云南紅河州一中2022年高三數學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．2．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．3．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為4．已知函數，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（）A． B． C． D．5．正方形的邊長為，是正方形內部（不包括正方形的邊）一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．137．復數的虛部為（）A． B． C．2 D．8．已知定義在上函數的圖象關于原點對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．6749．的展開式中的項的系數為（）A．120 B．80 C．60 D．4010．在滿足，的實數對中，使得成立的正整數的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．911．已知函數．若存在實數，且，使得，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知為坐標原點，角的終邊經過點且，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數量情況，隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數，得到如下莖葉圖：由此可估計，全年（按360天計算）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多______天.14．若，，則___________．15．隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學生的體質與健康現狀，合理制定學校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查，數據顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數大約為__________.16．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B為焦點，且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是等比數列，，已知,(1)求數列的首項和公比；（2）求數列的通項公式．18．（12分）已知函數（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.19．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設為．（上述圖形均視作在同一平面內）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．20．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.21．（12分）設數陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數均保持不變”（、、、）．表示“將經過變換得到，再將經過變換得到、，以此類推，最后將經過變換得到”，記數陣中四個數的和為．（1）若，寫出經過變換后得到的數陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數陣，證明：的所有可能取值的和不超過．22．（10分）已知函數，函數.（Ⅰ）判斷函數的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.2、A【解析】

由已知可得，根據二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.3、C【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.4、C【解析】

根據的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應的取值范圍，由為整數對的取值進行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；②當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；③當時，，此時取可使成立，當時，，所以當時，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數的零點和最值，考查三角函數的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標系，設，根據，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標系.設，，，則，，由，即，得.所以=，所以當時，的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查向量的數量積的坐標表示，屬于基礎題.6、D【解析】

根據等式和特征和所求代數式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數學運算能力.7、D【解析】

根據復數的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復數的除法運算和復數的概念.8、B【解析】

由題知為奇函數，且可得函數的周期為3，分別求出知函數在一個周期內的和是0，利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數，故；因為，故，可知函數的周期為3；在中，令，故，故函數在一個周期內的函數值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．9、A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.10、A【解析】

由題可知：，且可得，構造函數求導，通過導函數求出的單調性，結合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因為，則，即整理得，令，設，則，令,則，令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減，則，因為，，由題可知：時，則，所以，所以，當無限接近時，滿足條件，所以，所以要使得故當時，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點睛】本題主要考查利用導數求函數單調性、極值和最值，以及運用構造函數法和放縮法，同時考查轉化思想和解題能力.11、D【解析】

首先對函數求導，利用導數的符號分析函數的單調性和函數的極值，根據題意，列出參數所滿足的不等關系，求得結果.【詳解】，令，得，．其單調性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）．（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【點睛】該題考查的是有關根據函數值的關系求參數的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導數研究函數的單調性與極值，畫出圖象數形結合，屬于較難題目.12、C【解析】

根據三角函數的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【詳解】根據題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、72【解析】

根據給定的莖葉圖，得到游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，進而求得全年中，甲景點比乙景點多的天數，得到答案.【詳解】由題意，根據給定的莖葉圖可得，在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數中，游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，所以在全年）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多天.故答案為：.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識，合理推算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．15、3000【解析】

根據正態(tài)曲線的對稱性求出，進而可求出身高高于的高中男生人數.【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數大約為.故答案為：.【點睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應用，是基礎題.16、2【解析】

根據為焦點，得；又求得，從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上，則又本題正確結果：【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數列的通項公式的求解，數列求和的錯位相減求和是數列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設等比數列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2n-1，結合數列的特點，考慮利用錯位相減可求數列的和解：（1）（2），兩式相減：18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據，求導，令，用導數法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數，故，即.因為所以，①當時，，所以函數在上單調遞增.若，則若，則所以函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數在上單調遞減.若，則若，則所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數在上單調遞減，所以，即函數)在上單調遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性和極值，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.19、（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據直線與圓相切的性質求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導研究函數的單調性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關系、導數與函數最值的關系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數與方程的思想.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然后根據與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點到平面的距離，因為是中點，所以為到平面的距離，因為與平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經過變換后得到的數陣；（2）由，，求出數陣經過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數陣的第一行和第二行的數字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經過變換后得到的數陣；（2）經變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變?yōu)椤?；含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變?yōu)?、；同時含有和的子集共個