高中數(shù)學數(shù)列綜合練習題附答案

(完整版)高中數(shù)學數(shù)列綜合練習題附答案

一、單選題

(5+2)2

1.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝的前〃項和5“，若。20=4,%=1，則"4,的最小

值為()

A.4B.6C.8D.12

2.記5,為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和.已知邑=0,%=5,則下面結(jié)論正確的是

().

22

A.a?=2n-5B.a“=3n-10C.5?=2n-8nD.Sn=^n-2n

3.已知等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列也｝的首項均為-3,且。3=1，4=8么，則數(shù)列也｝

()

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

4.已知等差數(shù)列｛q｝與等差數(shù)列也｝的前〃項和分別為S“和且■1?=，、，那么腎的

值為()

13141516

A.—B.—C.—D.—

12131415

5.某項數(shù)為4的等差數(shù)列的前三項的和為15,后三項的和為21,則所有項的和為()

A.36B.30C.27D.24

6.已知數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，且滿足%+4。=4,則log2%=()

A.0B.1C.2D.3

7.己知等比數(shù)列MJ各項均為實數(shù)，其前〃項和為5“，則："4＞。"是"S2023As2必"的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,,其中4=1,《，2%,%+3成等差數(shù)列，且

a

?+i則a“=()

A.2"-1B.C.(1+礦1-1D.(1+2)”

9.在等比數(shù)列｛4｝中，%=1，,“=27,則4%=().

11

A.—3B.3C.——D.-

33

10.設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,若b"=2"“,則〃d<0〃是〃%<勿(neN*)〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.三個實數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和為14,且它們的平方和為84,則這三個數(shù)為

（）

A.2,4,8B.8,4,2

C.2,4,8或8,4,2D.以上都不對

12.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,“向=e":'瘋，記數(shù)列｛《,｝的前"項和為S”

則（）

cc99

A.1<52022<3B.3<S2022<4C.4<S2022<-D.-<S2022<5

13.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書是有一道這樣的題目：把100

個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小的兩份之

和，則最小的一份為（）

A.10B.15C.20D.15

14.斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準

晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應用.斐波那契數(shù)列｛q｝可以用如下方法定義：

??+2=+%,且％=%=1,若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列｛b,,｝,則數(shù)

列也｝的前2022項和為（）

A.2698B.2697C.2696D.2695

15.著名的〃康托三分集〃是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程

如下：將閉區(qū)間［0,1］均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩

下的兩個區(qū)0S,|,1分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操

作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同

樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康

14

托三分集".若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于三，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（）

參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771

A.6B.7C.8D.9

二、填空題

16.已知數(shù)列｛《,｝的前n項和S?=nan^-rr,且q=I,則?2O22-?2o2i=.

17

17.若數(shù)列r~^的前n項和為S“，若SjSz=弓，則正整數(shù)n的值為.

18.已知數(shù)列｛4｝滿足1+A全+—+肅=2",則q+%+…+%=.

19.數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了

工=（2『+1（〃eN*）是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算

出.F、=641x6700417,也就是說久不是質(zhì)數(shù),這個猜想不成立.設(shè)

可=依?4(乙T)(“eN*),S,是數(shù)列｛q｝前n項和，若2，"VS”對〃eN”恒成立，則m的最

大值是.

20.等差數(shù)列｛“"｝的前”項和為S“，已知4=1,品＞=75,則即＞=.

三、解答題

21.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,邑=6,%，%,%成等比數(shù)列，數(shù)

列｛2｝滿足伉=1，%=2仇+1.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

100(

(2)求ga-sin4?彳的值.

22.已知｛4｝是遞增的等差數(shù)列，4+6=18,%,%，%分別為等比數(shù)列出｝的前三項.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

⑵刪去數(shù)列｛2｝中的第。，項(其中i=1,2,3,…)，將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)

列圖,求數(shù)列｛&｝的前n項和S”.

4“+1,”為奇數(shù),

23.已知等差數(shù)列｛4｝中，%=3,4=6,且a=＜

2%,〃為偶數(shù).

⑴求數(shù)列出｝的通項公式及前20項和；

⑵若%=也.，記數(shù)列｛%｝的前"項和為S",求5”.

24.記5”為等差數(shù)列｛可｝的前n項和，弗=0,%=2.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

100

(2)求2同的值.

k=l

【參考答案】

一、單選題

1.C

【解析】

【分析】

先求出等比數(shù)列的首項和公比，得至IJa“=彳—和S“=L，代入后利用基本不等式求出

最小值.

【詳解】

因為?/6=4,且等比數(shù)列｛q｝各項均為正數(shù)，所以a；=4,%=2,

公比q=&=2,首項

%4

匚匚I'lCq(l-q")2"—1，-q|2"'

所以S〃=■="，通sJ貝a=。q=---,

1—(74n4

9o_____

所以匕L—+忙瓦4=8，

2an42〃V4T

當且僅當竺=當,..〃=3,

42"

所以當〃=3時，⑸+/一的最小值為8.

2%

故選：C.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式直接代入解方程即可.

【詳解】

???｛%｝是等差數(shù)列

.?.%=4+("-1”，S,,=4〃+"、；Dd

54=0,%=5

..%=%+4〃=5,S4=4。］+6J=0

解得：4=-3/=2

2

an=2n-5,Stl=n-An

故選：A.

3.A

【解析】

【分析】

求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式?！ǎ?,得出42，確定數(shù)列｛。屹J中奇數(shù)項都是負

數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，然后設(shè)c”=|q伍|,用作差法得出匕,｝的單調(diào)性，從而可得數(shù)列

｛“/,,｝的最值.

【詳解】

q=-3,a,=1,plljd=-~~；3)=2,a“=-3+2(〃-1)=2"-5,

&=3=M，/=,=-"，"=，=-3x(_；)"T=^^,

(-lT3(2n-5)顯然奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，

??3(2/7-5)

設(shè)C=|〃也|二2"二L'

3(2〃-3)3(2〃-5)3(7-2n)

則fflll叫-c“=-Q-------聲一=——，

〃<3.5,即“M3時，c?+1-c?>0,c?+l>c?,

〃24時，％“-%<(),c.+i<c“，即數(shù)列｛￡,｝,從。到g遞增，從J往后遞減，

由于他也｝中奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，

所以｛4/“｝中,。也,最大,

又‘3=39'。5=152>37,所以%么是最小項.

4164

故選：A.

4.C

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝、｛〃｝的公差分別為4、由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、

公差之間的關(guān)系，可得結(jié)論.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛a,.｝,｛h?｝的公差分別為4和d2.

1

〃1

==-

+22-

即優(yōu)=34-24①

122b}+d23

S-,3a.+343,小

勺=會3=和即偽=包一34②

133bl+3d24

由①②解得4=d"b1=d\.

1j…

.4=9+742??J5

b]b、+6d24+6414

故選：c

5.D

【解析】

【分析】

由題設(shè)4+2(%+%)+4=36,根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)可得%+/=4+4=12,即可得

結(jié)果.

【詳解】

由題設(shè)4+%+%=15,a2+a3+a4=2\,

所以4+2(4+。3)+。4=36,而出+%=4+%,則3(4+%)=36,

故%+%=4+%=12,則q+/+4+4=24.

故選：D

6.B

【解析】

【分析】

利用等差中項的性質(zhì)求出4的值，進而可求得結(jié)果.

【詳解】

由等差中項的性質(zhì)可得2%=4+4。=4,可得%=2,因此，log?&=1.

故選:B.

7.C

【解析】

【分析】

設(shè)公比為夕，按照4>1、4=1、0<4<1、<7<0分類討論，利用等價轉(zhuǎn)化法可得答案.

【詳解】

設(shè)公比為0,

wnw23

當q>l時,q<q,

C>sU,4（l-g2”〈）七〃（02023）“々2022）

a

32023〉32022；>：0\\X~Q）<〃|（1一4）

\-q\-q

04（產(chǎn)-產(chǎn)）<0=4>0,此時，>0"是"邑儂〉，的充要條件;

q=1o2023a,>2022a,0%>0,"q>0,,>,,S>S?

當時，S2mi>SX22止匕時，2023。??"的充要

條件；

當0<”l時，］>22>產(chǎn)3,

c、q（i-q-"‘）4（i-q""）2023、八2022、

32023>$20224（1—9'）>4（1-4）

\-q\~q

=4（產(chǎn)2_產(chǎn)3）>0>0,此時，“4>0”是，§。23>422”的充要條件；

當q<0時，夕2。22>0,夕2。23<0,

20242022

S,023>5,）2O4（1一夕~-=4（夕2°22_q2O23）〉o>0,此時，〃^〉?！ㄊ?/p>

\-q\-q

"$2023>$2022”的充要條件,

綜上所述："4>。"是"$2023>邑儂"的充要條件.

故選：C

8.B

【解析】

【分析】

由“川=4S“+1，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解.

【詳解】

由已知，an+l=AS,,+1,則％=/IS,I+1（〃N2）,

A=Za?,

，。川=（2+1）%，

...｛4｝是等比數(shù)列.

又,:a,+a3+3-4a2,a3+4-4a2,

q2+4=4q,

:.q=2,

Aan=r'.

故選：B

9.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，求得等比數(shù)列的首項4和4,進而求得44的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，

因為的=1,%=27,可得解得q="q=3,

[ayq=273

所以qq=（3）"3'=3.

故選：B.

10.C

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列增減性的定義以及等差數(shù)列的定義，結(jié)合充分、必要性定義

判斷即可.

【詳解】

充分性:若d<0,則=d<0,即a,”<%,—2%，即%<4,所以充分性

成立；必要性：若壯：“,即2"向<2冊，，4用<《,，則。,用一4=d<0，必要性成立.因

此，"八0"是"%的充要條件.

故選：C.

11.C

【解析】

【分析】

設(shè)所求的三個數(shù)分別為2、a、aq,根據(jù)題中條件列出關(guān)于。、0的方程組，解出這兩個

q

量，即可得出這三個數(shù)的值.

【詳解】

@+a+aq=14

a=4

qa=4

解：設(shè)所求的三個數(shù)分別為巴、a、aq,則有，2，解得，1或

q二十。2+a2q2=84q=aq=2

0

因此，這三個數(shù)為2、4、8或8、4、2.

故選：C.

12.A

【解析】

【分析】

分析可知對任意的“cN*,可>0,則e%“>0,推導出數(shù)列｛q｝為單調(diào)遞減數(shù)列，可得出

52022>?,=!,再利用不等式的性質(zhì)推導出“.<2(瘋-向；)，即可求得其必<3,由此

可得出合適的選項.

【詳解】

因為q=l,4向=小：弧(〃21,"eN*),易知對任意的”6N*,4>0,貝人"”“>0,

所以，T=即0用<“"，故數(shù)列｛凡｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則邑。22>%=1，

由于q+1=“廠<]:"廠，則<--1=a",

e”"+，%I+J4a?4lan+]a?tl

所以，一<一=(Q可呼+g<2(Qg,

\lanM

所以，^2022<+2(5/^--y/^)T卜2(｛/021—>Ja2O22)=3-2J％)22<3,

因此,1<$2022<3.

故選：A.

13.A

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列的通項公式、前"項和公式求解.

【詳解】

設(shè)最小的一份為％個，公差為d,d>0,^(a｝+a4+a5)=a4=al+a2,

'5x4

?5a,+——d=104=10

由題意J'2

d=5'

4+3d=2at+d

故選：A.

14.C

【解析】

【分析】

根據(jù)4=加+??-2(〃…3,"eN)4=生=1,遞推得到數(shù)列｛an｝，然后再得到數(shù)列也,｝是以6

為周期的周期數(shù)列求解.

【詳解】

因為=a“_i+a.2(”--3，〃eN)ay=a2-1,

所以數(shù)列｛q｝為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144….

此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列他｝為：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…

是以6為周期的周期數(shù)列，

2022

所以$2。22=——(1+1+2+3+1+0)=2696.

6

故選：C.

15.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意抽象概括出去掉的各區(qū)間長度為通項公式為q的數(shù)列，結(jié)合題意和等

比數(shù)列前n項求和法列出不等式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)解不等式即可.

【詳解】

第一次操作去掉;，設(shè)為4;

第二次操作去掉;，設(shè)為生；

第三次操作去掉三，設(shè)為生，

依次類推，

故=(捫…+(1嚴］

lx1-

1

=—X——

31二

3

整理，得上u

,但||[4〃0g2-lg3)<-lgl5,

-(Ig3+lg5)Ig3+lg5Ig3+l-lg2__1

??fl-二1I?6.7,

Ig2-lg3Ig3-lg2Ig3-lg2Ig3-lg2

故n的最小值為7.

故選：B.

二、填空題

166,幽2021

【解析】

【分析】

利用題中所給的遞推關(guān)系式進行推導得。,向-4=2--（w>2）,將〃=2021代入可得結(jié)果.

n

【詳解】

ssS

由題意可知a,I+l=—+n,因此a,,*I=---9+1,

nnn-\

a—〃_I=__AZL=（〃T）S“一〃SI=5-1”"—S0,

n+l〃nn-\n（?-l）zi（n-l）nn,一），

因此4+1—。〃=2—：（九之2），

14041

則出022一02021=2一

20212021

4041

故答案為:

2021

17.4

【解析】

【分析】

利用裂項相消法求出S”,根據(jù)S：5?+1=|即可求出n的值.

【詳解】

111

------------=-------------

〃（九+1）n〃+r

S,,=1--+--i+...+---—=1--—=—

223nn+ln+\〃+1

s〃,s“+]n774-1n

T?+1n+2〃+2'

n2.

-------=—=>〃=4.

n+23

故答案為：4.

18.（2/z-l）.2W+1

【解析】

【分析】

在題干條件下求出a“=（2〃+l）2"T,進而用錯位相減法求和.

【詳解】

+???-1-=--2-〃----①--,

2〃+1

1+幺+”+...+_^U=2〃T②,

352n-\3

兩式相減得：-^-=2"-',

2n+l

所以q,=（2〃+l）2"T,經(jīng)檢驗符合要求.

則S”=4+出+…+”"，

則S,,=3+5x2+7x22+9x23+…+（2〃+1）2”|③，

2S,,=3X2+5X22+7X23+9x2"+…+（2”+1）2"④，

,2_/yn+l

③-④得：-S,,=3+22+23+24+---+2"-（2??+1）2,'=3+------（2n+l）2"

1—2

=-l+（l-2n）-2n,

所以邑=（2〃-1>2"+1

故答案為：（2〃-1）2+1

19.g##0.5

【解析】

【分析】

根據(jù)條件化簡得4=2-，再求前”項和，根據(jù)不等式恒成立可求解.

【詳解】

由題意可知，a“=log4（2）"=2"x；=2"T,2機4g=2"-1,顯然當八=1時，m取到最

大值為a.

故答案為：g

20.14

【解析】

【分析】

應用等差數(shù)列前n項和公式可得前=1°"；4。）,結(jié)合已知即可求％.

【詳解】

由品=I?！奔?gt;）=1*+%）=75,可得為=14.

故答案為：14

三、解答題

21.（l）a?=n,bn=2"-l-

（2）-5000.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列所給條件列方程求出首項公差即可得出數(shù)列｛《,｝的通項公式，再由遞推

關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求｛〃｝的通項即可；

(2)分k為奇數(shù)、偶數(shù)分類討論化簡通項，利用分組求和得解.

(1)

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(4/0),

S,=3q+3d=6fa=1

由題意得/*2/-\，解得「I，

(q+3d)=(4+d)(4+7d)[d=l

故數(shù)列｛叫的通項公式M=〃.

???%=22+1,.?.%+1=2(2+1),=2(〃eN),又a=1,

???低+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，勿+1=2",

；也=2"-1.

(2)

當％=2，〃，〃?eN*時，a〉sin(鳳.5)=(2機)飛11〃?兀=0,

當％=2，/一1,，〃wN*時，a；-sin[4--|)=(2ffl-1)2sin2>^1TT=(-l)，，l,'-(2w-l)2,

^^?sin^.-|')=l2-32+52-72+-+972-992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+…+(97-99)(97+99)

=-2x(l+3+5+7+…+97+99)=-5000.

22.⑴4,=3〃，〃,=3”

627i-1

」—4〃為偶數(shù)

(2電=JAX

62727吧

△---------<+32,?〃為奇數(shù)

[13

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可列出方程組，求得等差數(shù)列的公差，繼而求得等比數(shù)列的首項和公比，即

得答案；

(2)刪去數(shù)列他,｝中的第《項(其中i=l,2,3,…)后，求和時討論n的奇偶性，并且分組

求和，即可求得答案.

⑴

設(shè)數(shù)列｛??｝的公差為4(">。)，數(shù)列｛〃,｝的公比為q,

q+q+4d=18

由己知得，解得一，一3,所以…；

所以4=%=3,?=&=3,所以仇,=3".

a\

⑵

由題意可知新數(shù)列｛.｝為：4，%，%,b5f

則當〃為偶數(shù)時

n(n

31-272321-2726272-1

S"="|+仇+~+”叫_,T+4+4+…+*鞏=

------+------乙\_________

1-271-2713

則當〃為奇數(shù)時,

/A-1、

627~-1

3w-l

\7+3亍

S*=S〃T+C,=S“_I+**2=S,i+L

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