蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)滿分沖刺卷特訓(xùn)10期末解答壓軸題(Ⅰ)平面圖形的認(rèn)識(shí)(原卷版+解析)

特訓(xùn)10期末解答壓軸題（Ⅰ）平面圖形的認(rèn)識(shí)一、解答題1．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)?？计谀?1)（問(wèn)題）

如圖1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度數(shù)；(2)（問(wèn)題遷移）如圖2，ABCD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)（問(wèn)題拓展）如圖3所示，在⑵的條件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．2．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念認(rèn)識(shí)】在四邊形ABCD中，，如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點(diǎn)P，滿足，那么稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．若DA//CP，DP//CB，則的度數(shù)為_(kāi)_______°．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)E．求證：．【綜合運(yùn)用】（3）在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當(dāng)DE和CF所在直線相交于點(diǎn)Q時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CQD與滿足的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的取值范圍．3．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，射線和射線交于點(diǎn)．(1)若平分，平分，，則______；(2)若，，，則______；(3)將（2）中“”改為“”，其余條件不變，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)若將分成兩部分，也將分成兩部分，，則的度數(shù)=______________________（用含的代數(shù)式表示）．5．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀咎骄拷Y(jié)論】（1）如圖，，為形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)、得到，則、、的關(guān)系是______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）：【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問(wèn)題：（2）如圖，，直線分別交、于點(diǎn)、，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點(diǎn)和，求證：．（3）如圖，已知，為上一點(diǎn)，，，若，的度數(shù)為整數(shù)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．6．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了，兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即，，為上兩點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)．(1)若，求的大??；(2)作交于點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明：；(3)在（1）問(wèn)的條件下，探照燈、照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，光線轉(zhuǎn)至射線后立即以相同速度順時(shí)針回轉(zhuǎn)，若它們同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)光線回到出發(fā)時(shí)的位置時(shí)同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，為何值時(shí)光線與光線互相平行或垂直，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．7．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)D在上，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，平分，交的平分線于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)G，的平分線與相交于點(diǎn)Q．(1)若，則____________，____________；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；(3)若，則____________，____________；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的的度數(shù)．8．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我區(qū)防汛指揮部在一河道的危險(xiǎn)地帶兩岸各安置一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈光射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如此循環(huán)燈光射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如此循環(huán)．兩燈交叉照射且不間斷巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度/秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度/秒，且，滿足．若這一帶江水兩岸河堤相互平行，即，且．根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題．（1）__________，__________．（2）若燈的光射線先轉(zhuǎn)動(dòng)24秒，燈的光射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈的光射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光射線互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)照射，在燈的光射線到達(dá)之前，若兩燈射出的光射線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，與間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這兩角間的數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出各角的取值范圍．9．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，設(shè)∠BAD＝α，∠ADC＝β．(1)如圖1，若α＋β＝180°，判斷BM、CN的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：(2)如圖2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于點(diǎn)O．①當(dāng)α＝70°，β＝150°時(shí)，則∠BOC＝_______；②∠BOC與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．(3)如圖3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O，則∠BOC＝______．（用含α、β的代數(shù)式表示）．10．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將沿AD翻折后得到，邊AE交射線BC于點(diǎn)F．（1）如（圖1），當(dāng)時(shí)，求證：（2）若，①如（圖2），當(dāng)時(shí)，求x的值．②是否存在這樣的x的值，使得中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在蘇科版七年級(jí)（下）冊(cè)數(shù)學(xué)教材第12章證明中，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)定理證明“三角形的內(nèi)角和是180°”．(1)請(qǐng)你根據(jù)你的課堂學(xué)習(xí)回憶并證明“三角形的內(nèi)角和是180°”；如圖1，在△ABC中，求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°；(2)如圖2，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，．求證：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；(3)如圖3，點(diǎn)AD是的角平分線，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足為F．求證：EF平分∠AED．12．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．(1)若∠C＝40°．①∠P的度數(shù)為；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線DE∥BC，交邊AB、AC于點(diǎn)D、E，則∠APE-∠BPD=°；(2)若∠C＝α°，小明將（1）中的直線DE繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB，AC于點(diǎn)C，D，如圖3，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠APE-∠BPD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠APE-∠BPD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線．(1)如圖，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，則∠B，∠D和∠E之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，試探究∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．14．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，CD平分交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作交直線CD于點(diǎn)F，的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G．(1)如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若，，則______°；②若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．15．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段與射線垂直，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），的平分線與的平分線交于點(diǎn)，與的外角的平分線交于點(diǎn)．(1)求的大小；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀是否變化？若變化，請(qǐng)寫(xiě)出它的變化規(guī)律；若不變，請(qǐng)寫(xiě)出它的形狀，并說(shuō)明理由．16．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則,,,四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，若,的角平分線,交于點(diǎn)，則與,的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____.（3）如圖3，，分別平分,，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）：（4）如圖4，如果,，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù).圖1

圖2

圖3

圖417．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，現(xiàn)有2個(gè)三角板和，，，．圖1

圖2(1)將這兩塊三角板擺成如圖1的形式，點(diǎn)D與B重合、點(diǎn)F與C重合，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，將圖1中的固定，把從圖1中的位置繞著點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其中．①當(dāng)有一條邊與AC垂直時(shí)，求的度數(shù)；②邊EF和DE與直線GH分別交于Q，K，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)，，則m的取值范圍為．18．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖1，，BD平分，，過(guò)點(diǎn)A作直線，延長(zhǎng)CD交MN于點(diǎn)E(1)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)設(shè)，用含x的代數(shù)式表示的度數(shù)．19．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)（不與B，C兩點(diǎn)重合），連接EF，DF，且EF⊥DF．(1)如圖1，若∠DFC=∠A，求證：AD⊥FD(2)如圖2，∠BEF和∠CDF的平分線相較于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠O的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出∠O的度數(shù)；若變化，寫(xiě)出其變化范圍．20．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)A在射線CE上，把沿AB翻折得，．(1)若，則的度數(shù)為_(kāi)_____°；(2)設(shè)，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在直線CE左側(cè)時(shí)，求y與x的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線CE右側(cè)時(shí)出y與x的數(shù)量關(guān)系是_______；(3)過(guò)點(diǎn)D作//交CE于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．21．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則BD，BE叫做的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．(1)【問(wèn)題解決】如圖②，在中，，，若的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則____________°；(2)如圖③，在中，BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線，且，求的度數(shù)；(3)【延伸推廣】如圖，直線AC、BD交于點(diǎn)O，的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若，，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．22．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AC平分，，試說(shuō)明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點(diǎn)Р滿足，G是CD上任一點(diǎn)，PO平分，，GM平分，下列結(jié)論：①的值不變；②的度數(shù)不變．可以證明，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你作出正確的選擇并求值．23．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線與直線相交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向上運(yùn)動(dòng)．(1)若運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)比點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，則_________，_________．(2)如圖2，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，設(shè)和的角平分線相交于點(diǎn)．在點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值（寫(xiě)出主要過(guò)程）；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，將（2）中的直線不動(dòng)，直線繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不變．（i）用含有的式子表示的度數(shù)_________．（ii）如果再分別作的兩個(gè)外角，的角平分線相交于點(diǎn)，并延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號(hào)）．①與互補(bǔ)；②為定值；③為定值；④與互余．24．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；（3）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射出的光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行?25．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考期末）如圖，，點(diǎn)A、B分別在直線MN、GH上，點(diǎn)O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點(diǎn)C、D是、角平分線上的兩點(diǎn)，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)F是平面上的一點(diǎn)，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點(diǎn)，若，，且，求n的值．26．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，且．（1）判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．27．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）【初步認(rèn)識(shí)】(1)如圖①，在△ABC中，BO、CO分別平分、．求證：．【繼續(xù)探索】(2)如圖②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的點(diǎn)，設(shè)，．BO、DO分別平分、．①若，，求的度數(shù)；②用含m、n的式子直接表示的度數(shù)為_(kāi)_____°．(3)如圖③，BO、CO分別平分、．射線CO與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)H（不與點(diǎn)D重合）．直接寫(xiě)出點(diǎn)H在不同位置時(shí)，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m、n的式子表示）．28．（2021春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┮阎?，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．（1）如圖1，寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：；（3）如圖3，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且：，，，求的度數(shù)．29．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】已知，在的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接、．設(shè)，，探索與、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在的邊上時(shí)，，此時(shí)，則與、、之間的數(shù)量關(guān)系是．【問(wèn)題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出與、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，與、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；【拓展延伸】（1）如圖4，、的外角平分線相交于點(diǎn)P．①若，，則________°；②若且，則________°；③直接寫(xiě)出與、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖5，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)Q，則________（用、表示）．特訓(xùn)10期末解答壓軸題（Ⅰ）平面圖形的認(rèn)識(shí)一、解答題1．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)校考期末）(1)（問(wèn)題）

如圖1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度數(shù)；(2)（問(wèn)題遷移）如圖2，ABCD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)（問(wèn)題拓展）如圖3所示，在⑵的條件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．【答案】(1)∠EPF=90°(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由見(jiàn)解析(3)α【分析】(1)過(guò)P點(diǎn)作PH//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可得到答案；(2)過(guò)點(diǎn)P作PH//AB，則PH//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PEA=∠HPE，進(jìn)而得到∠FPH=∠PFC，然后得出∠PEA，∠PFC，∠EPF三個(gè)角之間的關(guān)系；(3)令A(yù)B與PF交于點(diǎn)O，連接EF，在△EFG中，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，由(2)可知，∠PFC=∠PEA+∠P，得到∠PEA=∠PFC-a，即可得出答案．【解析】（1）解：過(guò)P點(diǎn)作PH//CD可得：∠1+∠PFD=180°∵∠PFD=130°

∴∠1=50°又∵AB//CD∴PH//AB可得：∠2=∠AEP=40°故：∠EPF=∠1+∠2=90°（2）∠PFC=∠PEA+∠EPF理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PH//AB

可得：∠1=∠PEA

∵AB//CD

∴PH//CD

可知：∠PFC=∠HPF

由于∠HPF=∠1+∠EPF

∴∠PFC=∠1+∠EPF

即：∠PFC=∠PEA+∠EPF（3）令A(yù)B與PF的交點(diǎn)為O，連接EF，如圖3

在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）∵∠GEF=∠PEA+∠OEF

∠GFE=∠PFC+∠OFE∴∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE由⑵可知∠PFC=∠PEA+∠EPF∴∠PEA=∠PFC-α又∵AB//CD

可得：∠EOF=∠PFC∴在△OEF中有：∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC則∠GEF+∠GFE=（∠PFC-α）+∠PFC+180°-∠PFC=180°-α∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）=180°-（180°-α）=α【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，以及角的和差倍分，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；2．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念認(rèn)識(shí)】在四邊形ABCD中，，如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點(diǎn)P，滿足，那么稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．若DA//CP，DP//CB，則的度數(shù)為_(kāi)_______°．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)E．求證：．【綜合運(yùn)用】（3）在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當(dāng)DE和CF所在直線相交于點(diǎn)Q時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CQD與滿足的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的取值范圍．【答案】（1）60；（2）證明見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)題意可知∠A=∠B=∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，可以得到∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∠DPB是△ADP的外角，則∠DPC+∠CPB=2∠A，則∠DPC的度數(shù)可求；（2）四邊形ADPE中，∠ADP+∠AEP=180°，而∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP=∠CEB；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別作出圖形，根據(jù)題意作出圖形都可以求出∠COD與α的關(guān)系．【解析】解：根據(jù)題意可知∠A=∠B=∠DPC，∵DA∥CP，∴∠DPC=∠ADP，∵DP∥CB，∴∠DPC=∠PCB，∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∵∠DPB是△ADP的外角，∴∠DPC+∠CPB=2∠A，∴∠A=∠CPB，∴∠B=∠CPB=∠PCB=60°，故答案為：60．（2）方法一：∵點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”∴，又，∴，在四邊形ABCD中，∴，又∴．方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)P作分別交AD、BC于點(diǎn)F、G∵，∴，∵點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”∴．∴．在△DFP中，即∵，即∴∴．方法三：如圖③，延長(zhǎng)DP交邊AB于F，∵點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”∴，∵，∴，在△ADF中，，在△PEF中，，∴∴（3）當(dāng)時(shí)，；如圖，∠A=∠B=∠DPC=α，由（2）可知∠ADP=∠CGB，設(shè)∠ADP=∠CGB=x，∠DPC=y，當(dāng)時(shí)，；如圖，∠A=∠B=∠DPC=α，由（2）可知，∠ADP=∠CEB，設(shè)∠ADP=∠CEB=x，∠DPE=y，∴∠ECQ=（180°-x-α），則α+y=180°，x+y+（180°-x-α）+∠Q=180°，∴∠Q=α-90°，∵α?90°＞0°，∴60°＜α＜180°，∴∠Q=α-90°（60°＜α＜180°）．當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角與外角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)．3．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)校考期末）如圖1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70°（2）

（3）①見(jiàn)解析

②不成立；或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系；②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案為：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立．分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如圖5，當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖．4．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，射線和射線交于點(diǎn)．(1)若平分，平分，，則______；(2)若，，，則______；(3)將（2）中“”改為“”，其余條件不變，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)若將分成兩部分，也將分成兩部分，，則的度數(shù)=______________________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（4）分四種情況：①當(dāng)，時(shí)；②當(dāng)，時(shí)；③當(dāng)，時(shí)；④當(dāng)，時(shí)，進(jìn)行討論，即可得到的度數(shù)．【解析】（1）解：∵，即，，∴，∵平分，平分，，∴，，∴．故答案為：．（2）解：∵，，∴，∵，，，∴，，∴；故答案為：．（3）解：∵，，∴，∵，，，∴，，∴．（4）解：①當(dāng)時(shí)，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，，∵將分成兩部分，即，∴射線和射線無(wú)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；④當(dāng)時(shí)，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；綜上可得：的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在（4）中找出所有情況．三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．5．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)校考期末）【探究結(jié)論】（1）如圖，，為形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)、得到，則、、的關(guān)系是______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）：【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問(wèn)題：（2）如圖，，直線分別交、于點(diǎn)、，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點(diǎn)和，求證：．（3）如圖，已知，為上一點(diǎn)，，，若，的度數(shù)為整數(shù)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）42°或41°【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求解；由可知：，由角平分線的定義結(jié)合可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可證明結(jié)論；由知：，設(shè)，則，可求得，結(jié)合度數(shù)的取值范圍可求解的取值范圍，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【解析】解：過(guò)點(diǎn)作，，，，，．，等量代換，故答案為：；證明：由可知：，平分，，，，，；由知：，設(shè)，則，，，，又，，解得，又是的外角，，的度數(shù)為整數(shù)，或，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)求解角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了，兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即，，為上兩點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)．(1)若，求的大?。?2)作交于點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明：；(3)在（1）問(wèn)的條件下，探照燈、照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，光線轉(zhuǎn)至射線后立即以相同速度順時(shí)針回轉(zhuǎn)，若它們同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)光線回到出發(fā)時(shí)的位置時(shí)同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，為何值時(shí)光線與光線互相平行或垂直，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)110°(2)見(jiàn)解析(3)t的值為5s或s或s或20s或s【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可解；（2）通過(guò)計(jì)算，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行進(jìn)行判定即可；（3）分五種情況畫(huà)圖，列出關(guān)于的式子即可解答．【解析】（1）解：∵，，，，，平分，，；（2）解:∵，，，，平分，，，，，，，，，，，∴；（3）解:，當(dāng)時(shí)，則，如圖，∵，，，由題意，，，，；當(dāng)時(shí)，則，如圖，∵，，，，，；當(dāng)時(shí)，則，如圖，∵，，，，；當(dāng)時(shí)，則，如圖，由題意，，，，∵，，，；當(dāng)時(shí)，，如圖，，，，．綜上，的值為或或或或【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定定理有：同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，反之亦然．7．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)D在上，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，平分，交的平分線于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)G，的平分線與相交于點(diǎn)Q．(1)若，則____________，____________；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；(3)若，則____________，____________；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的的度數(shù)．【答案】(1)115，25(2)不發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析(3)，(4)45°，60°，120°，135°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）將（2）中換成，同理即可求解；（4）設(shè)，由（3）可知，．再由不變，即可分類討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)和④當(dāng)時(shí)，分別列出關(guān)于x的等式，解出x即可．【解析】（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，．∵平分，∴．∴；∵，∴．∵CP平分，CQ平分，∴，．∵，∴，即，∴．故答案為：115，25；（2）當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)不發(fā)生變化理由如下：∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴由（1）可知不變，∴．∴當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)不發(fā)生變化；（3）∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴．由（1）可知不變，∴．故答案為：，；（4）設(shè)，由（3）可知，．∵，∴可分類討論：①當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；②當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；③當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；④當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴．綜上可知或或或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我區(qū)防汛指揮部在一河道的危險(xiǎn)地帶兩岸各安置一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈光射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如此循環(huán)燈光射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如此循環(huán)．兩燈交叉照射且不間斷巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度/秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度/秒，且，滿足．若這一帶江水兩岸河堤相互平行，即，且．根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題．（1）__________，__________．（2）若燈的光射線先轉(zhuǎn)動(dòng)24秒，燈的光射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈的光射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光射線互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)照射，在燈的光射線到達(dá)之前，若兩燈射出的光射線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，與間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這兩角間的數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出各角的取值范圍．【答案】（1）4；1；（2）或67.2或128；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)平方的非負(fù)性即可求出a，b；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)x秒，兩燈的光束互相平行，分三種情況進(jìn)行討論，分別求得t的值即可；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為x秒，根據(jù)，=，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）∵∴解得故答案為：4；1.（2）設(shè)燈光射線轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，兩燈的光射線互相平行．①當(dāng)燈光射線轉(zhuǎn)第1輪時(shí)，有，則．

②當(dāng)燈光射線轉(zhuǎn)第2輪時(shí)，有，則．

③當(dāng)燈光射線轉(zhuǎn)第3輪時(shí)，有，則．

綜上：或67.2或128秒時(shí)，兩燈的光射線互相平行．（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，∵∠CAN=∴，∵，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均為0．9．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，設(shè)∠BAD＝α，∠ADC＝β．(1)如圖1，若α＋β＝180°，判斷BM、CN的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：(2)如圖2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于點(diǎn)O．①當(dāng)α＝70°，β＝150°時(shí)，則∠BOC＝_______；②∠BOC與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．(3)如圖3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O，則∠BOC＝______．（用含α、β的代數(shù)式表示）．【答案】(1)BMCN，理由見(jiàn)解析(2)①20°；②，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由α+β=180°先判斷ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠ABC，再由角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）①根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；②根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；（3）根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．（1）解：CNBM，理由如下：∵α+β=180°，∴ABCD，∴∠DCE=∠ABC，∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠CBM，∴CNBM；（2）解：①∵α=70°，β=150°，∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+140°-2y=180°，∴x-y=20°，∴∠BOC=20°．故答案為：20°；②∠BOC=，理由如下：∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=；（3）解：∠BOC=，理由如下：∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，∴y=∠BOC+x，∴∠BOC=y-x，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=．故答案為：∠BOC=．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形的內(nèi)角和正確表示出各個(gè)角．10．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將沿AD翻折后得到，邊AE交射線BC于點(diǎn)F．（1）如（圖1），當(dāng)時(shí)，求證：（2）若，①如（圖2），當(dāng)時(shí)，求x的值．②是否存在這樣的x的值，使得中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②存在，或45【分析】（1）由，根據(jù)同角的余角相等，可得，由折疊的性質(zhì)可知，等量代換，從而得證；（2）①根據(jù)翻折，和已知條件，求得，從而求得的值②由①的結(jié)論可求得，，分情形討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，解方程即可求得，根據(jù)題干中的取值范圍取舍．【解析】（1）證明：，，，，，由翻折可知，，，；（2）①，，，，，，，，，由翻折可知，；②，則由翻折可知：，，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，，不合題意，故舍去，當(dāng)，，解得，，綜上可知，存在這樣的x的值，使得中有兩個(gè)角相等，且或45．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定，直角三角形中兩銳角互余，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在蘇科版七年級(jí)（下）冊(cè)數(shù)學(xué)教材第12章證明中，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)定理證明“三角形的內(nèi)角和是180°”．(1)請(qǐng)你根據(jù)你的課堂學(xué)習(xí)回憶并證明“三角形的內(nèi)角和是180°”；如圖1，在△ABC中，求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°；(2)如圖2，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，．求證：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；(3)如圖3，點(diǎn)AD是的角平分線，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足為F．求證：EF平分∠AED．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】對(duì)于（1），過(guò)點(diǎn)A作，得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再結(jié)合平角定義得出答案；對(duì)于（2），根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BCA＝∠CDE，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案；對(duì)于（3），先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義得∠BAD＋∠B＝∠ADC，再根據(jù)角平分線定義得∠BAD＝∠CAD，即可得∠EAD＝∠ADC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案即可．（1）證明：過(guò)A點(diǎn)作，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．∵∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝180°，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°．（2）證明：∵，∴∠BCA＝∠CDE．∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，∠F＋∠E＋∠EDC＝180°∴∠A＋∠B＝∠E＋∠F．（3）證明：∵∠BAD＋∠B＋∠BDA＝180°，∠BDA＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠B＝∠ADC，∵AD是的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＋∠B＝∠ADC．∵∠EAC＝∠B，∴∠CAD＋∠EAC＝∠ADC，即∠EAD＝∠ADC，∵EF⊥AD，∴∠EFA＝∠EFD＝90°．∵∠EFA＋∠EAD＋∠AEF＝180°，∠EFD＋∠ADC＋∠DEF＝180°，∴∠AEF＝∠DEF，∴EF平分∠AED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的判定和應(yīng)用，角平分線的定義和判定等，理解定理并會(huì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．(1)若∠C＝40°．①∠P的度數(shù)為；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線DE∥BC，交邊AB、AC于點(diǎn)D、E，則∠APE-∠BPD=°；(2)若∠C＝α°，小明將（1）中的直線DE繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB，AC于點(diǎn)C，D，如圖3，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠APE-∠BPD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠APE-∠BPD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①∠P=110°；②70(2)∠APE﹣∠BPD的度數(shù)不變；90°﹣α【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）∠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．（1）解：①∵∠C=40°，∴∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠P=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-×140°=110°，故答案為：110°；②∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠ADP=∠DBP+∠DPB=2∠DPB，∴∠APE-∠BPD=∠BAP+∠ADP-∠DPB=∠BAP+∠ABP=（∠CAB+∠ABC）=×140°=70°，故答案為：70；（2）解：∠APE-∠BPD的度數(shù)不變，∵∠APE-∠BPD=∠ADP+∠DAP-∠BPD=∠ABP+∠BPD+∠DAP-∠BPD=∠ABC+∠BAC=（180°-α）=90°-α．∴∠APE-∠BPD的度數(shù)不變．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．13．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線．(1)如圖，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，則∠B，∠D和∠E之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，試探究∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2),理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）作直線l平行于AB，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠B=∠1，∠D=∠2，則∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，所以；（3）過(guò)點(diǎn)E作，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，代入前式得．【解析】（1）過(guò)點(diǎn)E作直線l平行于AB，如圖，∵∴∴∠B=∠1，∠D=∠2∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D即（2）如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴，，∴由（1），可得，∴．（3）．解析：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作∵，，∴，∴，，∴，由（1）知，，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行線和角平分線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，CD平分交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作交直線CD于點(diǎn)F，的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G．(1)如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若，，則______°；②若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【答案】(1)①45；②(2)或【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，得出，代入進(jìn)行計(jì)算即可；②由①的方法得出，進(jìn)而滿出，代入計(jì)算即可；（2）分類討論進(jìn)行解答，畫(huà)出相應(yīng)位置的圖形，根據(jù)（1）中的結(jié)論和平角的定義，可得當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，有成立；當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上或DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，有或成立．【解析】（1）解：①∵EF∥BC，∴∠B=∠FEB，∠EFD=∠BCD，∵CF是∠ACB的平分線，EG是∠FED的平分線，∴，，又∵∠EGC=∠FEG+∠EFG，∴，，故答案為：45；②由①得．（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，如圖（1），由（1）得，；當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上時(shí)，如圖（2），∵平分當(dāng)點(diǎn)在射線DB上時(shí)，如圖（3），由（1）得，，；綜上所述，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：或答：若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線，平行線以及三角形內(nèi)角和定理，理解角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．15．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段與射線垂直，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），的平分線與的平分線交于點(diǎn)，與的外角的平分線交于點(diǎn)．(1)求的大?。?2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀是否變化？若變化，請(qǐng)寫(xiě)出它的變化規(guī)律；若不變，請(qǐng)寫(xiě)出它的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)△EPF是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義，可得，據(jù)此即可求得；(2)根據(jù)角平分線的定義及平角的定義，即可解答．（1）解：∵∴∴∵AE平分∠OAP，PE平分∠APO∴，∴∴∴∠AEP的度數(shù)為；（2）解：△EPF是等腰直角三角形，形狀不會(huì)發(fā)生變化；理由如下：∵PE平分∠APO，PF平分∠OPD∴，∵∴∴△EPF是直角三角形．又，，，∴△EPF是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定，結(jié)合圖形，熟練掌握和運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則,,,四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，若,的角平分線,交于點(diǎn)，則與,的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____.（3）如圖3，，分別平分,，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）：（4）如圖4，如果,，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù).圖1

圖2

圖3

圖4【答案】（1）；（2）；（3）230°；（4）【分析】（1）由題意易得，，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）設(shè)，，則有，，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由（2）知：，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（4）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)，，同理得：，，然后可得，進(jìn)而可得，最后問(wèn)題可求解．【解析】解：（1）如圖1，在中，，在中，，∵，∴；故答案為：；（2）如圖2，設(shè)，，∵，分別平分，，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（3）如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由（2）知：，∵，∴，∴，∴；（4）如圖4，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)，，同理得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，熟練掌握鄰補(bǔ)角、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，現(xiàn)有2個(gè)三角板和，，，．圖1

圖2(1)將這兩塊三角板擺成如圖1的形式，點(diǎn)D與B重合、點(diǎn)F與C重合，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，將圖1中的固定，把從圖1中的位置繞著點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其中．①當(dāng)有一條邊與AC垂直時(shí)，求的度數(shù)；②邊EF和DE與直線GH分別交于Q，K，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)，，則m的取值范圍為．【答案】(1)15°(2)①60°或90°②【分析】（1）根據(jù)兩角差即可計(jì)算；（2）①當(dāng)有一條邊與AC垂直時(shí)，可能出現(xiàn)兩種情況，邊DE、EF分別與AC垂直時(shí)進(jìn)行分析；②在中，根據(jù)外角，得，根據(jù)題意，，從而求出范圍．(1)解：(2)解：①當(dāng)DE與AC垂直時(shí)，;當(dāng)EF與AC垂直時(shí)，；②在中，根據(jù)外角，則，化簡(jiǎn)得，根據(jù)題意，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)角、三角形外角，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖1，，BD平分，，過(guò)點(diǎn)A作直線，延長(zhǎng)CD交MN于點(diǎn)E(1)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)設(shè)，用含x的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意證明，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解．繼而可得，即可求得；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．（3）根據(jù)（1）（2）的方法分類討論即可求解．（1）解：BD平分，，，，，，，，，，，故答案為：，（2）解：由（1）可知，，，，，，，（3）解：設(shè)，，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)（不與B，C兩點(diǎn)重合），連接EF，DF，且EF⊥DF．(1)如圖1，若∠DFC=∠A，求證：AD⊥FD(2)如圖2，∠BEF和∠CDF的平分線相較于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠O的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出∠O的度數(shù)；若變化，寫(xiě)出其變化范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不變，45°【分析】（1）要證明AD⊥FD，只要證明AD∥EF即可求證；（2）延長(zhǎng)EF于OD交于H，在△OEH，△DFH中，分別利用外角的性質(zhì)得到∠EHD=∠OEH+∠O，∠EFD=∠EHD+∠FDO，進(jìn)而得到∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O，再利用角平分線的定義得到∠FDO+∠OEH=45，即可求得∠O=45°．【解析】（1）∵EF⊥DF∴∠EFB+∠DFC=90°∵∠B=90°∴∠BEF+∠EFB=90°∴∠DFC=∠BEF∵∠DFC=∠A∴∠BEF=∠A∴AD∥EF∵∠EFD=90°∴∠ADF=90°∴AD⊥DF（2）不變，∠O=45°延長(zhǎng)EF于OD交于H，在△OEH中，∠EHD=∠OEH+∠O在△DFH中，∠EFD=∠EHD+∠FDO∴∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O∵∠EFD=90°∴∠FDO+∠OEH+∠O=90°∵∠B=∠C=90°，且∠EFD=90°∴∠BEF+∠FDC=90°∵OE，OD分別為∠BEF和∠FDC的角平分線∴∠FDO+∠OEH=45°∴∠O=45°【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的證明及角平分線的定義的計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)A在射線CE上，把沿AB翻折得，．(1)若，則的度數(shù)為_(kāi)_____°；(2)設(shè)，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在直線CE左側(cè)時(shí)，求y與x的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線CE右側(cè)時(shí)出y與x的數(shù)量關(guān)系是_______；(3)過(guò)點(diǎn)D作//交CE于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)125°(2)①y=2x-110，；②（）(3)79°或115°【分析】（1）根據(jù)翻折后所得圖形與原圖形角度相等，所以∠D=∠C=90°，則可求出∠BAC=55°，則；（2）①先求出∠BAC的度數(shù)，利用∠DAE=180°-2∠BAC列出表達(dá)式即可得y與x的數(shù)量關(guān)系，因?yàn)辄c(diǎn)D在CE左側(cè)，所以∠BAC<90°，利用∠BAC=180°-∠CBA-x可求出x的取值范圍；②點(diǎn)D在CE右側(cè)，則90°<∠BAC<180°，將∠BAC的表達(dá)式代入即可求出x的范圍；（3）根據(jù)（2）中兩種情況分別進(jìn)行討論，利用兩直線平行同位角相等和內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合條件列出等式，先求出∠DAE和∠C，從而可以求出∠BAD．【解析】（1）∵沿AB翻折得∴∠DBA=∠CBA∵∴∠CBA=∵∴∠BAC=90°-35°=55°∴（2）①根據(jù)（1）中所求，∠CBA=35°，∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x°∵∠BAD=∠BAC∴∠DAE=180°-2∠BAC∴y=180-2(145-x)=2x-110∵點(diǎn)D在CE左側(cè)∴∴即：解得：所以，y=2x-110，②當(dāng)點(diǎn)D在CE右側(cè)時(shí)，∵∠BAC=145°-x°∴∵點(diǎn)D在CE右側(cè)∴∴90°<145°-x°<180°解得：∵∠C是三角形的一個(gè)內(nèi)角∴∴所以，（）（3）①當(dāng)點(diǎn)D在CE左側(cè)時(shí)∵∴∵∠DAE=2∠C-110°，∴∴∴②當(dāng)點(diǎn)D在CE右側(cè)時(shí)∵∴∠C=∠DFC∵∠DAE=110°-2∠C，∠EFD=180°-∠DFC∴180°-∠C=3(110°-2∠C)∴∠C=30°∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115°所以，的度數(shù)為79°或115°【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，利用各角之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行代換是解題的關(guān)鍵．21．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則BD，BE叫做的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．(1)【問(wèn)題解決】如圖②，在中，，，若的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則____________°；(2)如圖③，在中，BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線，且，求的度數(shù)；(3)【延伸推廣】如圖，直線AC、BD交于點(diǎn)O，的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若，，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)85或100(2)45°(3)59°或52°或或【分析】（1）根據(jù)題意可得的三分線有兩種情況，畫(huà)圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進(jìn)而可求的度數(shù)；（3）畫(huà)出符合條件的所有情況，①當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，②當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，③當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，④當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可．(1)解：如圖，當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；故答案為：85或100；(2)∵，∴，∴，∵BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線，∴，，∴，∴，∴；(3)如圖1，當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，，②如圖2，當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，由得，同理可得：，；③如圖3，當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，，由得，同理可得：，；④如圖4，當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，，由得，同理可得：，；綜上，∠DPC的度數(shù)為59°或52°或或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意要分情況討論．22．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AC平分，，試說(shuō)明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點(diǎn)Р滿足，G是CD上任一點(diǎn)，PO平分，，GM平分，下列結(jié)論：①的值不變；②的度數(shù)不變．可以證明，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你作出正確的選擇并求值．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）②正確，19°【分析】（1）由AC平分DAB，12，可得∠2=∠BAC,進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，可得∠MGP=（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=∠BPG，進(jìn)而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）．理由如下：∵平分，∴．∵，∴，∴；（2）②正確如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，，∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴②的度數(shù)不變．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理與平行線的性質(zhì)和判定定理，理清角的和差倍分關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線與直線相交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿直線向上運(yùn)動(dòng)．(1)若運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)比點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，則_________，_________．(2)如圖2，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，設(shè)和的角平分線相交于點(diǎn)．在點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值（寫(xiě)出主要過(guò)程）；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，將（2）中的直線不動(dòng)，直線繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不變．（i）用含有的式子表示的度數(shù)_________．（ii）如果再分別作的兩個(gè)外角，的角平分線相交于點(diǎn)，并延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號(hào)）．①與互補(bǔ)；②為定值；③為定值；④與互余．【答案】(1)1，2(2)不變，135°(3)（i）；（ii）①③④【分析】（1）構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理求出∠APB即可；（3）（?。└鶕?jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（ⅱ）結(jié)論：①③④正確．根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一證明即可；【解析】（1）由題意：，解得，故答案為1，2．（2）解：不變化．．理由：如圖2，∵直線直線，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，在中，，∴度數(shù)不變化，總是等于．（3）（i）由題意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°?α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°?α，∴∠APB＝180°?（45°?α）＝135°＋α故答案為：．（ii）①∠APB與∠Q互補(bǔ)；正確．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°?(∠QAB＋∠QBA)＝180°?[(180°?∠OAB)＋(180°?∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°?(90°＋α)]＝45°?α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°?α＝180°②∠M?∠Q為定值．錯(cuò)誤．理由：∵∠Q＝45°?α，∴∠M＝90°?∠Q＝45°＋α，∴∠M?∠Q＝α，不是定值．③∠APB?∠M為定值；正確．理由：同法可證：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB?∠M＝90°為定值．④∠Q與∠M互余；正確．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案為①③④【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、二元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．24．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；（3）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射出的光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行?【答案】（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進(jìn)而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)燈B的要求，t<150，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)A可以轉(zhuǎn)3次，分情況討論．【解析】解：（1）．又，．，；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，如圖，作，而，，，，，，（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行．依題意得①當(dāng)時(shí)，兩河岸平行，所以兩光線平行，所以所以，即：，解得；②當(dāng)時(shí)，兩光束平行，所以兩河岸平行，所以所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，圖大概如①所示，解得（不合題意）綜上所述，當(dāng)秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】這道題考查的是平行線的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角列出方程是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)A、B分別在直線MN、GH上，點(diǎn)O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點(diǎn)C、D是、角平分線上的兩點(diǎn)，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)F是平面上的一點(diǎn)，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點(diǎn)，若，，且，求n的值．【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過(guò)O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如圖：分別延長(zhǎng)AC、CD交GH于點(diǎn)E、F，先根據(jù)角平分線求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到；進(jìn)一步求得，，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；（3）設(shè)BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，從而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．【解析】解：（1）如圖：過(guò)O作OP//MN，∵M(jìn)N//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°∵∠NAO=116°，∠OBH=144°∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；（2）分別延長(zhǎng)AC、CD交GH于點(diǎn)E、F，∵AC平分且，∴，又∵M(jìn)N//GH，∴；∵，∵BD平分，∴，又∵∴；∴；（3）設(shè)FB交MN于K，∵，則；∴∵，∴，，在△FAK中，,∴，∴．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造平行線、再利用平行線性質(zhì)進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．26．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末