四川省綿陽市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題文題含解析

Page19第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的概念運算即可.【詳解】由題意知.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式除法運算化簡復(fù)數(shù)，從而推斷其虛部.【詳解】解：因為，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部等于；故選：A．3.等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由求解.【詳解】解：因為等差數(shù)列的前n項和為，且，所以，所以，故選：C4.已知，，則（）A B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系可得a的值，再依據(jù)換底公式可得.【詳解】因為，所以，所以.故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：D.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性解除兩個選項，再由時函數(shù)值的正負(fù)推斷即得.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項CD不滿意；當(dāng)時，，，即，選項A不滿意，B滿意.故選：B7.已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（）A.6 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】B，C，D三點共線,即，即可.【詳解】，因為B，C，D三點共線,即，.故選：D8.已知，，且，則xy的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.即xy的最大值為1.故選：C9.正項等比數(shù)列公比為q，前n項積為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列前n項積為的性質(zhì)分析推斷.【詳解】由正項等比數(shù)列公比為q，前n項積為，充分性：，則，則，即，充分性成立；必要性：若，則，則，則，必要性成立，是充要條件.故選：C10.已知點P是曲線上隨意一點，點Q是直線上任一點，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：過點的曲線的切線與直線平行時，最小，即有，所以，故選：A11.我國油紙傘制作工藝奇異.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈D已滑動到的位置，且A、B、三點共線，，B為的中點，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著平柄向下滑動的距離為，則當(dāng)傘完全張開時，的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由傘完全張開時求得，再由B為的中點，求得，然后由傘完全收攏時求得BD，再在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：由題意得當(dāng)傘完全張開時：，因為B為的中點，所以，當(dāng)傘完全收攏時：，所以，在中，由余弦定理得，所以，故選：A12.函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞增.記滿意條件的全部的值的和為S，則S的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的對稱性可得或，再由單調(diào)性可得，分類探討計算即可.【詳解】由題意知：或，，，化簡得或，.∵在上單調(diào)遞增，∴，∴.①當(dāng)時，取知，此時，又，結(jié)合題意可知，即，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，不符合題意；取時，，此時，同理，因為結(jié)合題意可知，即，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，∴.②當(dāng)時，取知，此時，同理，因為結(jié)合題意可知，即，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，∴.綜上：或1，.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)表示的直線，找出最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)可化為：，平移，可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，取最大值.則的最大值為.故答案為：14.若，，與的夾角為，且，則m的值為______.【答案】##2.5【解析】【分析】先求得，在利用數(shù)量積的運算律求解.【詳解】解：因為，，與的夾角為，所以，所以，解得，故答案為：15.已知函數(shù)的定義域為R，滿意，，當(dāng)時，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意分析可知6為函數(shù)的周期，依據(jù)周期性和奇函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為，即，可得，所以6為函數(shù)的周期，所以.故答案為：.16.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且有且僅有4個零點，則的值為________．【答案】39【解析】【分析】先得到的圖象也關(guān)于對稱，視察到為的兩個零點，故由對稱性可知，的另外兩個零點分別為，從而得到方程組，求出，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值狀況，畫出的圖象，進而得到的圖象，依據(jù)的零點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到，從而得到答案.【詳解】由得，令，由于的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象也關(guān)于對稱，明顯為的兩個零點，故由對稱性可知，的另外兩個零點分別為，即，解得，故，令，則，故當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，又，，畫出的圖象如下，故圖象是將圖象位于軸下方部分沿著軸翻折到軸上方即可，如下：要想有且僅有4個零點，則，故.故答案為：39【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟識常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要嫻熟駕馭函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知向量，.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)減區(qū)間；（2）若先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及幫助角公式化簡再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可；（2）利用三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算最值即可.【小問1詳解】由條件及二倍角公式、幫助角公式可知：，所以，，解得單調(diào)減區(qū)間為：；【小問2詳解】由（1）知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，再將得到的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，當(dāng)時，可得，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，即，函數(shù)的最大值為.18.已知數(shù)列滿意.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)與的關(guān)系計算即可得通項公式；（2）利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】由題意可知：，令得，解得，也符合上式，因此.【小問2詳解】由（1）可知：，故，故.19.記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡條件式計算即可；（2）利用余弦定理及面積公式計算即可.【小問1詳解】由已知及二倍角公式可知：，；【小問2詳解】由（1）及余弦定理得，∴，又因為的周長為，得，，.所以的面積為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若方程在上恰有3個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）極大值，微小值（2）【解析】分析】（1）求導(dǎo)后推斷單調(diào)性，從而可求得極值；（2）令，求導(dǎo)后，分、、確定單調(diào)性求得極值，從而可求解.【小問1詳解】時，，，令，解得或.當(dāng)或時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以的極大值為，微小值為.【小問2詳解】令，，令，得或，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，在R上沒有個實數(shù)解，舍去.當(dāng)時，或時，；時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以若方程在上恰有3個實數(shù)解，只需，即，解得.當(dāng)時，或時，；時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，在R上沒有個實數(shù)解，舍去.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.21.已知函數(shù).（1）探討單調(diào)性；（2）若方程有兩個不相等的實根，，求實數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】（1）答案見解析（2）；證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，分、兩種狀況，確定的正負(fù)，從而即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意可得，令，則有，將問題轉(zhuǎn)化與有兩個不同交點，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的微小值即可得的取值范圍；將問題轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合，可得，進而轉(zhuǎn)證，令，，利用導(dǎo)數(shù)，只需證明即可得證.【小問1詳解】解：因為，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：方程，即，等價于，令，其中，則，明顯，令，則，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨于時，，所以在區(qū)間上，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以微小值，所以關(guān)于t的方程有兩個實根，，即與有兩個不同交點，所以；要證，即證，又因為，，即證，只需證，因為，所以，整理可得，不妨設(shè)，則只需證，即，令，，其中，因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍的題型，常接受參變分別法，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)交點的問題進行解答.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.假如多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求，在直角坐標(biāo)系下的一般方程；（2）設(shè)M是上的隨意一點，求M到的距離最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用消參的方法將參數(shù)方程變?yōu)橐话惴匠?，依?jù)，將的極坐標(biāo)方程變?yōu)橐话惴匠?；?）設(shè)，然后利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.【小問1詳解】由得，代入得的一般方程為.由得，因為，，所以的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】設(shè)曲線：上的隨意一點的坐標(biāo)為，，則M到的距離，當(dāng)時，M到的距離最大，此時.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；