2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第二章2.4　函數(shù)的對稱性(學(xué)生版+解析)

§2.4函數(shù)的對稱性考試要求1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題．知識梳理1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于____________對稱，偶函數(shù)關(guān)于________對稱．(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為________；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為________________．2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點________對稱．3．兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于________對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于________對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于______對稱．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．()(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱．()(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．()(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．()教材改編題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)圖象的對稱中心為()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,0) D．(1,1)2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系為________．3．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.

題型一軸對稱問題例1(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時，則f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)成軸對稱．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)(2)如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當(dāng)x≥eq\f(1,2)時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和為()A．2B．3C．4D．－1題型二中心對稱問題例2(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，則下列說法不正確的是()A．f(x)＝f(－x)B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(3)＝f(5)D．f(x＋2)＝f(x－2)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq\f(1,x)＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個交點，則這4個交點的縱坐標之和為________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝ex－2－e2－x的圖象關(guān)于()A．點(－2,0)對稱 B．直線x＝－2對稱C．點(2,0)對稱 D．直線x＝2對稱(2)(2023·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1題型三兩個函數(shù)圖象的對稱例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于直線x＝3對稱C．關(guān)于直線y＝3對稱D．關(guān)于點(3,0)對稱聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，則函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與y＝f(1－x)的圖象()A．關(guān)于y軸對稱B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于直線x＝1對稱D．關(guān)于直線y＝1對稱§2.4函數(shù)的對稱性考試要求1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題．知識梳理1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱．(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(－2,0)．2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱．3．兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點對稱．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(√)(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱．(×)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(×)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．(√)教材改編題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)圖象的對稱中心為()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,0) D．(1,1)答案B解析因為f(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，由y＝eq\f(1,x)向上平移一個單位長度得到y(tǒng)＝1＋eq\f(1,x)，又y＝eq\f(1,x)關(guān)于(0,0)對稱，所以f(x)＝1＋eq\f(1,x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱．2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系為________．答案f(－4)>f(1)解析∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)關(guān)于直線x＝－2對稱，又f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1)．3．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.答案5解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.題型一軸對稱問題例1(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時，則f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4答案B解析定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．則f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為________．答案(2,4)解析∵f(x＋2)是偶函數(shù)，∴f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增．又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集為(2,4)．思維升華函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)成軸對稱．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以其對稱軸為x＝0，所以f(x)的對稱軸為x＝1，又二次函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c的開口向下，根據(jù)自變量離對稱軸的距離可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當(dāng)x≥eq\f(1,2)時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和為()A．2B．3C．4D．－1答案C解析根據(jù)f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的圖象關(guān)于x＝eq\f(1,2)對稱，那么求函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值與最小值之和，因為f(x)＝log2(3x－1)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，所以最小值與最大值分別為f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.題型二中心對稱問題例2(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，則下列說法不正確的是()A．f(x)＝f(－x)B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(3)＝f(5)D．f(x＋2)＝f(x－2)答案D解析因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，故A正確；因為f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，所以f(x)的圖象上的點(x，y)關(guān)于(2,0)的對稱點(4－x，－y)也在函數(shù)圖象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替換x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正確；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，則f(3)＝－f(1)，令x＝3，則f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，則f(3)＝f(5)，故C正確；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D錯誤．(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq\f(1,x)＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個交點，則這4個交點的縱坐標之和為________．答案4解析因為f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，y＝g(x)＝eq\f(1,x)＋1的圖象也關(guān)于點(0,1)對稱，則交點關(guān)于(0,1)對稱，所以4個交點的縱坐標之和為2×2＝4.思維升華函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心對稱．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝ex－2－e2－x的圖象關(guān)于()A．點(－2,0)對稱 B．直線x＝－2對稱C．點(2,0)對稱 D．直線x＝2對稱答案C解析∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，因此，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱．(2)(2023·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案D解析因為f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)關(guān)于點(1，－1)對稱，所以將f(x)向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1，該函數(shù)的對稱中心為(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù)．題型三兩個函數(shù)圖象的對稱例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于直線x＝3對稱C．關(guān)于直線y＝3對稱D．關(guān)于點(3,0)對稱答案A解析設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．思維升華函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，則函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與y＝f(1－x)的圖象()A．關(guān)于y軸對稱B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于直線x＝1對稱D．關(guān)于直線y＝1對稱答案C解析A選項，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A錯誤；B選項，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)為y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B錯誤；C選項，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于直線x＝1對稱的函數(shù)為y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正確；D選項，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于直線y＝1對稱的函數(shù)為y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D錯誤．課時精練1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點()A．(－1,2) B．(1,2)C．(－1，－2) D．(－2,1)答案A解析函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱，又y＝f(x)的圖象經(jīng)過點P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(－1,2)．2．已知函數(shù)f(x)＝2|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則a等于()A．1B．2C．0D．－2答案B解析函數(shù)y＝2|x|的圖象關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)y＝2|x|的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)y＝2|x－2|的圖象，所以函數(shù)y＝2|x－2|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故a＝2.3．已知奇函數(shù)f(x)滿足f(5)＝1，且f(x－2)的圖象關(guān)于x＝3對稱，則f(2025)等于()A．－1B．1C．0D．3答案B解析∵函數(shù)f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.4．(2023·鄭州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝2，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1C．f(x)－1 D．f(x)＋1答案C解析∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，將y＝f(x)的圖象向下平移1個單位長度得函數(shù)y＝f(x)－1的圖象，該圖象關(guān)于(0,0)對稱，∴y＝f(x)－1為奇函數(shù)．5．已知函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，則不等式f(lnx)>f(1)的解集為()A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)C．(e，e3) D．(e，＋∞)答案C解析因為函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，在[2，＋∞)上恒有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，當(dāng)x1<x2時，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，不等式f(lnx)>f(1)需滿足|lnx－2|<|1－2|?1<lnx<3，解得e<x<e3.6．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞增，則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中不正確的是()A．f(2)＝f(0)B．f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減C．f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增D．f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱答案D解析根據(jù)題意，若f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則有f(2)＝f(0)，故A正確；f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，故B正確；f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，故C正確；因為f(x＋2)＝f(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則有f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故D不正確．7．與f(x)＝ex關(guān)于直線x＝1對稱的函數(shù)是________．答案y＝e2－x解析f(x)＝ex關(guān)于直線x＝1對稱的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.8．(2022·江蘇七市聯(lián)考)寫出一個同時具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________.①f(x)是定義域為R的奇函數(shù)；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.答案2sin

eq\f(π,2)x(答案不唯一)解析由①②③可知函數(shù)f(x)是對稱軸為x＝1，定義域為R的奇函數(shù)，且f(1)＝2，可寫出滿足條件的函數(shù)f(x)＝2sin

eq\f(π,2)x.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a·2x－2－x,2x＋2－x)是奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋2－x)圖象的對稱中心．解(1)對任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函數(shù)f(x)的定義域為R，又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝eq\f(a－1,2)＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗當(dāng)a＝1時，f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(2x－2－x,2x＋2－x).(2)g(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋2－x)＝eq\f(2·2x,2x＋2－x)，則g(－x)＝eq\f(2·2－x,2－x＋2x)，所以g(x)＋g(－x)＝eq\f(22x＋2－x,2x＋2－x)＝2，因此函數(shù)g(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋2－x)圖象的對稱中心為(0,1)．10．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函數(shù)圖象的對稱中心；(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論．解(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，則g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))所以函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為(1，－2)．(2)推論：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)．11．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，下列四個命題中是假命題的是()A．若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B．函數(shù)f(x－1)與f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱C．若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱D．若f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱答案C解析對于A，若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝0對稱，故y＝f(x＋1)的圖象向右平移1個單位長度得f(x)的圖象，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故A正確；對于B，將f(x)的圖象向右平移1個單位長度，可得f(x－1)的圖象，將f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱得f(－x)的圖象，然后將其圖象向右平移1個單位長度得f(1－x)的圖象，故f(x－1)與f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故B正確；對于C，若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故C不正確；對于D，因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝