《微積分（第4版）》 課件 2.1 數(shù)列的極限

1線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國人民大學(xué)出版社第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運(yùn)算法則第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是計(jì)算不出來的,而必須通過分析一個(gè)無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項(xiàng),為第二項(xiàng)，將第n項(xiàng)稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng).數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點(diǎn)列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點(diǎn)表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點(diǎn)列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點(diǎn)列.

定義對(duì)于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對(duì)于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對(duì)有界數(shù)列表示的點(diǎn)列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點(diǎn)列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點(diǎn).圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計(jì)算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時(shí)，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時(shí),

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時(shí)的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例

設(shè)

觀察數(shù)列的極限

由數(shù)據(jù)和圖形觀察數(shù)列的變化趨勢123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，當(dāng)時(shí)，數(shù)列變化的大致趨勢是單調(diào)遞增，且，可以證明

數(shù)e是一個(gè)無理數(shù)18線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國人民大學(xué)出版社第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運(yùn)算法則第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是計(jì)算不出來的,而必須通過分析一個(gè)無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項(xiàng),為第二項(xiàng)，將第n項(xiàng)稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng).數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點(diǎn)列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點(diǎn)表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點(diǎn)列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點(diǎn)列.

定義對(duì)于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對(duì)于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對(duì)有界數(shù)列表示的點(diǎn)列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點(diǎn)列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點(diǎn).圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計(jì)算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時(shí)，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時(shí),

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時(shí)的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限數(shù)列極限定義的精確化數(shù)列極限定義用邏輯語言表述為：注：正數(shù)具有任意性和給定性，它是用于衡量與A接近程度的.極限定義的幾何意義當(dāng)時(shí)，所有點(diǎn)全部落在區(qū)間內(nèi)，只有有限多個(gè)（最多N個(gè)）點(diǎn)落在區(qū)間之外.當(dāng)n無限增大時(shí)，區(qū)間向點(diǎn)A無限收縮，介于區(qū)間

內(nèi)的點(diǎn)就向A無限趨近.例

證明分析

因?yàn)閷?duì)于任意給定，要使，只要即即可.證明對(duì)于任意給定，取所以例

證明證明由于所以因此，要使只要即，于是對(duì)于任意給定，取四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則的幾何解釋:在數(shù)軸上,對(duì)應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)列只能從開始向一個(gè)方向排列,所以只有兩種可能情況：或者點(diǎn)列沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)處(此時(shí)發(fā)散)；或者點(diǎn)列無限趨近