2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題5.1矩形重難點(diǎn)題型含解析新版浙教版

Page1專題5.1矩形-重難點(diǎn)題型【學(xué)問點(diǎn)1矩形的定義】有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【學(xué)問點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．【題型1矩形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例1】（南京月考）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠AOD＝110°，則∠CDE大小是（）A．55° B．40° C．35° D．20°【分析】由矩形的性質(zhì)得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠ODE＝20°，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠AOD＝110°，∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD=1∵DE⊥AC，∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（天津期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，且FC＝2BF，連接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，則∠AEF的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．不能確定【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，求出AB＝CF＝2，BF＝CE＝1，依據(jù)全等三角形的判定推出△ABF≌△FCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，求出∠AFE＝90°，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)C＝2BF，∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，在△ABF和△FCE中，AB=CF∠B=∠C∴△ABF≌△FCE（SAS），∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，∵∠B＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CFE+∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等學(xué)問點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AE平分∠BAD交于點(diǎn)E，且BO＝BE，則∠CAE＝．【分析】先證△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE，再證△BAO是等邊三角形，得∠OAB＝60°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵BO＝BE，∴AB＝BO＝OA，∴△BAO是等邊三角形，∴∠OAB＝60°，∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)；嫻熟駕馭矩形的性質(zhì)，證出△BAO為等邊三角形是解此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（蘇州期中）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC=2，則∠ECD＝【分析】過點(diǎn)C作CM⊥BE交BE于M，先證明△EMC≌△EDC，求得∠DCE＝∠MCE，再證明△BMC為等腰直角三角形，求出∠MCD，最終求得∠ECD．【解答】解：過點(diǎn)C作CM⊥BE交BE于M，如圖，∵EC平分∠BED，∴∠CEM＝∠CED，在△EMC和△EDC中∠CEM=∠CED∠EMC=∠EDC=90°∴△EMC≌△EDC（AAS），∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，在Rt△BMC中，BM=BC2∴△BMC為等腰直角三角形，∴∠MCD＝45°，∴∠MCD＝45°∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．故答案為：22.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線與矩形的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)作垂直是解決本題的關(guān)鍵．【題型2矩形的性質(zhì)（求線段長(zhǎng)度）】【例2】（江陰市月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】連接CE，由矩形的性質(zhì)可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，則可得AE＝CE；設(shè)DE＝x，則AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，求解即可．【解答】解：連接CE，如圖：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，設(shè)DE＝x，則AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的長(zhǎng)為3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等學(xué)問點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、嫻熟駕馭相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（鄞州區(qū)校級(jí)期中）矩形ABCD與ECFG如圖放置，點(diǎn)B，C，F(xiàn)共線，點(diǎn)C，E，D共線，連接AG，取AG的中點(diǎn)H，連接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，則EH＝（）A．2 B．2 C．3 D．5【分析】由“ASA”可證△ADH≌△GNH，可得DH＝HN，NG＝AD＝2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：連接DH，并延長(zhǎng)交EG于N，∵AD∥EG，∴∠DAH＝∠AGN，∵點(diǎn)H是AG的中點(diǎn)，∴AH＝HG，在△ADH和△GNH中，∠DAH=∠AGNAH=HG∴△ADH≌△GNH（ASA），∴DH＝HN，NG＝AD＝2，∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，∴DE＝EN＝2，又∵∠DEN＝90°，∴DN=2DE＝22∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，∴EH=12DN故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明DE＝EN是本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（玄武區(qū)期中）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE=74，AF=254，則【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)即可證明△AOF≌△COE，進(jìn)而得AF＝CE=254，再利用勾股定理求出AB和【解答】解：∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCE∠AOF=∠COE∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE=25∵EF是AC的垂直平分線，∴AF＝CE=25又∵BE=7∴BC＝BE+EC=7在Rt△ABE中，AB=A在Rt△ABC中，AC=A故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用全等三角形以及勾股定理進(jìn)行推理運(yùn)算．【變式2-3】（蘇州期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一點(diǎn)，AE＝1，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP的中點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF取得最小值時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度是．【分析】過點(diǎn)P作PM∥FE交AD于M，則FE為△APM的中位線，PM＝2EF，當(dāng)PM⊥AD時(shí)，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的長(zhǎng)度．【解答】解：過點(diǎn)P作PM∥FE交AD于M，如圖，∵F為AP的中點(diǎn)，PM∥FE，∴FE為△APM的中位線，∴AM＝2AE＝2，PM＝2EF，當(dāng)EF取最小值時(shí)，即PM最短，當(dāng)PM⊥AD時(shí)，PM最短，此時(shí)PM＝AB＝3，∵M(jìn)D＝AD﹣AM＝4，在Rt△PMD中，PD=M∴當(dāng)線段EF取得最小值時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度是5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)和三角形中位線定理，構(gòu)造三角形中位線，利用垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．【題型3矩形的性質(zhì)綜合】【例3】（余杭區(qū)月考）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且AE＝AD，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面積．【分析】（1）連接DE，利用矩形的性質(zhì)，則可證得Rt△ABE≌Rt△DFA，進(jìn)一步可證得Rt△DFE≌Rt△DCE，則可證得結(jié)論；（2）設(shè)AD＝x，則AF＝x﹣1，在△AFD中，利用勾股定理，可求得AD，可求得矩形ABCD的面積．【解答】解：（1）連結(jié)DE，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DFA中，∠AFD=∠B∠DAF=∠AEB△ABE≌△DFA（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，DF=CDDE=DE∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，設(shè)AD＝x，則AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD?DC＝65．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)，證得三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（渝中區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．（1）求矩形ABCD的面積；（2）求證：OE＝FE．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，結(jié)合AE平分∠BAD，可求得∠BAO＝60°，則可判定△ABO是等邊三角形，則由AB＝2，可得AC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得BC的長(zhǎng)，最終由矩形的面積公式計(jì)算即可；（2）先判定△ABE為等腰直角三角形，則可得BE＝AB，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠OFE＝∠BOE，然后由等腰三角形的判定可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝60°，∴△ABO是等邊三角形，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC=AC2∴矩形ABCD的面積為：AB×BC＝43；（2）證明：∵△ABO是等邊三角形，∴BO＝AB，∠ABO＝60°，∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE＝AB，∴BO＝BE，∠EBO＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∴∠BOE=12（180°﹣∠∴∠OFE＝∠OBE+∠BEF＝75°，∴∠OFE＝∠BOE，∴OE＝FE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)，嫻熟駕馭相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（天心區(qū)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求證：OE＝OF；（2）若AC＝63，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)得出∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，進(jìn)而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；（2）首先求出∠BAC＝30°，進(jìn)而得出∠BEF＝2∠OBE，利用勾股定理求出AB即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，在△AOE和△COF中，∠CAE=∠ACF∠CFO=∠AEO∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）解：連接OB，如圖所示：∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF，由（1）知，△AOE≌△COF，∴OA＝OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴BO=12AC＝∴∠BAC＝∠OBA，又∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2∠OBE，而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，∴∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝3∴AB=A【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問，得出△AOE≌△COF是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，點(diǎn)E射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△ABE關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△FAE．（1）當(dāng)點(diǎn)F在對(duì)角線AC上時(shí)，求FC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△FCE是直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AC，依據(jù)對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出AF＝AB，再依據(jù)線段的有關(guān)計(jì)算求出FC；（2）①當(dāng)∠CFE是直角時(shí)，利用三角形面積公式和△ABC、△ABE、△AEC面積之間的關(guān)系即可；②當(dāng)∠FCE是直角時(shí)，利用勾股定理即可求出；③當(dāng)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)∠CEF是直角，由BE＝AB＝EF即可求得；④當(dāng)E在BC延長(zhǎng)線上，∠ECF＝90°時(shí)，先求出CF＝33，再有勾股定理求出BE．【解答】解：（1）如圖所示：∵AB＝23，BC＝3，∴AC=A∵△ABE關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△FAE，∴AF＝AB＝23，∴FC＝AC﹣AF=21-2（2）當(dāng)△FCE是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠CFE是直角時(shí)，如（1）圖所示：由題意可知點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且EF⊥AC，設(shè)BE＝x，則EF＝x，∴S△ABC=12×3×23S△ABE=12×23×S△ACE=12∴33=3x+解得：x＝27-∴BE＝27-②當(dāng)∠FCE是直角時(shí)，如圖所示：∵△ABE關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△FAE．∴AB＝AF，BE＝EF，在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23，∴DF=ACF＝DC﹣CE＝23-設(shè)BE＝x，則EF＝x，CE＝3﹣x，∴在Rt△ADF中，EF2＝CE2+CF2，x2＝（3﹣x）2+(3解得：x＝2，∴BE＝EF＝2；③當(dāng)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)∠CEF是直角，如圖所示：由題意得：BE＝AB＝EF＝23．④當(dāng)E在BC延長(zhǎng)線上，∠ECF＝90°時(shí)，如圖所示：在Rt△ADF中，DF=A∴CF＝33，設(shè)BE＝t，則EF＝t，CE＝t﹣3，在Rt△ECF中，∵CF2+CE2＝EF2，即（33）2+（t﹣3）2＝t2，解得：t＝6，∴BE＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形性質(zhì)、勾股定理、三角形面積和圖形對(duì)稱等學(xué)問，對(duì)學(xué)問的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【學(xué)問點(diǎn)3直角三角形斜邊中線】在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．【題型4直角三角形斜邊中線】【例4】（海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接BF，若BF＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．63 B．310 C．8 D．6【分析】由BE＝BC知道點(diǎn)B為CE的中點(diǎn)，而點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，依據(jù)中位線定理可以求得CD；在Rt△ABC中，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求得斜邊AB的長(zhǎng)；依據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵BE＝BC，∴點(diǎn)B為CE的中點(diǎn)，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴BF為△CDE的中位線，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD為中線，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC=AB2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位線定理，直角三角形斜邊中線定理，勾股定理，其中，中位線定理是解題的突破口．【變式4-1】（海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分別為對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，連接MN，判定MN與AC的位置關(guān)系并證明．【分析】連接AM，CM，依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出AM=12BD，CM=12BD，求出AM【解答】解：MN⊥AC，證明：連接AM，CM，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M為BD的中點(diǎn)，∴AM=12BD，CM∴AM＝CM，∵N為AC的中點(diǎn)，∴MN⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)，留意：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊．【變式4-2】（東湖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，連接EM，DM，推斷△EDM的形態(tài)，并說明理由．【分析】（1）依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME=12BC，再（2）依據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME＝60°，再依據(jù)等邊三角形的判定方法解答．【解答】（1）證明：連接ME，MD．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴MD＝ME=12∴點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：∵M(jìn)D＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△EDM是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）求出∠DME＝60°．【變式4-3】（邛崍市期中）如圖，△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程．【分析】（1）連接DM、ME，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=12BC，ME=12BC，從而得到DM＝（2）依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再依據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后依據(jù)平角等于180°表示出∠DME即可．【解答】（1）證明：連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，∵M(jìn)是線段BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC，EM=∴DM＝EM，∵N是線段DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：∠DME＝180°﹣2∠A，證明：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．【學(xué)問點(diǎn)4矩形的判定方法】①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線相互平分且相等的四邊形是矩形”）；【題型5判定矩形成立的條件】【例5】（陽谷縣期末）在四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O．在下列各組條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90° C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD【分析】由∠B+∠C＝180°，得出AB∥DC，再證出AD∥BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，由對(duì)角線相互垂直得出四邊形ABCD是菱形，A符合題意；由AO＝CO，BO＝DO，得出四邊形ABCD是平行四邊形，由∠A＝90°即可得出B不符合題意；由∠A+∠B＝180°，得出AD∥BC，由HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC＝AD，證出四邊形ABCD是平行四邊形，由∠A＝90°即可得出C不符合題意．由AB＝CD，AD＝BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，再由對(duì)角線相等即可得出D不符合題意；【解答】解：∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴A不符合題意；∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴B不符合題意；∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，如圖所示：在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BDAB=AB∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴C不符合題意；∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴D符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；嫻熟駕馭矩形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（招遠(yuǎn)市期中）如圖，下列條件不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO【分析】矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線相互平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此推斷．【解答】解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°依據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定為平行四邊形，又有AB⊥AD，可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、AO＝BO，CO＝DO，不行以判定為平行四邊形，所以不行判定為矩形，故此選項(xiàng)正確；D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到對(duì)角線相互平分且相等，據(jù)此可以判定矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的判定以及矩形的定理，難度簡(jiǎn)潔．【變式5-2】（涿鹿縣期中）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O且AC，BD相互平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個(gè)條件可以是（填寫一個(gè)即可）．【分析】因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相互平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形，依據(jù)矩形的判定條件，可得在不添加任何幫助線的前提下，要使四邊形ABCD成為矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是一個(gè)角是直角或者對(duì)角線相等，從而得出答案．【解答】解：∵對(duì)角線AC與BD相互平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，要使四邊形ABCD成為矩形，需添加一個(gè)條件是：AC＝BD或有個(gè)內(nèi)角等于90度．故答案為：AC＝BD或有個(gè)內(nèi)角等于90度．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定定理：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線相互平分且相等的四邊形是矩形．【變式5-3】（房山區(qū)期末）在四邊形ABCD中，有以下四個(gè)條件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．從中選取三個(gè)條件，可以判定四邊形ABCD為矩形．則可以選擇的條件序號(hào)是．【分析】依據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)具備①③④這三個(gè)條件，能得到四邊形ABCD是矩形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴∠ACB＝∠DCA，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，駕馭矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型6矩形的判定證明（依據(jù)直角判定）】【例6】（龍口市期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求證：四邊形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，進(jìn)而得到AE∥CD，即可求出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出四邊形ADCE是平行四邊形，即可求出四邊形ADCE是矩形．【解答】證明：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，∵AE平分∠FAC，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE∥BD，AE＝BD，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝DC，∴AE∥DC，AE＝DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定，靈敏利用平行四邊形的判定得出四邊形AEDB是平行四邊形是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（南京月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥CB交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：AF＝BD；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDAF為矩形，并說明理由．【分析】（1）依據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB＝90°，由（1）知四邊形BDAF為平行四邊形，則?BDAF是矩形．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD；（2）解：△ABC滿足：AB＝AC時(shí)，四邊形BDAF為矩形，理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，由（1）知四邊形BDAF為平行四邊形，∴?BDAF為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（連云港模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)線段AB與線段AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CDF，證出BE＝DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；（2）證出AB＝OA，由等腰三角形的性質(zhì)得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位線定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：當(dāng)AC＝2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點(diǎn)，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、三角形中位線定理等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是靈敏運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式6-3】（鄂州期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．（1）推斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得：∠OEC＝∠ECB，依據(jù)角平分線的定義可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代換和等角對(duì)等邊得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得結(jié)論；（2）先依據(jù)對(duì)角線相互平分證明四邊形AECF是平行四邊形，再由角平分線可得：∠ECF＝90°，利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形可得結(jié)論；【解答】解：（1）OE＝OF，理由如下：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得：OC＝OF，∴OE＝OF；（2）當(dāng)O為AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF（已證），∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=1∴∠ACE+∠ACF=12（∠ACB+∠ACG）即∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，嫻熟駕馭并區(qū)分平行四邊形、矩形、正方形的判定是解題關(guān)鍵．【題型7矩形的判定證明（依據(jù)對(duì)角線判定）】【例7】（靜海區(qū)月考）如圖，將?ABCD的邊AB延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使AB＝BE，連接DE，EC，BD，DE交BC于點(diǎn)O．（1）求證△ABD≌△BEC；（2）若∠BOD＝2∠A，求證四邊形BECD是矩形．【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；（2）欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知BC＝ED．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD＝EC．在△ABD與△BEC中，AB=BEBD=EC∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD＝OE，OC＝OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四邊形BECD為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大．【變式7-1】（丹東期末）如圖，AD是△ABC的中線，AE∥BC，且AE=12BC，連接DE，（1）求證：AB＝DE；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是矩形？并說明理由．【分析】（1）依據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）依據(jù)矩形的判定解答即可．【解答】證明：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD=12∵AE=12∴AE＝BD，∵AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB＝DE；（2）當(dāng)△ABC滿足AB＝AC時(shí)，四邊形ADCE是矩形，∵AE=12BC，BD＝CD=∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AB＝DE，∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，AC＝DE，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的判定．此題難度適中，留意駕馭數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式7-2】（蘭州期末）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．【分析】連接EO，首先依據(jù)O為BD和AC的中點(diǎn)，得出四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到【解答】證明：連接EO，如圖所示：∵O是AC、BD的中點(diǎn)，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△EBD中，∵O為BD中點(diǎn)，∴EO=12在Rt△AEC中，∵O為AC中點(diǎn)，∴EO=12∴AC＝BD，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，關(guān)鍵是駕馭直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【變式7-3】（鎮(zhèn)江期中）如圖，在△ABC中，O是AC上的隨意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)O平行于BC的直線l分別與∠BCA、∠DCA的平分線交于點(diǎn)E、F．（1）OE與OF相等嗎？證明你的結(jié)論．（2）試確定點(diǎn)O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．【分析】（1）依據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，依據(jù)等腰三角形的判定推出OE＝OC，OF＝OC即可；（2）依據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形AECF，依據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形推出即可；【解答】（1）解：相等；理由是：∵直線l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）解：O在AC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，∴平行四邊形AECF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等學(xué)問點(diǎn)的應(yīng)用，題型較好，綜合性比較強(qiáng)，難度也適中．【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】【例8】（崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD為矩形；（2）如圖2，P是AD邊上隨意一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，再證出（2）由勾股定理可求AC＝BD＝13，由面積法可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；（2）如圖，連接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD=AB∴BO＝OD＝AO＝CO=13∵S△AOD=14S矩形ABCD∴S△AOP+S△POD＝15，∴12×132∴PE+PF=60【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭矩形的判定與性質(zhì)，屬于中考常考題型．【變式8-1】（惠民縣期末）如圖，過△ABC邊AC的中點(diǎn)O，作OE⊥AC，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD∥BC，與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于點(diǎn)F．（1）求證：①OC＝BC；②四邊形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）①依據(jù)角平分線定義得到∠OCE＝∠BCE，由垂直的定義得到∠CFO＝∠CFB＝90°，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BC，推出四邊形ABCD是平行四邊形，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EBC＝∠EOC＝90°，于是得到四邊形ABCD是矩形；（2）由矩形的性質(zhì)得到AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，得到△OBC是等邊三角形，求得∠OCB＝60°，依據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF與△BCF中，∠OCE=∠BCECF=CF∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD與△OCB中，∠DAO=∠BCOOA=OC∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE與△BCE中，CE=CE∠OCE=∠BCE∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB=12∵∠EBC＝90°，∴EB=12∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB=3，EC