+三1+=3(=)0，方程組無解.

在線段4,上不存在一點(diǎn)M,使得MB】平面BED.

解析：本題考查了空間線面角的求解，動(dòng)點(diǎn)存在性問題，屬于中檔題.

(1)延長(zhǎng)AO,過。［作。避1AD于H,連接B”，可得4。道開為直線8歷與平面A8CD所成的角,

(2)取A。中點(diǎn)O,即可證明為。1平面4BCD.故如圖建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz.要使得MB】JL平面

-BD：=0(3x-1+3=0

BED1,則[需"_0，^x+-=0，方程組無解.

即在線段上不存在一點(diǎn)M,使得MB】J_平面BED1

16.答案：解：(1)證明：???點(diǎn)E是441的中點(diǎn)，??.AE=1,

???AD=1,:.在Rt△EAD中，DE=V2,

由題可知EC=V3.DC=1,

則+DE2=EC2t...DE1CD,

???直四棱柱4BC0-4B1GO1中，CD_L平面4皿%,二CD1EDr,

ED=V2>ED1=V2.DD[=2,D1E1ED,

,:DrE1ED,

CDClED=D,DrEJL平面ECD,

,：%Eu平面/EC,.?.平面DiEC1平面CDE.

(2)解：由(1)可知D4、DC、。。1兩兩互相垂直,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。A、DC、DDi所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則0式0,0,2),E(l,0，1)，C(0,l,0),當(dāng)(1,1,2),

~ED[=(-1,0,1),EC=(-1,1--1)>函=(0,1，1)，

設(shè)平面[EC的法向量為元=(x,y,z),

n?ED1=—x+z=0人，e[一?八

――>,令x=l,則九=(1,2,1)，

{n-EC="%4-y—z=0

設(shè)平面當(dāng)EC的法向量記=(21，-1),

則|cos(記，元＞|=黯=]

???二面角D1-EC-Bl為銳角，.?.二面角Di—EC—/的大小為品

解析：(1)推導(dǎo)出DE_LCD,CD1EDr,DrE1ED,DrE1ED,從而QE1平面ECQ,由此能證明

平面AEC_L平面CDE.

(2)以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4、DC、所在直線分別為x,?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法能求出二面角Di-EC—/的大小.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.答案:解：(I)證明：???AB1平面PAD,：.AB1

DP,

vDP=2V3,AP=2,/.PAD=60°,

由=PA,可得sin/PD力=

s\n/.PADs\nz.PDA2

乙PDA=30°,

???AAPD=90°,DPA.AP,

vABC\AP=A,DP1平面PAB,

DPu平面PC￡),.?.平面P4B1平面PCD；

(n)以A為原點(diǎn)，在平面APO中過A作A。的垂線為x軸，AO為)，軸，A8為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則力(0,0,0),C(0,4,3),D(0,4，0),P(⑸，0),B(0,0,1),

連結(jié)AC,與BD交于點(diǎn)、N,連結(jié)用N,

vP4〃平面MBD,MN為平面PAC與平面MBD的交線,

NC

PA//MN,=NA9

在四邊形45co中，???/B//CD,???△A8N?ZkCDN,

NCCDMC..1八八

—=—=o3,—=3o,PnM=-PC,

NAABMP4

???”(23》，

BP=(⑸，一1)，BD=(0,4,-1)＞的“電,一力

設(shè)平面MBD的法向量元=(x,y,z)，

n-BD=4y—z=0

則,取y=l,得五=(一更,1,4),

元麗=1岳+2*03

設(shè)直線BP與平面MBD所成角為。,

則S譏。=繇=誓

|FP|,|?l|65

???直線BP與平面”8。所成角的正弦值為蜜.

解析：本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(I)推導(dǎo)出AB_LDP,DPLAP,從而DPI平面PA8,由此能證明平面R4B_L平面PCD

(口)以A為原點(diǎn)，在平面AP。中過4作A力的垂線為x軸，AO為y軸，AB為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線8尸與平面用8。所成角的正弦值.

18.答案：(I)證明：???底面ABC。為菱形，418c=60,

.?.△ABC是等邊三角形，又E是8c的中點(diǎn),

AE1BC,AE1AD,

?:PA1平面ABCD,PA1AE,又PAn40=4,

AE_L平面PAD,

???AE1PD.

(D)解：AB//1,

證明如下:

,:AB"CD,AB仁平面ACD,CDu平面ACD,

AB//平面尸8,又ABu平面PAB,平面PABC平面PCD=/,

AAB//1.

(DI)解：以A為原點(diǎn)，以AE,AD,AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則4(0,0,0),E(V3,0,0),C(⑸，0),P(0,0,2),.?.喈］,1),

AF=(y.pl)>AE=(V3,o,0),AC=(V3,h0),

設(shè)平面AE/7的法向量為記=平面ACT7的法向量為元=(%2，丫2以2)，

貝Ijj沆?竺=0,伊?"=0,即+/1+Z1=0,+5%+Z2=0,

m=

,4E=0m-AC=0、V3%1=0V3x24-y20

令Zi=1可得記=(0,-2,1),