高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：三角函數(shù)-教師版

(fn高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：三角

基礎(chǔ)知識

一、任意角與弧度制

★1、任意角：正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角；負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角。

★2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第兒象

限角.

JTTT

第一象限角：km左4+—，keZ第二象限角：氏萬+—，k冗+冗,kwZ

22

37r37r

第三象限角：kr+?，k冗+——，keZ第四象限角：攵"+—,k兀+2兀，keZ

22

終邊在x軸上的角：\a\a=k7U,ZwZ｝終邊在y軸上的角：,aa=k*gkeZ

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為弓，k&z\

★3、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度，弧度制與角度制的換算公式：2〃=360,

57.3°.

★4、若扇形的圓心角為0(a為弧度制)，半徑為r,弧長為/,周長為C,面積為S,則/="4,

C-2r+l,S=—lr=—|<z|r~.

2211

二、任意角的三角比

★1、設(shè)a是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與

原點(diǎn)的距離是r^r=ylx2+y2>oj,則sin,cosa--,

y,、

tana=—(xwO).

★2、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana-AT.

三、三角公式

★1、同角三角比：(l)sin2a+cos2a=l(sin2a=1—cos?a,cos2a=1—sin?a)；

/八sina(.sina、

(2)------=tanasina=tancrcosa,cosa=-------.

cosa\tanaJ

★2、誘導(dǎo)公式：(l)sin(2Z〃+a)=sina，cos(2kjv+a)=cosa,tan(2k/r+or)=tancr(Z:eZ).

(2)sin(?+a)=-sina,cos(〃+a)=-cosa,tan(〃+a)=tana.

(3)sin(-cr)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana?

(4)sin(?-a)=sina,cos^/r-a)=-cosa,tan(〃-a)=-tana.

(6)sin^—+6ZJ=coscif,cos—+aj=-sina.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

★3、兩角和差：(1)cos(a±p)=cosacos/?q=sinasin/?(2)

sin(a土分)=sinacos/?±cosasin/?

⑶tan(a±￡)-a±tan￡

1干tanatanp

★4、二倍角和升降幕：(1)sin勿=2sinacos。.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

/ocos2a+1.21-cos2a、

(cos"a=------------,sina=------------).

22

(3)tan2a=------；—

l-tarra

★★5、輔助角公式：asinx+Z?cosx=+〃sin(x+0),其中sin^=-j===

cos°=

四、解斜三角形

★1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，R為AABC的外接圓的

半徑，則有‘^=-^-=-^=2R.

sinAsinBsinC

★★2、正弦定理的變形公式：①。=2RsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC；

人?Aa.b.八c

②smA=——，sinB=——,sinC=——；

2R2R2R

③a:b:c=sinA:sinB:sinC；

④a+8+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

★★3、三角形面積公式：S=—hcsinA=—ahsinC=—^csinB.

△AAABRCr222

★★4、余弦定理：在AABC中，有片=〃+/一2人ccosA,b2=a2+c2-2accosB,

c2=tz2+Z?2-2abcosC.

—―用田旬、人Ab-a-0+c-b-廠a'+/7-c~

★★5、余弦定理的推論：cosA=--------------，cosB=--------------，cosC=---------------

2bclac2ab

［一乃+2攵乃,2%）］遞增，在［2攵4，"+2%萬］遞減;

★3、正切函數(shù)：奇函數(shù)，定義域?yàn)関xxw女）+',攵wZ卜值域?yàn)镠,周

期為萬，在（一］+%乃,］+^^遞增;

★★4、函數(shù)y=Asin（3f+°）（A>0,。>0）：①振幅：A：②周期：T=&；③頻率：/=■!"=烏:

coT2乃

④相位：④x+0；⑤初相：（p.函數(shù)y=Asin（〃zr+0）+B,當(dāng)冗二不時，取得最小值為九面；

11T

當(dāng)X=%時，取得最大值為X“ax，則A=5（%ax-），B=］（%1ax+Znin），萬=W-X（西<工2）?

★★5、函數(shù)y=sinx到到函數(shù)〉=Asin（a）x+°）的圖象：①向左（右）平移閘個單位，再將圖

象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），再將所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）

到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）.②將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），再

將圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移夙個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

V=arcsmx\-aiccosx

伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）.

六、反三角函數(shù)及最簡三角方程

★★1、y=arcsinx：奇函數(shù)，增函數(shù)，定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)橐籋；

★★2、y=arccosv：非奇非偶函數(shù)，減函數(shù)，定義域?yàn)椋?1,1］,值域；［0,萬］r.

★★3、y=arctanx：奇函數(shù)，增函數(shù)，定義域R,值域（一l，］）__一~

★★4、最簡三角方程：①sinx=a（|a［<1）,解集為{］卜=左乃+（—1）"arcsina#ez}

②cosx=a刎＜1),解集為｛巾=2攵乃士arccosa,keZ｝

③tanx=a,解集為｛x|

包題型與方法

一'三角及三角函數(shù)有關(guān)概念

對角度制與弧度制、三角比以及三角函數(shù)的基本定義和公式，主要利用公式代入即可。

【例1】如果一個扇形的圓心角為120°,半徑等于10?！?，則扇形的面積為cm2

【難度】★

【答案】—

3

/、4

【例2】已知角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（，m-3）,且cosa=-g,則的

值為_______

【難度】★

【答案】-4

【例3】函數(shù)>=則+竿+皿［的值域是_________

sinx|cosx|tanx

【難度】★

【答案】{-1,3}

【例4】函數(shù)y=Vsinx-cosx的定義域?yàn)?/p>

【難度】★★

7T、冗

【答案】sx2k兀4—4xW2左萬H----，kwZ?

44

【鞏固訓(xùn)練】

1.一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，設(shè)該圓的半徑為R,則其圓心角所對圓弧長為一

【難度】★

【答案】百R

2.若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,—2）,則tan2a的值為

【難度】★

4

【答案】-

3

3.點(diǎn)P(sina-costMana)在第一象限，則在［0,2柯內(nèi)，。的取值范圍是

【難度】★★

【答案】【抬)U卜引

4.函數(shù)y=A/4-X2+lg(2sinx-l)的定義域?yàn)?/p>

【難度】★★

【答案】停2

二'三角恒等變換

在進(jìn)行三角恒等化簡的題型中，常用的方法有：切弦互化、變角、變名、“1”的代入、整體代

換等。

【例5】已知sin6="0,cos6='也，0e\-,萬］,則〃？的取值集合為_____

m+5m+512)

【難度】★

【答案】{8}

714

【例6】已知a￡（—,0）,且cosa=—,則tan2a二

25

【難度】★

【答案】一2蘭4

7

-1心?小\.『3、esina-4cosa

【例7】已知sin（37r+a）=2sm—?+a,則----------------

（2）5sina+2cosa

【難度】★

【答案】—

6

【例8】如果tana,tan"是方程V—3x—3=0的兩根，則瑪巴￡=

COS(a_0

【難度】★

【答案】一］3

2

【鞏固訓(xùn)練】

1.己知sin8=Z-l,cos6=4—3攵，且。是第二象限角，則上應(yīng)滿足的條件是％=

【難度】★

Q

【答案】-

5

on

2.若sin6=3且sin28<0,則tan￡=

52---------

【難度】★

【答案】3

3.若35皿。+（：05。=0,則————------的值為_______

cosa+sin2a

【難度】★

【答案】—

3

4.已知a,L且tana,tan"是方程/+3氐+4=0的兩個根，求a+"的值

【難度】★

【答案】—*2萬

3

三、三角函數(shù)圖像及性質(zhì)

理解三角函數(shù)的圖像的：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值以及對稱軸、對稱點(diǎn)和圖像變換。

【例9】如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)”水深加

2

18x時間小

y=3sin[?x+e+k,據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位:m）的最大值為

【難度】★

【答案】8

【例10］若將函數(shù)/（x）=sin（2x+/J的圖像向右平移。個單位，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則。的

最小正值是

【難度】★★

3

【答案】-71

8

【例II】函數(shù)y=cos（2x+°X—%＜。＜乃）的圖像向右平移個單位長度后與函數(shù)

y=sin（2x+q）的圖像重合，則冏=一

【難度】★★

【答案】-n

6

【例12】函數(shù)丫=以#］尤+1的單調(diào)遞增區(qū)間是

【難度】★

TT

【答案】kK,-+k7r,kwZ

2

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/（x）=sin（aw+?）xeR,@＞0）的最小正周期為），為了得到函數(shù)8（》）=?0$西的

圖像，只要將y=/（x）的圖像向左平移個單位長度

【難度】★★

【答案】-

8

2.設(shè)。＞0,函數(shù)y=sin[5+(]+2的圖像向右平移|■乃個單位后與原圖像重合，則①的最小

值是_________

【難度】★★

3

【答案】-

2

3.已知函數(shù)y=$111(加+夕)(0＞0翻＜乃)的圖像如圖所示，則0=

【難度】★★

TT

【答案】-

6

4.已知。＞0,函數(shù)/(x)=sin[w+?J在萬J上單調(diào)遞減，則①的取值范圍是

【難度】★★

【答案】一＜。＜—

24

四、三角函數(shù)的值域或最值

運(yùn)用升降基公式、輔助角公式、同角三角比的關(guān)系將所求三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如

y=Asin(m+°)+8或是二次型、耐克函數(shù)型、幾何意義等相關(guān)的類型來計(jì)算。

【例13]已知函數(shù)/(x^JEsin楙cos^-JEs/5,則函數(shù)/(x)在[—萬,0]上的最小值是

【難度】★★

【答案】—1------

2

【例14】設(shè)當(dāng)x=8時，函數(shù)/(x)=sin尤—2cosx取得最大值，貝Ucos6?=

【難度】★★

【答案】-竽

【例15】已知cosx+siny=；,設(shè)f=sin?x-siny,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是

【難度】★★

【鞏固訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=2sin2x-3cosx-1的值域?yàn)?/p>

【難度】★★

17-

【答案】一4,—

L8J

2.當(dāng)-gwxwg時，函數(shù)/(x)=sinx+J5cosx的最大值與最小值的和為

【難度】★★

【答案】1

3.已知35抽%+25畝2/7=2S111?,則Susin?a+sin?￡的最大值和最小值分別為

【難度】★★

4

【答案】-,0

9

五'解斜三角形

運(yùn)用正余弦定理來進(jìn)行邊角的互換，注意解三角形中的多解的可能，注意討論和檢驗(yàn)。

【例16］在A4BC中，若sin?B+sin2c<sin?A,則AABC的形狀是______三角形

【難度】★★

【答案】鈍角

【例17】在413c中，若a=18,b=24,A=45°,則滿足此條件的三角形有一個

【難度】★★

【答案】2

【例18］若ZVLBC的面積為10退，且AB=5,AC=8,則BC=

【難度】★★

【答案】7或J西

【鞏固訓(xùn)練】

1.在A4BC中，若2coscsinA=sin3,則AABC的形狀是三角形

【難度】★★

【答案】等腰

2.若滿足條件=3C=60。的AABC有兩個，則邊長BC的取值范圍是

【難度】★★

【答案】（石，2）

3.在AA3C中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=l,則角C=

【難度】★★

TF

【答案】-

6

易錯題型

【例1】集合＜xsinx=tanx,xe的子集個數(shù)為

【難度】★★

【答案】2

TT

【解析】通過三角函數(shù)線（如圖），我們可以看出在0<x<一時,

2

JI冗

sinx<x<tanx,所以在---<x<,,y=5山］與y=tanx僅有唯一的交

點(diǎn)，也就是原點(diǎn)。

【易錯點(diǎn)】對于函數(shù)丁=5加工與y=tanx,由于曲線的彎折，很多學(xué)生很認(rèn)為它們會有三個交點(diǎn),

但是如果精確來比較，交點(diǎn)僅有一個。

【變式訓(xùn)練】

1.“x>0”是“x>sinx”的條件

【難度】★★

【答案】充要

【例2】如果函數(shù)y=3cos（2x+,0中心對稱，那么例的最小值為

【難度】★★

TT

【答案】-

6

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=3cos（2x+g）的圖像關(guān)于點(diǎn)（與，。）中心對稱，所以

2x?^+e=左萬+1伏eZ）,所以9=%萬一^^（女€z）,由此可得帆舄=：

【易錯點(diǎn)】在討論三角函數(shù)的對稱性時，可以直接利用三角函數(shù)在對稱軸取到最值，在對稱中心取

到零點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算，從而跳過利用函數(shù)的奇偶性來平移的方法，適當(dāng)簡化計(jì)算。

【變式訓(xùn)練】

1.若把函數(shù)y=2cosx+?+l的圖像向右平移〃2（團(tuán)>0）個單位長度，使點(diǎn)2,1為其對稱中心,

則加的最小值是

【難度】★★

TT

【答案】-

6

【例3】若函數(shù)/(x)=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線光=-四對稱，則。=

6

【難度】★★

【答案】一上

3

【解析】(取特殊值)取點(diǎn)(0,a)及其對稱點(diǎn)(-(，代入原函數(shù)式可得到a=-理

【易錯點(diǎn)】形如asinx+Z?cosx的函數(shù)結(jié)構(gòu)和輔助角公式一樣，但用輔助角公式計(jì)算較為麻煩，容

易出錯。

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)函數(shù)/(x)=asinx-。cosx(。00)圖像的一條對稱軸方程為x,則直線ar-/?y+c=0的

傾斜角為

【難度】★★

【答案】—

4

【例4】已知AABC,(1+tan4)(1+tan8)=2,則角C的大小為

【難度】★★

37r

【答案】—

4

【解析】由和角的正切公式得tana+tan/?=tan(a+/?)(l—tanatan/?),由差角的正切公式得

tane-tan￡=tan(?-/7X1+tan?tan^),通過觀察其結(jié)構(gòu)的改變即可求解。

【易錯點(diǎn)】在所給方程的變形中，找到其與正切的和差角公式的關(guān)系。

【變式訓(xùn)練】

1.若a+/?=攵乃+工(AeZ),JU!|(1+tanF)(1+tan2°)???(1+tan44°)(1+tan45°)=

【難度】★★

【答案】223

【例5】設(shè)a為銳角，若cos(a+2)=1,則sin(2a+/)=

【難度】★★

【答案】—V2

50

【解析】對題中的角度進(jìn)行整體換元和拆分，即2a+工-生，變成和題中一樣的結(jié)構(gòu)

1216；4

即可。

【易錯點(diǎn)】在有的三角求值中，配湊角時已知角和目標(biāo)角之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，不利于轉(zhuǎn)化，這

時采用整體換元后會簡單很多。

【變式訓(xùn)練】

1.已知tan(a+工］=一9,工＜04至，貝Usin(2a+工］的值為

I4)322I6

【難度】★★

-773-24

【答案］-------

50

【例6】設(shè)常數(shù)a使方程sinx+6cosx=a在閉區(qū)間［。,2萬］上恰有三個解陽，x2,x3,則

Xj+X-+工3=

【難度】★★

7乃

【答案】—

3

【解析】原方程可變?yōu)閍=2sinx+&，如圖，作出函數(shù)y=2sin(x+&),

xe[0,24]的圖像，再作直線y=a，從圖像可知函數(shù)y=2sin(x+"|J,

xe[(),2zr]在0,—上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在—,2n上單調(diào)遞增，只有當(dāng)a=百

6666

時，直線y=a與函數(shù)y=2sin(x+。)xe[0,24]的圖像有且只有三個交點(diǎn)，%,=0,玉=5，

一一7萬

%=27r,所以$+%,+七=3

【易錯點(diǎn)】找到恰有三個公共點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在處理方程你給的根的個數(shù)問題時，注意往

往是將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個數(shù)。

【變式訓(xùn)練】

1.方程sin;zx-lgx=O的解的個數(shù)是

【難度】★★

【答案】9

【例7】已知函數(shù)/(%)=$”斯+?3>0),/仁)=/圖，/(X)在心昌上有最小值，無

最大值，則。=

【難度】★★

14

【答案】—

3

【解析】易知為函數(shù)/(x)的半個周期的子區(qū)間，且知/(x)的圖像關(guān)于尤==:對

稱，所以工一工，且—?。+工=——?左eZ,<59<6,且3=8左H,kEZ,

iy364323

14

取左=0取。=沖

3

【易錯點(diǎn)】/（X）在上有最小值，無最大值，即/（X）在上先減后增（不單調(diào)）,即

為函數(shù)/（尤）的半個周期的子區(qū)間。

【變式訓(xùn)練】

1.若。是正實(shí)數(shù)，函數(shù)/（x）=2sin@:在上是增函數(shù)，則①的取值范圍是

【難度】★★

3

【答案】0<043

2

【例8】已知函數(shù)/j?——（xe/?）的最大值為M,最小值為m，則M+〃z=____

W+i

【難度】★★

【答案】2

【解析】/6）=生羋巴=1—半，易知函數(shù)曠=一半為奇函數(shù)，由函數(shù)的奇偶性可知

—\x\+iw+iw+i

M—\+=0,即M+m=2

【易錯點(diǎn)】將函數(shù)解析式進(jìn)行分解，盡量分離出一個奇函數(shù)和常數(shù)或者具有單調(diào)性的部分。

【變式訓(xùn)練】

V2sinx+—+2x2+x

1.設(shè)函數(shù)/(x)=--------------------的最大值為最小值為m，則M+m=

2x~+cosx

【難度】★★

【答案】2

【例9】已知函數(shù)/（x）=sin@x+cos3,如果存在實(shí)數(shù)網(wǎng)，使得對任意的實(shí)數(shù)x,都有

/(x,)</(%)</(x+2010)成立，則0的最小值