高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料08 直線和圓教學(xué)案

【2013考綱解讀】

1.掌握直線斜率與傾斜角、直線方程、兩條直線平行垂直、距離等.

2.掌握確定圓的幾何要素、圓的標準方程與一般方程、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的

位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系;初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

【重點知識整合】

1.直線的斜率

2.直線的方程

3.兩條直線的位置關(guān)系

⑴平行；⑵垂直；(3湘交.

4.距離公式

(1)兩點間的距離；(2)點與直線的距離；(3)兩條平行直線間的距離.

5.圓的方程

6.直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切和相離三種，解決問題的方法主要有點線距離法和判

別式法.

(1)點線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為4圓的半徑為r,則?直線與圓相交，d

=ro直線與圓相切，流/=直線與圓相離.

⑵判別式法：設(shè)圓C-.(x—a)2+(y—6)2=產(chǎn)，直線7：〃+/+C=0,方程組

分+C=0,

2,,2，消去y得x的一元二次方程判別式4,

X—a+y~b=r,

①直線與圓相離Q4〈0;②直線與圓相切O/=0;

③直線與圓相交Q4>0.

7.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)h,復(fù)分別為兩圓半徑，d為兩圓圓心距.

(1)兩圓外離；

⑵"=Ti+r2=兩圓外切；

(3)|八一々|<d(力+廠2=兩圓相交;

(4)〃=|4一及|=兩圓內(nèi)切；

(5)cK|r\—r2\Q兩圓內(nèi)含.

【高頻考點突破】

考點一直線方程

1.直線方程的五種形式：

(1)點斜式:y—%=4(又一加)；

⑵斜截式：y=kx+b；

(3)截距式：-+{=1；

ab

y—y\x-x\

(4)兩點式:

yi—y\X2-x\

(5)一般式：4r+取+C=0G4,8不全為0).

2.直線與直線的位置關(guān)系的判定方法：

(1)給定兩條直線力：y=&x+E和A：產(chǎn)=%2/+慶，則有下列

結(jié)論：

1\〃k=k\=kz豆b\豐限7i±,k2——\.

(2)若給定的方程是一般式，即4：4x+8y+G=0和心：

4x+民y+G=0,則有下列結(jié)論：

1、〃l—AB-AzB產(chǎn)。且BC-B￡、#0；

■AJ_+38=0.

例1、過原點的直線與圓f+/-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程

為.

解析:設(shè)所求直線方程為丁=株即及一丁=0.由于直線tt-T=0被圓截得的弦長等于2,

圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于#W=Q，即圓心位于直線上.于

是有J2=。，即=2,因此所求直線方程是％一1=0.

答案：2x-v=0

【方法技巧】

1.求直線方程主要是待定系數(shù)法.要注意方程的選擇若與芥+少+C=0平行，則直線

方程可設(shè)為By+m=0(in).

2.利用系數(shù)研究兩直線平行、垂直時，要注意其充要性.

3.注意直線的傾斜角的范圍LO,n).

考點二圓的方程

1.標準方程：(x—a)2+3—6)2=/,圓心坐標為g,半徑為工

2.一般方程：/+/+以+。+6=0(〃+盧一4，＞0),

圓心坐標為(一宗-f),半徑尸亞平衛(wèi)

例2、已知圓C經(jīng)過4(5,1),6(1,3)兩點，圓心在“軸上，則，的方程為._.

解析：依題意設(shè)所求圓的方程為：(x-a)：+F=￡把所給兩點坐標代入方程得，

[5―午+1=戶，g：a=2,

工解得c

11一？+9=廣,l.r—10,

所以所求圓的方程為(x—2)：+]：=10.

答案:(A—2):+1:=10

【方法技巧】求圓的方程一般有兩類方法

(1)凡何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量

和方程；

(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).其一般步驟是：

①根據(jù)題意選擇方程的形式：標準形式或一般形式；

②利用條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、b的方程組；

③解出a、b、r或以E、F,代入標準方程或一般方程.

止匕外，根據(jù)條件，要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運算量.

考點三直線與圓的關(guān)系

1.點與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離與r的關(guān)系.

2.直線與圓的位置關(guān)系：用圓心到直線的距離d與半徑r來判斷，比用方程判別式簡

潔.

3.圓與圓的位置關(guān)系.

設(shè)兩圓圓心分別為。、Oi,半徑分別為八、r-L,

則目+?o兩圓相離；

I?？趞=八+費o兩圓外切；

In—＜Iaal＜力+及=兩圓相交；

\0\0>\—\T\一22O兩圓內(nèi)切；

IOiOi\<|rj—12o兩圓內(nèi)含.

例3、設(shè)圓C位于拋物線/=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C

的半徑能取到的最大值為_______.

解析：依題意，結(jié)合圖形的對稱性可知，要使?jié)M足題目約束條件的圓的半徑最大，需圓

與拋物線及直線x=3同時相切，可設(shè)圓心坐標是(a0)(0<a<3),則由條件知圓的方程是松

-a)-+y-=(3-a)-.

由廠工+"3-三消去j得

\.y-2x

x-+2(l—a)x+6a—9=Q,

結(jié)合圖形分析可知，當匆二一*6a—9)=口且0VqV3,即a=4一短時，相應(yīng)的圓

滿足題目約束條件，因此所求圓的最大半徑是3—。=加一1.

答案：Vs—1

【方法技巧】

1.有關(guān)直線與圓的相交問題要注意靈活運用圓的幾何性質(zhì)，特別是弦心距、弦長一半

和半徑滿足勾股定理.

2.與圓有關(guān)的最值、范圍問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3圓的切線問題一般是利用d=r求解，但要注意切線的斜率不存在的情形.

4.圓與圓錐曲線相結(jié)合時要注意結(jié)合圖形分析，抓住其結(jié)構(gòu)特征進行求解.

【難點探究】

難點一直線與方程

例1過定點。(2,1)且與坐標軸圍成的三角形的面積為4的直線方程是.

【答案】x+2y—4=0或(*+l)x—2(m一l)j—4=0或(蛆-l)x—2(*+l)y+4

=0

【解析】設(shè)所求的直線方程為一X+3V=1.

ab

21

;直線過點〃(2,1)，，一+7=1,即d+26=奶①

ab

又由已知，可得力a引=4，即留=8.②

f<a+2b=ab,a+2b=ab,

由①、②可得，?；?

(ab=8[ab=—8,

解得a=4,6=2或3=4（鏡一1）,6=—2（嫡+1）或@=-4（斕+1）,6=2（鏡一1）,

故所求直線方程為x+2y—4=0或（鏡+l）x—2（鏡—l）y—4=0或（啦—l）x—2（地

+1）y+4=0.

【變式探究】⑴過點尸（-1,3）,且傾斜角比直線y=（2一4的傾斜角大45°

的直線的方程是（）

A.■\^x+

B.（3-2的x+y+3+2蛆=0

C./x—y+3+木=0

D.（3+2啦）x-y+6+2*=0

(2)已知三條直線/i：4x+p=4,72：mx+y=Q,73：2x—3〃7y=4,這三條直線不能構(gòu)成

一個三角形時的加值的集合M=.

【答案】

f12

(DC(2)i-l,p4：-

【解析】(。已知直線的斜率比=2-3=1血15=,..?所求直線的頸斜角為61，.?.所

求直線的斜率Htan6r=4，由點斜式得所求直線的方程為3一3=餡儀+1),即卡X-J+

3+4=0.

(2)①當有兩條直線平行時，三直線不能構(gòu)成三角形.

若入〃/2,則:I.勿=4；

2加41

貝dr

u4-14一6-

若11//，3,顯然勿=0時不平行，當/W0時，5=~丁六乃無解.

z—6m4

②當三直線過同一點時，不能構(gòu)成三角形，此時，由4、?=4'得兩直線的交點是

l.，nx+j=0

A4—產(chǎn)4"加〃=分代入第三條直線方程解得加?=號或次=一1.

‘4—冽4—W3

12

綜合①②所述，當，”=一1、"=-*、加=薄，”=4時，三直線不能構(gòu)成三角形，故W

03

12

:—1,~~4r

I63J.

難點二圓的方程的應(yīng)用

例2已知圓G：/+/—2%xr+4y+/—5=0與圓C：x+y-\~2x—2my+m,若圓

G與圓C相外切，則實數(shù)〃=.

【答案】一：或2

【解析】對于圓G與圓J的方程，配方得

圓G：(x—??)-+(1+2)-=9>扇G：(.v+l)-+(j-?1)-4>

則-2),八=3,C:(-Lm),r=2.

如果圓G與圓G相外切，那么有GG=n+,即?+1二十”!+：：=$,

則加+3冽-10=。,解得?!=-5或m=2,

所以當w=-5或m=2時，圓C：與圓J相外切.

【變式探究】已知圓C與直線x—y=0及x—y—4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則

圓。的方程為()

A.(x+l)2+(y—1)2=2

B.(“一1尸+(了+1)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2

D.U+l)2+(y+l)2=2

【答案】B

【解析】設(shè)出圓心坐標，根據(jù)該圓與兩條直線都相切列方程即可.設(shè)圓心坐標為⑶-

mia---aa——q—4即a=a-2,解得E,故回心坐標為(1,T),半徑片上

分貝J-

=S，故圓的方程為(x—l)：+(y+l?=2.

【規(guī)律技巧】

1.確定直線的幾何要素，一個是它的方向，一個是直線過一.個點.在解析幾何里面用

得最廣泛的就是直線方程的點斜式.

2.求圓的方程要確定圓心的坐標(橫坐標、縱坐標)和圓的半徑，這實際上是三個獨立

的條件，只有根據(jù)已知把三個獨立條件找出才可能通過解方程組的方法確定圓心坐標和圓的

半徑，其中列條件和解方程組都要注意其準確性.

3.直線被圓所截得的弦長是直線與圓相交時產(chǎn)生的問題，是直線與圓的位置關(guān)系的一

個衍生問題.解決的方法，一是根據(jù)平面幾何知識結(jié)合坐標的方法，把弦長用圓的半徑和圓

心到直線的距離表示，即如果圓的.半徑是r,圓心到直線的距離是4則圓被直線所截得的

弦長/=217二7；二是根據(jù)求一般的直線被二次曲線所截得的弦長的方法解決.

【歷屆高考真題】

[2012年高考試題】

1.【2012高考真題重慶理3】任意的實數(shù)k,直線丁=丘+1與圓尤2+y2=2的位置關(guān)

系一定是

A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心

【答案】C

【解析】直線丁=丘+1恒過定點(0,1),定點到圓心的距離d=l<J5,即定點在圓

內(nèi)部，所以直線y=Ax+l與圓相交但直線不過圓心，選C.

2.【2012高考真題浙江理3】設(shè)aGR,則“a=l”是“直線L：ax+2y=0與直線b：

x+(a+l)y+4=0平行的

A充分不必要條件B必要不充分條件,

C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當a=l時，直線x+2y=0,直線小x+2y+4=0,貝心A；若7112,

則有a(a+1)—2x1=0,即+a—2=0,解之得，a=—2或a=1,所以不能得到a=1.

故選A.

4.【2012高考真題陜西理4】已知圓。：X2+了2-4%=0,/過點P(3,O)的直線，則()

A./與C相交B./與C相切C./與C相離I).以上三個選項均

有可能

【答案】A.

【解析】圓的方程可化為(x-2>+/=4,易知圓心為(2：0)半徑為2,圓心到點？

的距離為1,所以點P在圓內(nèi).所以直線與圓相交.故選A.

5.[2012高考真題天津理8]設(shè),若直線(〃?+l)x+(〃+l)y-2=0與圓

(x—1尸+(丁-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是

(A)[1-73,1+73](B)(^o,l-V3]u[l+V3,+oo)

(C)[2-272,2+272](D)(^o,2-2V2]u[2+2V2,-H?)

【答案】D

【解析】圓心為(1,1),半徑為1.直線與圓相切，所以圓心到直線的距離滿足

|(〃2+1)+(〃+1)-2|[[機+〃、2、幾

-—二1，即nn"2+〃+l=m?W(----),設(shè)m+n=z，即nn

機+1產(chǎn)+(“+1)22

-z2-z-l>0,解得z<2—2日，或222+2收，

4

6.[2012高考江蘇12](5分)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為

x2+y2-8x+15=0,若齡

了=履-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大

值是▲.

【答案】q

【解析】?.得C的酒可快（x-4『-『=1,.,.圓C的圓心為（4,0）,半徑為1.

,,由題意，瑾葭j=H-2上至少W在一點H（毛，依-2）,以該點為扇心，1為半徑的圓

與圓C有

公共點；

..?存在毛wK,使得XC41+1成立，即

?.二k％”即為點C到直線『=依一2斷第二3,..?里二三42,解得04萬43.

二上的最大值是士.

3

8.12012高考真題湖南理21】（本小題滿分13分）

在直角坐標系xOy中，曲線G的點均在C2：（x-5）?+/=9外，且對G上任意一點M,M

到直線x=-2的距離等,于該點與圓心上點的距離的最小值.

（I）求曲線C的方程；

（II）設(shè)P（x。,y°）（y°￥±3）為圓C2外一點，過P作圓G的兩條切線，分別與曲線3

相交于點A,B和C,D.證明：當P在直線x=-4上運動時，四點A,B,C,D的縱坐標之積

為定值.

【答案】（I）解法1：設(shè)M的坐標為（九,y）,由已知得

|X+2|=7(^-5)2+/-3.

易知圓G上的點位于直線％=-2的右側(cè).于是x+2>0,所以

yj（x-5）2+y2=x+5.

化簡得曲線G的方程為y2=20%.

解法2：由題設(shè)知，曲線G上任意一點M到圓心。式5,0）的距離等于它到直線工=-5

的距離，因此，曲線G是以（5,0）為焦點，直線x=-5為準線的拋物線，故其方程為

y:=20x.

（II）當點？在直線x=-4上運動時，P的坐標為（-工線），又北工掃，則過P且與

圓

相切得直線的斜率左存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為

>-y0=Mx+4）：即kx-y+%+4k=0.于是

|5k+%+咽

_一'

整理得

72二+18Rc+y；-9=0.①

設(shè)過P所作的兩條切線尸APC的斜率分別為即&，則人歡2是方程①的兩個實根，故

勺+公=_地遼=_比.②

1-724

幺%一y+訃+4匕=0,,.°_

由2”得力2_2Oy+2O（），o+44）=O.③

y=20x,

設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標分別為y,%,%，%，則是方程③的兩個實根，所以

20（%+4人）

y?必=----—--④

%

同理可得

20（%+4%,）

%”=----;-----?⑤

于是由②，④，⑤三式得

vv_400（內(nèi)+物）5+他）

他

_400[y；+4（瓦+幺）比+16k內(nèi)]

k應(yīng)

=400」一工+16枇].00

桃：

所以，當P在直線x=7上運動時，四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400.

【2011年高考試題】

1.（2011年高考重慶卷理科15）設(shè)圓C位于拋物線V=2x與直線x=3所組成的封閉

區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為

答案:A/6-1.

解析：為使圓C的半徑取到最大值，顯然扇心應(yīng)該在x軸上且與直線x=3相切，設(shè)圓

C的半徑為尸，貝圓C的方程為（x+r-3），j；=/，將其與聯(lián)立得：

x:+2（r-2）x+9-6r=0,令A(yù)=[2（r-2）了-4（9-6?）=0,并由廠>0,得：

r=a-L

2.（2011年高考廣東卷理科19）設(shè)圓C與兩圓（x+6）2+;/=4,（x—J5）2+V=4中的一

個內(nèi)切，另一個外切.

（1）求C的圓心軌跡L的方程.

⑵已知點M（W，半），F(xiàn)（底0）,且P為L上動點，求帆P|-|FP||的最大值

及此時點P的坐標.

【解析】（1）解：設(shè)C的圓心的坐標為（x,y）,由題設(shè)條件知

IJ(x+q)2+y2_+y2|=4,

化簡得L的方程為一一=i.

4

（2）解：過M,F的直線/方程為y=—2（x-石），將其代入L的方程得

15f-32&+84=0.

解得:

再=竺,毛=芋做7與￡交點為不竺「逑）Z（罕;羋）.

515551515

因T：在線段NE外，T：在線段NF內(nèi)，故恒巨一%|W3/F=2,

|J/L|-FT.14VF=2.,若？不在直線\左上，在31FP中有

|.W-產(chǎn)|=2.

故卜MP-I尸產(chǎn)||只在T：點取得最大值2.

3.（2011年高考福建卷理科17）（本小題滿分13分）

已知直線1：y=x+m,meRo

（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線1相切與點P,且點P在y軸上，求該圓的

方程;

（II）若直線1關(guān)于x軸對稱0的直線為廣，問直線/'與拋物線C：x?=4y是否相切？

說明理由。

解析：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)

與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分。13分。

（I）依題意，點P的坐標為（0,m）

因為MP，/,所以。二=

2-0

解得m=2,即點P的坐標為(0,2)

從而圓的半徑

r=|MP|=7(2-0)2+(0-2)2=272,

故所求圓的方程為(x—2)2+9=8.

(II)因為直線，的方程為丁=x+九

所以直線，'的方程為y=-x-m.

v'=-X-mt,

由+4x+4w=0

?X*=4y

A=4*—4x4加=16(1-w)

(1)當物=L即A=0時，直線，'與拋物線C相切

(2)當力Hl,那△。時，直線，與拋物線C不相切.

綜上，當m=l時，直線，'與拋物線C相切；

當WH1時，直線/'與拋物線C不相切.

4.(2011年高考上海卷理科23)(18分)已知平面上的線段/及點P,在/上任取一

點。，線段尸。長度的最小值稱為點P到線段/的』巨離，記作d(P,l)。

(1)求點P(l,l)到線段3=0(3<x<5)的距離d(P,/)；

(2)設(shè)/是長為2的線段，求點集O=｛P|d(P,/)〈l｝所表示圖形的面積；

(3)寫出到兩條線段4，/2距離相等的點的集合。=仍1”(24)=〃(2,/2)｝，其中

/,=AB,l2-CD,

解析：AB,C,O是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是

①2分，②

6分，③8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計分。

①4(1,3),仇1,0),C(-1,3),0(-1,0)。。

②A(l,3),B(l,0),C(-l,3),D(-l,-2)?

③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)o

解：⑴設(shè)Q(x,x—3)是線段/:%—丁一3=0(3?%〈5)上一點，則

IPQ\=7U-1)2+(X-4)2=^2(x-1)2+1(3<x<5),當x=3時，

d(R=/)m招二。

⑵設(shè)線段l的端點分別為工￡,以直線AB為x軸，,1B的中點為原點建立直角坐標

則H-L0\B(L0),點集D由如下曲線圍成

/1：>'=l(|x|<l)J::y=-l(|x|<l)

G:(x+l):+y2=l(x<-1)C:(x-l):+y:=l(x>1)~~

其面積為S=4+萬.

(3)①選擇K(L3)aL0),C(T3)a(T0)，Q={(xsy)|x=0}

②選擇H(L3),BQ0),C(-L3),D(-L-2).

Q={(x,y)|x=0,yN0}{(x,y)|y2=4x,-2<y<0}{(x,y)|x+y+l=0,x>l}

③選擇A(0,l),8(0,0),C(0,0),0(2,0)。

O={(x,y)|x〈0,y40}{(x,y)|y=x,o<x〈l}

{(x,y)|x2=2y—1,1<x<2}{(x,y)14x—2y—3=0,x>2}

【2010年高考試題】

1.（2010江西理數(shù)）8.直線丁="+3與圓（》一3）2+（丫—2）2=4相交于M,N兩點,

|W|>2V3,則k的取值范圍是

73后

-3[「3]

——,0-00,——[0,+oo]----,---

A.L4JB.L4」c.33

L」D.

--.0

3」

【答案】A

【解析】考查直線與扇的位置關(guān)系、點到直線距離公式,重點考察數(shù)形結(jié)合的運用.

解法1：扇心的坐標為（3.,2）,且圓與y軸相切.當

\IN|=2jQ時，由點到直線距離公式，解得

解法2：數(shù)形結(jié)合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之

間即可，不取+x,排除B,考慮區(qū)間不對稱，至IE除c,T-卜-中

利用斜率估值，選A

2.（2010重慶理數(shù)）（8）直線y-------x+A/2與圓心為D的圓

3

x-V3+J3c6b.r、、

匚㈤交與A、B兩點,則直線AD與BD的傾斜角之和為

y=l+?3s6inL

A.，545

B.—71C.—71D.一TC

64