滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)滿分沖刺卷特訓(xùn)01實(shí)數(shù)壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)01實(shí)數(shù)壓軸題一、解答題1．（2022秋·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式______．(3)由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：_____（且，，）．(4)設(shè)，，請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)的定義說(shuō)明上述結(jié)論的正確性．2．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題．對(duì)于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定：用符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計(jì)算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數(shù)x的值：．（3）已知y0是一個(gè)不大于280的非負(fù)數(shù)，且滿足{}＝0．我們規(guī)定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到y(tǒng)n第一次等于1時(shí)停止計(jì)算．當(dāng)y0是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)時(shí)，此時(shí)y0＝，n＝．3．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）先閱讀材料，再解答問(wèn)題：我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問(wèn)計(jì)算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請(qǐng)你猜想：59319的立方根是_______位數(shù)（2）在自然數(shù)1到9這九個(gè)數(shù)字中，________，________，________．猜想：59319的個(gè)位數(shù)字是9，則59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數(shù)字是________，因此59319的立方根是________．（4）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？4．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）【閱讀材料】數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計(jì)算的奧妙．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：∵59319的個(gè)位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．【解答問(wèn)題】根據(jù)上面材料，解答下面的問(wèn)題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．5．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定用{}表示不小于的最小整數(shù)，稱{a}為a的根整數(shù).如{}=4.(1)計(jì)算{}=？(2)若{m}=2,寫出滿足題意的m的整數(shù)值；(3)現(xiàn)對(duì)a進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為2為止．例如對(duì)12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一次{}=4,再進(jìn)行第二次求根整數(shù){}=2,表示對(duì)12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2.對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，次后結(jié)果為2.6．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：，，求的值.7．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：；；；……(1)【觀察猜想】根據(jù)以上規(guī)律歸納出：①______________．（不填中間式子）②_______________．（不填中間式子）(2)【論證猜想】請(qǐng)證明②這個(gè)等式．(3)【拓展運(yùn)用】根據(jù)以上規(guī)律，求的值．8．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）單項(xiàng)式“a2”可表示邊長(zhǎng)為a的正方形的面積，這就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．康康由此探究的近似值，以下是他的探究過(guò)程：面積為2的正方形邊長(zhǎng)為，可知＞1，因此設(shè)＝1＋r，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個(gè)正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，則x2＋2×r＋1＝2，由于r2較小故略去，得2r＋1≈2，則r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精確到0.01）（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過(guò)程）；(2)繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基礎(chǔ)上，再探究一次，使求得的的近似值更加準(zhǔn)確，精確到0.001（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過(guò)程）；(3)綜合上述具體探究，已知非負(fù)整數(shù)n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，試用含m和n式子表示的估算值．9．（2022春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谀┮阎涣袛?shù)：，，，，…，滿足對(duì)為一切正整數(shù)都有，，，，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第個(gè)數(shù)（用表示）；(3)求的值．10．（2020秋·四川攀枝花·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：...，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說(shuō)出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來(lái)，但可以用來(lái)表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說(shuō)法.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說(shuō)法解答：（1）的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值；（2）已知，其中是一個(gè)整數(shù)，，求．11．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【算一算】如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為，AC長(zhǎng)等于；【找一找】如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)是這個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)；【畫一畫】如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問(wèn)題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開(kāi)放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開(kāi)放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛(ài)思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開(kāi)放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．12．（2019春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，求下列各式的值:，13．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如果，求的值．14．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺(jué)十分驚奇，請(qǐng)華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的問(wèn)題試一試：①，又，，∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．②∵59319的個(gè)位數(shù)是9，又，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3因此59319的立方根是39．（1）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)195112，按這種方法求立方根，請(qǐng)完成下列填空．①它的立方根是_______位數(shù)．②它的立方根的個(gè)位數(shù)是_______．③它的立方根的十位數(shù)是__________．④195112的立方根是________．（2）請(qǐng)直接填寫結(jié)果：①________．②________．15．（2020春·福建廈門·七年級(jí)廈門市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：我們可以通過(guò)下列步驟估計(jì)的大小．第一步：因?yàn)?2=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通過(guò)取1和2的平均數(shù)縮小所在的范圍：取，因?yàn)?.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）請(qǐng)仿照第一步，通過(guò)運(yùn)算，確定界于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？（2）在1＜＜1.5的基礎(chǔ)上，重復(fù)應(yīng)用第二步中取平均數(shù)的方法，將所在的范圍縮小至m＜＜n，使得n－m=．16．（2018春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解，回答問(wèn)題.我們都知道是無(wú)理數(shù)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此不可能把的小數(shù)部分全部寫出來(lái)，于是小磊用表示的小數(shù)部分，請(qǐng)你根據(jù)小磊的思路完成下列問(wèn)題：（1）的小數(shù)部分是；（2）已知是正整數(shù)，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且表示的小數(shù)部分.①的取值范圍是；②當(dāng)是5的倍數(shù)時(shí)，求的值.17．（2019秋·江蘇泰州·七年級(jí)校考期中）下列等式：，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：__________．（2）初步應(yīng)用：利用（1）的結(jié)論，解決以下問(wèn)題“①把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之差，即；②把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之和，即；（3）定義“”是一種新的運(yùn)算，若，，，求的值．18．（2021春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用﹣1來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（﹣2）請(qǐng)解答：（1）整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣y的相反數(shù)．19．（2020秋·北京海淀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）給定一個(gè)十進(jìn)制下的自然數(shù)，對(duì)于每個(gè)數(shù)位上的數(shù)，求出它除以的余數(shù)，再把每一個(gè)余數(shù)按照原來(lái)的數(shù)位順序排列，得到一個(gè)新的數(shù)，定義這個(gè)新數(shù)為原數(shù)的“模二數(shù)”，記為.如.對(duì)于“模二數(shù)”的加法規(guī)定如下:將兩數(shù)末位對(duì)齊，從右往左依次將相應(yīng)數(shù)位.上的數(shù)分別相加，規(guī)定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進(jìn).如的“模二數(shù)”相加的運(yùn)算過(guò)程如下圖所示.根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題:(1)的值為_(kāi)_____，的值為_(kāi)(2)如果兩個(gè)自然數(shù)的和的“模二數(shù)”與它們的“模二數(shù)”的和相等，則稱這兩個(gè)數(shù)“模二相加不變”.如，因?yàn)?，所以，即與滿足“模二相加不變”.①判斷這三個(gè)數(shù)中哪些與“模二相加不變”，并說(shuō)明理由；②與“模二相加不變”的兩位數(shù)有______個(gè)20．（2020秋·浙江杭州·七年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校╅喿x下面材料：小丁在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到一個(gè)定義：對(duì)于排好順序的三個(gè)數(shù)：x1，x2，x3，稱為數(shù)列x1，x2，x3，計(jì)算，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的價(jià)值.例如，對(duì)于數(shù)列2，-1，3，因?yàn)?，，，所以?shù)列2，-1，3的價(jià)值為.小丁進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算其相應(yīng)的價(jià)值.如數(shù)列-1，2，3的價(jià)值為；數(shù)列3，-1，2的價(jià)值為1：…經(jīng)過(guò)研究，小丁發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“2，-1，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，價(jià)值的最小值為.根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)列4，3，-2的價(jià)值為_(kāi)_____.(2)將“4，3，-2”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，求這些數(shù)列的價(jià)值的最小值(請(qǐng)寫出過(guò)程并作答).(3)將3，-8，a(a>1)這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列.若這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為1，則a的值為_(kāi)______(直接寫出答案).21．（2021秋·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8．(1)圖中陰影部分是一個(gè)正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng)．(2)把正方形ABCD放到數(shù)軸上．如圖2．使得A與1重合，那么D在數(shù)軸上表示的數(shù)為_(kāi)_____．(3)在（2）的條件下，把正方形ABCD沿?cái)?shù)軸逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)B第一次落在數(shù)軸上時(shí)，求點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)．22．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面文字，然后回答問(wèn)題．給出定義：一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分是不大于這個(gè)數(shù)的最大整數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)小數(shù)部分為這個(gè)數(shù)與它的整數(shù)部分的差的絕對(duì)值．例如：2.4的整數(shù)部分為2，小數(shù)分部為，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分可用表示，再如，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，由此得到，如果，其中x是整數(shù)，且，那么，．(1)如果，其中a是整數(shù)，且，那么___________，___________．(2)已知，其中m是整數(shù)，且，求的值；(3)如果，其中c是整數(shù)，且，求出c，d的值．23．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）動(dòng)手試一試：圖1是由10個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖中的虛線AB，BC將它剪開(kāi)后，重新拼成一個(gè)大正方形ABCD．基礎(chǔ)鞏固：(1)在圖1中，拼成的大正方形ABCD的面積為，邊AD的長(zhǎng)為；(2)知識(shí)運(yùn)用：現(xiàn)將圖1水平放置在如圖2所示的數(shù)軸上，使得大正方形的頂點(diǎn)B與數(shù)軸上表示－1的點(diǎn)重合，若以點(diǎn)B為圓心，BC邊的長(zhǎng)為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)是；(3)變式拓展：圖3是由25個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的圖形，①你能從中剪出一個(gè)面積為13的大正方形（大正方形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上）嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出示意圖；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②在①的條件下，在圖3中的數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)，請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上找出表示該大正方形邊長(zhǎng)的點(diǎn)，并直接寫出該點(diǎn)表示的數(shù)．特訓(xùn)01實(shí)數(shù)壓軸題一、解答題1．（2022秋·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式______．(3)由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：_____（且，，）．(4)設(shè)，，請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)的定義說(shuō)明上述結(jié)論的正確性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：．（4）設(shè)，，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：和給出的材料證明結(jié)論．【解析】（1）∵，，∴，故答案為：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）由（2）的結(jié)果可得，故答案為：．（4）設(shè)，，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是開(kāi)放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．2．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題．對(duì)于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定：用符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計(jì)算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數(shù)x的值：．（3）已知y0是一個(gè)不大于280的非負(fù)數(shù)，且滿足{}＝0．我們規(guī)定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到y(tǒng)n第一次等于1時(shí)停止計(jì)算．當(dāng)y0是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)時(shí)，此時(shí)y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由題可知，，則可得滿足題意的整數(shù)的的值為1、2、3；（3）由，可知，是某個(gè)整數(shù)的平方，又是符合條件的所有數(shù)中最大的數(shù)，則，再依次進(jìn)行計(jì)算．【解析】解：（1）由定義可得，，，．故答案為：2；．（2），，即，整數(shù)的值為1、2、3．故答案為：1、2、3．（3），即，可設(shè)，且是自然數(shù)，是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)，，，，，，即．故答案為：256，4．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類問(wèn)題，主要考查估算無(wú)理數(shù)大小，無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，理解定義內(nèi)容是解題關(guān)鍵．3．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）先閱讀材料，再解答問(wèn)題：我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問(wèn)計(jì)算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請(qǐng)你猜想：59319的立方根是_______位數(shù)（2）在自然數(shù)1到9這九個(gè)數(shù)字中，________，________，________．猜想：59319的個(gè)位數(shù)字是9，則59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數(shù)字是________，因此59319的立方根是________．（4）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？【答案】（1）兩；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根據(jù)夾逼法和立方根的定義進(jìn)行解答；（2）先分別求得1至9中奇數(shù)的立方，然后根據(jù)末位數(shù)字是幾進(jìn)行判斷即可；（3）先利用（2）中的方法判斷出個(gè)數(shù)數(shù)字，然后再利用夾逼法判斷出十位數(shù)字即可；（4）利用（3）中的方法確定出個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字即可．【解析】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是兩位數(shù)；（2）∵125，343，729，∴59319的個(gè)位數(shù)字是9，則59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是9；（3）∵，且59319的立方根是兩位數(shù)，∴59319的立方根的十位數(shù)字是3，又∵59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是兩位數(shù)；∵125，343，729，∴103823的個(gè)位數(shù)字是3，則103823的立方根的個(gè)位數(shù)字是7；∵，且103823的立方根是兩位數(shù)，∴103823的立方根的十位數(shù)字是4，又∵103823的立方根的個(gè)位數(shù)字是7，∴103823的立方根是47．【點(diǎn)睛】考查了立方根的概念和求法，解題關(guān)鍵是理解一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)．4．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）【閱讀材料】數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計(jì)算的奧妙．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：∵59319的個(gè)位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．【解答問(wèn)題】根據(jù)上面材料，解答下面的問(wèn)題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根據(jù)題中所給的分析方法先求出這幾個(gè)數(shù)的立方根都是兩位數(shù)，然后根據(jù)第二和第三步求出個(gè)位數(shù)和十位數(shù)即可．（2）根據(jù)題中所給的分析方法先求出這幾個(gè)數(shù)的立方根都是兩位數(shù)，然后根據(jù)第二和第三步求出個(gè)位數(shù)和十位數(shù)即可．【解析】解：（1）第一步：，，，，能確定110592的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：的個(gè)位數(shù)是2，，能確定110592的立方根的個(gè)位數(shù)是8．第三步：如果劃去110592后面的三位592得到數(shù)110，而，則，可得，由此能確定110592的立方根的十位數(shù)是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：，，，，能確定21952的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：的個(gè)位數(shù)是2，，能確定21952的立方根的個(gè)位數(shù)是8．第三步：如果劃去21952后面的三位952得到數(shù)21，而，則，可得，由此能確定21952的立方根的十位數(shù)是2，因此21952的立方根是28．即，故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)是解題的關(guān)鍵，有一定難度．5．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定用{}表示不小于的最小整數(shù)，稱{a}為a的根整數(shù).如{}=4.(1)計(jì)算{}=？(2)若{m}=2,寫出滿足題意的m的整數(shù)值；(3)現(xiàn)對(duì)a進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為2為止．例如對(duì)12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一次{}=4,再進(jìn)行第二次求根整數(shù){}=2,表示對(duì)12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2.對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，次后結(jié)果為2.【答案】(1)3；(2)2，3，4(3)3【分析】（1）先計(jì)算出的大小，再根據(jù)新定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義可知1＜≤2，可得滿足題意的m的整數(shù)值；（3）根據(jù)定義對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為2.【解析】解：（1）根據(jù)新定義可得，{}=3，故答案為3；（2）∵{m}=2，根據(jù)新定義可得，1＜≤2，可得m的整數(shù)值為2,3,4，故答案為2,3,4；（3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，3次后結(jié)果為2；故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查了對(duì)新定義的理解能力，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵.6．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：，，求的值.【答案】50.【分析】首先利用完全平方公式對(duì)根號(hào)下的式子進(jìn)行變形，然后開(kāi)方，而符合平方差公式，分解因式后分式可以約分，繼續(xù)化簡(jiǎn)可得原式=，將代入即可解答.【解析】解：，==，=，=，=，=，∵，∴原式==50.【點(diǎn)睛】本題所考查的內(nèi)容“分式的運(yùn)算”和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，全面考查了平方差公式、完全平方公式、冪的運(yùn)算、分式運(yùn)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要合理尋求簡(jiǎn)單運(yùn)算途徑的能力及分式運(yùn)算．7．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：；；；……(1)【觀察猜想】根據(jù)以上規(guī)律歸納出：①______________．（不填中間式子）②_______________．（不填中間式子）(2)【論證猜想】請(qǐng)證明②這個(gè)等式．(3)【拓展運(yùn)用】根據(jù)以上規(guī)律，求的值．【答案】(1)①；②(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）①x右下角的角碼是第一個(gè)冪分母的底數(shù)，角碼加上1就是第二個(gè)冪分母的底數(shù)，結(jié)果是常數(shù)1加上角碼與相鄰較大的整數(shù)積的倒數(shù)，找到規(guī)律，計(jì)算即可．②角碼為n，相鄰整數(shù)n+1，規(guī)律一般化即可．（2）通分，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可．（3）根據(jù)計(jì)算后，兩邊分別求和計(jì)算即可．【解析】（1）①；故答案為：．②，故答案為：．（2）證明：左邊右邊．（3）由題意可知，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等式中規(guī)律問(wèn)題，正確發(fā)現(xiàn)恒等式中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）單項(xiàng)式“a2”可表示邊長(zhǎng)為a的正方形的面積，這就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．康康由此探究的近似值，以下是他的探究過(guò)程：面積為2的正方形邊長(zhǎng)為，可知＞1，因此設(shè)＝1＋r，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個(gè)正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，則x2＋2×r＋1＝2，由于r2較小故略去，得2r＋1≈2，則r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精確到0.01）（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過(guò)程）；(2)繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基礎(chǔ)上，再探究一次，使求得的的近似值更加準(zhǔn)確，精確到0.001（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過(guò)程）；(3)綜合上述具體探究，已知非負(fù)整數(shù)n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，試用含m和n式子表示的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)【分析】（1）設(shè)＝2.6＋r，面積為7的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為2.6的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（2）設(shè)＝2.64＋r，面積為7的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為2.64的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（3）設(shè)，面積為b的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴＞2.6，設(shè)＝2.6＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為2.6的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即≈2.65；（2）∵，∴＞2.64，設(shè)＝2.64＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為2.64的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.28r＋6.970≈7，∴r≈0.006，即≈2.646；（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m∴設(shè)，如下圖所示，面積為b的正方形由一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，∴，∵r2較小故略去，得，∴，∵b＝n2＋m，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式、正方形、矩形的面積，解題的關(guān)鍵是仿照案例畫出圖形，再根據(jù)圖形建立等式．9．（2022春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谀┮阎涣袛?shù)：，，，，…，滿足對(duì)為一切正整數(shù)都有，，，，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第個(gè)數(shù)（用表示）；(3)求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給公式進(jìn)行求解即可；（2）先計(jì)算出即可發(fā)現(xiàn)，；（3）先推出據(jù)此求解即可．（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵∴，∴，∴，∵，，，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋·四川攀枝花·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：...，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說(shuō)出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來(lái)，但可以用來(lái)表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說(shuō)法.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說(shuō)法解答：（1）的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值；（2）已知，其中是一個(gè)整數(shù)，，求．【答案】（l）1；（2）28．【分析】（1）先估算出和的大致范圍，再求得a、b的值，然后代入計(jì)算即可；（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)大小的估算，根據(jù)估算求得a、b的值是解答本題的關(guān)鍵．11．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【算一算】如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為，AC長(zhǎng)等于；【找一找】如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)是這個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)；【畫一畫】如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問(wèn)題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開(kāi)放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開(kāi)放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛(ài)思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開(kāi)放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）5，8；（2）N；（3）圖見(jiàn)解析；（4）①+(m+2b)的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)，圖見(jiàn)解析；②m＝4a．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)﹣3，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)1，求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB＝BC可求得AC的長(zhǎng)以及點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）可設(shè)原點(diǎn)為O，根據(jù)條件可求得AB中點(diǎn)表示的數(shù)以及線段AB的長(zhǎng)度，根據(jù)AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，結(jié)合OQ的長(zhǎng)度即可確定N為數(shù)軸的原點(diǎn)；（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，先求得AB的長(zhǎng)度，得到AM＝BM＝n，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（4）①根據(jù)每分鐘進(jìn)校人數(shù)為b，每個(gè)通道每分鐘進(jìn)入人數(shù)為a，列方程組，根據(jù)m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可畫出F，G點(diǎn)，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；②解①中的方程組，即可得到m＝4a．【解析】解：（1）【算一算】：記原點(diǎn)為O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以點(diǎn)C表示的數(shù)為5，AC長(zhǎng)等于8．故答案為：5，8；（2）【找一找】：記原點(diǎn)為O，∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，∴N為原點(diǎn)．故答案為：N．（3）【畫一畫】：記原點(diǎn)為O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中點(diǎn)M，得AM＝BM＝n，以點(diǎn)O為圓心，AM＝n長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求；（4）【用一用】：在數(shù)軸上畫出點(diǎn)F，G；2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)為：m＝4a．∵4分鐘內(nèi)開(kāi)放3個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分鐘內(nèi)開(kāi)放4個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求．作OB的中點(diǎn)E，則OE＝BE＝4a，在數(shù)軸負(fù)半軸上用圓規(guī)截取OG＝3OE＝12a，則點(diǎn)G即為所求．+（m+2b）的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案為：m＝4a．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．12．（2019春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，求下列各式的值:，【答案】（1）7，（2）47，（3）18.【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案；（2）對(duì)（1）的結(jié)果利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案；（3）利用立方和公式變形結(jié)合（1）的結(jié)果代入即可.【解析】解：（1）∵，∴，即+2=9，∴；（2）∵，∴,即.∴；（3）=，∵，，∴原式==18.【點(diǎn)睛】此題主要考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以及完全平方公式立方和公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．13．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如果，求的值．【答案】0【分析】先根據(jù)完全平方式的非負(fù)性得到x與a、x與b間的等量關(guān)系式，再代入求值即可．【解析】解：∵，∴，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、完全平方式的非負(fù)性等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握立方和的因式分解公式．14．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺(jué)十分驚奇，請(qǐng)華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的問(wèn)題試一試：①，又，，∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．②∵59319的個(gè)位數(shù)是9，又，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3因此59319的立方根是39．（1）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)195112，按這種方法求立方根，請(qǐng)完成下列填空．①它的立方根是_______位數(shù)．②它的立方根的個(gè)位數(shù)是_______．③它的立方根的十位數(shù)是__________．④195112的立方根是________．（2）請(qǐng)直接填寫結(jié)果：①________．②________．【答案】（1）①兩；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根據(jù)例題進(jìn)行推理得出答案；②根據(jù)例題進(jìn)行推理得出答案；③根據(jù)例題進(jìn)行推理得出答案；④根據(jù)②③得出答案；（2）①先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個(gè)位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論；②先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個(gè)位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論.【解析】（1）①，，∴，∴能確定195112的立方根是一個(gè)兩位數(shù)，故答案為：兩；②∵195112的個(gè)位數(shù)字是2，又∵，∴能確定195112的個(gè)位數(shù)字是8，故答案為：8；③如果劃去195112后面三位112得到數(shù)195，而，∴，可得，由此能確定195112的立方根的十位數(shù)是5，故答案為：5；④根據(jù)②③可得：195112的立方根是58，故答案為：58；（2）①13824的立方根是兩位數(shù)，立方根的個(gè)位數(shù)是4，十位數(shù)是2，∴13824的立方根是24，故答案為：24；②175616的立方根是兩位數(shù)，立方根的個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是5，∴175616的立方根是56，故答案為：56.【點(diǎn)睛】此題考查立方根的性質(zhì)，一個(gè)數(shù)的立方數(shù)的特點(diǎn)，正確理解題意仿照例題解題的能力，掌握一個(gè)數(shù)的立方數(shù)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.15．（2020春·福建廈門·七年級(jí)廈門市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：我們可以通過(guò)下列步驟估計(jì)的大?。谝徊剑阂?yàn)?2=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通過(guò)取1和2的平均數(shù)縮小所在的范圍：取，因?yàn)?.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）請(qǐng)仿照第一步，通過(guò)運(yùn)算，確定界于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？（2）在1＜＜1.5的基礎(chǔ)上，重復(fù)應(yīng)用第二步中取平均數(shù)的方法，將所在的范圍縮小至m＜＜n，使得n－m=．【答案】（1）界于8和9相鄰的整數(shù)之間；（2）1.375＜＜1.5．【分析】（1）根據(jù)第一步，由82=64，92=81，即可確定界于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間；（2）先根據(jù)第二步中取平均數(shù)的方法，求1和1.5的平均數(shù)，再求得1.25＜＜1.5；同理再求1.25和1.5的平均數(shù)，得到1.375＜＜1.5，從而得出結(jié)論.【解析】解：（1）因?yàn)?2=64，92=81，64＜66＜81，所以8＜＜9；（2）通過(guò)取1和1.5的平均數(shù)確定所在的范圍：取,因?yàn)?.252=1.5625，1.5625＜2，所以1.25＜＜1.5，n-m=1.5-1.25=0.25＞；通過(guò)取1.25和1.5的平均數(shù)確定所在的范圍：取,因?yàn)?.3752=1.890625，1.890625＜2，所以1.375＜＜1.5，n-m=1.5-1.375=0.125=．故1.375＜＜1.5．【點(diǎn)睛】本題為閱讀理解題，主要考查算術(shù)平均數(shù)的定義以及估算無(wú)理數(shù)的大?。诮忸}時(shí)注意對(duì)題目中所給知識(shí)的正確理解，考查了閱讀所給材料的理解和運(yùn)用的能力，運(yùn)用類比的方法，難度適中．16．（2018春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解，回答問(wèn)題.我們都知道是無(wú)理數(shù)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此不可能把的小數(shù)部分全部寫出來(lái)，于是小磊用表示的小數(shù)部分，請(qǐng)你根據(jù)小磊的思路完成下列問(wèn)題：（1）的小數(shù)部分是；（2）已知是正整數(shù)，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且表示的小數(shù)部分.①的取值范圍是；②當(dāng)是5的倍數(shù)時(shí)，求的值.【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)是5的倍數(shù)時(shí)，的值為24或31.【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可；（2）①根據(jù)表示的小數(shù)部分可得m的取值范圍；②根據(jù)①中的結(jié)果，可求出m的值，分別代入中計(jì)算即可.【解析】解：（1）∵＜＜，∴2＜＜3，∴的小數(shù)部分是；（2）①∵表示的小數(shù)部分，∴3＜＜4，∴；②∵且是5的倍數(shù)，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)是5的倍數(shù)時(shí)，的值為24或31.【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，利用被開(kāi)方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解題的關(guān)鍵.17．（2019秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校┫铝械仁剑?，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：__________．（2）初步應(yīng)用：利用（1）的結(jié)論，解決以下問(wèn)題“①把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之差，即；②把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之和，即；（3）定義“”是一種新的運(yùn)算，若，，，求的值．【答案】（1）；；（2）①；②；（3）．【分析】（1）利用材料中的“拆項(xiàng)法”解答即可；（2）①先變形為，再利用（1）中的規(guī)律解題；②先變形為，再逆用分?jǐn)?shù)的加法法則即可分解；（3）按照定義“”法則表示出，再利用（1）中的規(guī)律解題即可．【解析】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：，＝＝＝；故答案是：；.（2）初步應(yīng)用：①=；②；故答案是：；.（3）由定義可知：＝===.故的值為．【點(diǎn)睛】考查了有理數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律型問(wèn)題：數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算．本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．18．（2021春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用﹣1來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（﹣2）請(qǐng)解答：（1）整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣y的相反數(shù)．【答案】（1）7；-7；（2）5；（3）13-．【分析】（1）估算出的范圍，即可得出答案；（2）分別確定出a、b的值，代入原式計(jì)算即可求出值；（3）根據(jù)題意確定出等式左邊的整數(shù)部分得出y的值，進(jìn)而求出y的值，即可求出所求．【解析】解：（1）∵7﹤﹤8，∴的整數(shù)部分是7，小數(shù)部分是-7．故答案為：7；-7．（2）∵3﹤﹤4，∴，∵2﹤﹤3，∴b＝2∴|a-b|+=|-3-2|+=5-+=5（3）∵2﹤﹤3∴11＜9+＜12，∵9+=x+y，其中x是整數(shù)，且0﹤y＜1，∴x＝11，y＝-11+9+＝-2，∴x-y＝11-(-2)＝13-【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分和整數(shù)部分及其運(yùn)算．估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分是解題關(guān)鍵．19．（2020秋·北京海淀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）給定一個(gè)十進(jìn)制下的自然數(shù)，對(duì)于每個(gè)數(shù)位上的數(shù)，求出它除以的余數(shù)，再把每一個(gè)余數(shù)按照原來(lái)的數(shù)位順序排列，得到一個(gè)新的數(shù)，定義這個(gè)新數(shù)為原數(shù)的“模二數(shù)”，記為.如.對(duì)于“模二數(shù)”的加法規(guī)定如下:將兩數(shù)末位對(duì)齊，從右往左依次將相應(yīng)數(shù)位.上的數(shù)分別相加，規(guī)定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進(jìn).如的“模二數(shù)”相加的運(yùn)算過(guò)程如下圖所示.根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題:(1)的值為_(kāi)_____，的值為_(kāi)(2)如果兩個(gè)自然數(shù)的和的“模二數(shù)”與它們的“模二數(shù)”的和相等，則稱這兩個(gè)數(shù)“模二相加不變”.如，因?yàn)?，所以，即與滿足“模二相加不變”.①判斷這三個(gè)數(shù)中哪些與“模二相加不變”，并說(shuō)明理由；②與“模二相加不變”的兩位數(shù)有______個(gè)【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，見(jiàn)解析，②38【分析】(1)根據(jù)“模二數(shù)”的定義計(jì)算即可；(2)①根據(jù)“模二數(shù)”和模二相加不變”的定義，分別計(jì)算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，根據(jù)a、b的奇偶性和“模二數(shù)”和模二相加不變”的定義進(jìn)行討論，從而得出與“模二相加不變”的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)【解析】解:(1)，故答案為：①，，與滿足“模二相加不變”.，，，與不滿足“模二相加不變”.，，，與滿足“模二相加不變”②當(dāng)此兩位數(shù)小于77時(shí)，設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，；當(dāng)a為偶數(shù)，b為偶數(shù)時(shí)，∴∴與滿足“模二相加不變”有12個(gè)（28、48、68不符合）當(dāng)a為偶數(shù)，b為奇數(shù)時(shí)，∴∴與不滿足“模二相加不變”.但27、47、67、29、49、69符合共6個(gè)當(dāng)a為奇數(shù)，b為奇數(shù)時(shí)，∴∴與不滿足“模二相加不變”.但17、37、57、19、39、59也不符合當(dāng)a為奇數(shù)，b為偶數(shù)時(shí)，∴∴與滿足“模二相加不變”有16個(gè)，（18、38、58不符合）當(dāng)此兩位數(shù)大于等于77時(shí)，符合共有4個(gè)綜上所述共有12+6+16+4=38故答案為：38【點(diǎn)睛】本題考查新定義，數(shù)字的變化類，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決這類問(wèn)題的方法．能夠理解定義是解題的關(guān)鍵．20．（2020秋·浙江杭州·七年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校╅喿x下面材料：小丁在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到一個(gè)定義：對(duì)于排好順序的三個(gè)數(shù)：x1，x2，x3，稱為數(shù)列x1，x2，x3，計(jì)算，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的價(jià)值.例如，對(duì)于數(shù)列2，-1，3，因?yàn)?，，，所以?shù)列2，-1，3的價(jià)值為.小丁進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算其相應(yīng)的價(jià)值.如數(shù)列-1，2，3的價(jià)值為；數(shù)列3，-1，2的價(jià)值為1：…經(jīng)過(guò)研究，小丁發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“2，-1，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，價(jià)值的最小值為.根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)列4，3，-2的價(jià)值為_(kāi)_____.(2)將“4，3，-2”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，求這些數(shù)列的價(jià)值的最小值(請(qǐng)寫出過(guò)程并作答).(3)將3，-8，a(a>1)這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列.若這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為1，則a的值為_(kāi)______(直接寫出答案).【答案】（1）；（2）；（3）2或10.【分析】（1）根據(jù)題中給出的材料的方法計(jì)算出相應(yīng)的價(jià)值即可；（2）按照三個(gè)數(shù)不同的順序排列出6種數(shù)列，分別求出數(shù)列的價(jià)值，確定最小價(jià)值；（3）按照三個(gè)數(shù)不同的順序排列出6種數(shù)列，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)值，根據(jù)最小價(jià)值為1，分情況列出方程求出a值，確定符合題意進(jìn)行解答.【解析】解：（1）根據(jù)題意，∵，，∴數(shù)列“4，3，-2”的價(jià)值為；（2）①數(shù)列“4，3，-2”：

∵，，∴數(shù)列“4，3，-2”的價(jià)值為；②數(shù)列“4，-2，3”：∵，，∴數(shù)列“4，-2，3”的價(jià)值為1；③數(shù)列“3，4，-2”：∵，，∴數(shù)列“3，4，-2”的價(jià)值為；④數(shù)列“3，-2，4”：∵，，∴數(shù)列“3，-2，4”的價(jià)值為；⑤數(shù)列“-2，4，3”：∵，，∴數(shù)列“-2，4，3”的價(jià)值為1；⑥數(shù)列“-2，3，4”：∵，，∴數(shù)列“-2，3，4”的價(jià)值為；∴這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為.（3）①數(shù)列“3，-8，a”：

，，②數(shù)列“3，a，-8”：，，③數(shù)列“-8，3，a”：，，④