高中數(shù)學(xué)《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》導(dǎo)學(xué)案

n第三章三角函數(shù)

DIYlZHANG1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.正弦函數(shù)的圖象

(1)正弦曲線

正弦函數(shù)y=sinX%￡R)的圖象叫做印正弦曲線.

(2)正弦函數(shù)圖象的畫法

①幾何法：

(i)利用②正弦線畫出y=sinx,%￡［0,2兀］的圖象；

(ii)將圖象⑶向左、向右平行移動(dòng)(每次27r個(gè)單位長(zhǎng)度).

②五點(diǎn)法：

(i)畫出正弦曲線在［0,2組上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)駟①

m,0),仔，一“，(2兀，°),然后用光滑的曲線連接；

(ii)將所得圖象區(qū)向左、向右平行移動(dòng)(每次2n個(gè)單位長(zhǎng)度).

2.余弦函數(shù)的圖象

(1)余弦曲線

余弦函數(shù)y=cos%(%￡R)的圖象叫做⑹余弦曲線.

（2）余弦函數(shù)圖象的畫法

①要得到產(chǎn)cosx的圖象，只需把y=sinx的圖象向左平移酬得個(gè)

單位長(zhǎng)度即可，這是由于85%=5也,+1.

②用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線y=cosx在[0,2兀]上的圖象時(shí)一，所取

的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為玉（o,i）,o],（九，一1）,件，o],（2加，1）,

然后用光滑的曲線連接.將所得圖象團(tuán)向左、向右平行移動(dòng)（每次27r

個(gè)單位長(zhǎng)度）.

工|自診小測(cè)

1.判一判（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（l）y=sinx,%￡[0,2兀]的圖象關(guān)于點(diǎn)尸（兀，0）成中心對(duì)稱.（）

兀

（2）y=cosx,%￡[0,2兀]的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱.（）

（3）正、余弦函數(shù)的圖象不超過直線y=l和y=-1所夾的范

圍.（）

（4）正弦曲線與余弦曲線形狀相同，只是位置不同.（）

答案（1）J⑵X（3）7（4）7

2.做一做

（1）下列各點(diǎn)中，不在y=siru圖象上的是（）

A.（0,0）B.住1）

C.隹-11D.（7i,1）

答案D

解析因?yàn)閟in兀=0,故（兀，1）不在圖象上.

(2)從函數(shù)y=sior,%￡［0,2兀］的圖象來看，對(duì)應(yīng)于siar=；的％有

()

A.1個(gè)值B.2個(gè)值

C.3個(gè)值D.4個(gè)值

答案B

解析畫出函數(shù)丁=5111^,%￡［0,2兀］與y=：的圖象，易知二者有

(3)(教材改編P34TD對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx的圖象，有以下描述:

①將［0,2兀］內(nèi)的圖象向左向右無限伸展；

②與y=siax圖象形狀完全一樣，只是位置不同；

③與y軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)；

④關(guān)于y軸對(duì)稱.

其中正確的描述有()

A.1項(xiàng)B.2項(xiàng)C.3項(xiàng)D.4項(xiàng)

答案C

解析由正弦、余弦曲線可知，①②④正確，③錯(cuò)誤.

卜課堂互動(dòng)探究

探究1五點(diǎn)法作圖

例1用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖:

(l)y=sinr—1,xG［0,2n］；

(2)y=2+cos%,%￡［0,2兀］.

解⑴列表：

匹37r

X0兀2K

2~2

sinx010—10

sinx—1—10—1-2—1

描點(diǎn)、連線,如圖：

(2)列表:

7U3瓦

X兀27r

02T

COSX10—101

2+cos%32123

描點(diǎn)、連線，如圖:

拓展提升

描點(diǎn)法畫正(余)弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵

(1)列表時(shí)，自變量％的數(shù)值要適當(dāng)選取

①在函數(shù)定義域內(nèi)取值；②由小到大的順序取值；③取值的個(gè)數(shù)

應(yīng)分布均勻；④應(yīng)注意圖形中的特殊點(diǎn)(如：端點(diǎn)，交點(diǎn)，頂點(diǎn))；⑤

盡量取特殊角.

(2)描點(diǎn)連線時(shí)應(yīng)注意

①兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度盡可能一致，以免改變圖象的真實(shí)形狀;

②變量1,y數(shù)值相差懸殊時(shí)，也允許采用不同長(zhǎng)度單位；

③連線時(shí)一定要用光滑的曲線連接，防止畫成折線.

【跟蹤訓(xùn)練1】作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=—siax(0WXW27r)；

(2)y=1+COS%(0WXW2TT).

解⑴列表：

713兀

X0271~22兀

sinx010—10

—sinx0-1010

描點(diǎn)、連線,如下圖：

(2)列表:

匹37r

X0兀2兀

2T

COSX10—101

1+cosx21012

描點(diǎn)、連線，如下圖:

A

X

探究2用圖象變換作函數(shù)圖象

例2作出函數(shù)y=A/l—cos?%的圖象.

解y=y)1—cos\=|sinx|,

sinr(2EW%W2E+兀),

即丁=?e、(2￡Z)

〔—sinx(2也十71<X<2KTI十2兀)

其圖象如下圖.

拓展提升

用圖象變換作函數(shù)圖象

對(duì)于某些函數(shù)的圖象，如y=—sinx,^=|sinx|,y=sin|%|等可通

過圖象變換，如平移變換、對(duì)稱變換等作圖.

(1)把y=sinx的圖象在入軸上方的保留，％軸下方的圖象沿％軸

翻折到％軸上方，就可得y=|siiir|的圖象.

(2)把)/=51僦的圖象在y軸右側(cè)的保留，去掉y軸左側(cè)的圖象，

再把y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè)，就可得y=sin的圖象.

【跟蹤訓(xùn)練2】作函數(shù)y=sinQ+為1的圖象.

解y==|cosx|

cosx—Zj,

=<

(ji3兀)

—cosxl2+2E<X<E+2E,kGZ).

故y=|cosx|的圖象實(shí)際就是曠=8$%的圖象在入軸下方的部分翻

折到％軸上方后得到的圖象，如下圖.

產(chǎn)COSX

探究3正、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例3利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的％的

集合.

(l)sinx^2;(2)COSX^2-

解(1)作出正弦函數(shù)y=sinx,%￡[0,2兀]的圖象，如圖所示，由

(2)作出余弦函數(shù)y=cosx,%￡[0,2兀]的圖象，如圖所示，由圖象

用三角函數(shù)圖象解不等式的步驟

(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在［0,2兀］上的圖象；

(2)寫出不等式在區(qū)間［0,2兀］上的解集；

(3)根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集.

【跟蹤訓(xùn)練3】利用正弦曲線,求滿足;<sinx丹的工的集合.

解首先作出y=sinx在［0,2兀］上的圖象，如圖所示.

作直線y=；,根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與y=sinr,%

￡［0,2兀］的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為專和系；作直線y=坐，該直線與曠=5111￥,

TT27rIT

%￡［0,2兀］的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和學(xué)觀察圖象可知,在［0,2兀］上,線

音或當(dāng)系時(shí)，不等式gsinxW乎成立,

1S,

所以]vsinxW勺的解集為

兀兀57r

{xz+2Z7T<%W7+2hr+2kn-\~2kn,

163

f------------------------------------1魅耀加------

1.“五點(diǎn)法”是畫正、余弦函數(shù)圖象的重要方法

畫正弦函數(shù)y=sinx,x￡[0,2兀]的圖象.有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們分別

71

(，仔，-1),(2K,0),因此描出這五點(diǎn)后,

是(0,0),r1,71,0)

正弦函數(shù)曠=512，％￡[0,2幻的圖象的形狀基本上就確定了.在描點(diǎn)

時(shí).，光滑曲線是指經(jīng)過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的連線要保持近似“圓弧”形

狀，經(jīng)過位于％軸的點(diǎn)時(shí)要改變“圓弧的圓心位置”.用五點(diǎn)法畫余

弦函數(shù)y=cos%的圖象時(shí)也是一樣.

特別注意：(1)五點(diǎn)法是我們畫三角函數(shù)圖象的基本方法，與五點(diǎn)

法作圖有關(guān)的問題曾出現(xiàn)在高考試題中.

(2)作圖象時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為

實(shí)數(shù).

2.正弦曲線和余弦曲線是向左右兩邊無限延伸的，正弦曲線與余

弦曲線形狀相同，但在同一坐標(biāo)系下的位置不同.

卜課堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.用“五點(diǎn)法”作)，=sin2x的圖象時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫

坐標(biāo)是()

八九3兀c「八兀兀3冗

A.0,2，兀,252兀B.°,甲2，4，兀

[I7^JI

C.0,K,2n,3n,4兀D.0,%,

答案B

解析根據(jù)“五點(diǎn)法”，可令2%=0,全jr兀，y37r,2兀，解得％=0,

兀兀3兀1/c

4，2,彳'九'故選B.

2.以下對(duì)正弦函數(shù)曠=5皿；1的圖象描述不正確的是（）

A.在工￡[2E,2E+2M（Z￡Z）上的圖象形狀相同，只是位置不

同

B.介于直線y=l與直線y=-1之間

C.關(guān)于％軸對(duì)稱

D.與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)

答案C

解析由正弦函數(shù)圖象可知，相差2兀的整數(shù)倍，圖象形狀相同，

只是位置不同，A正確；因?yàn)檎液瘮?shù)的值域?yàn)閇—1,1],故B正確;

由正弦函數(shù)的圖象知，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)圖象

知D正確.故選C.

3.要得到正弦曲線，只要將余弦曲線（）

A.向右平移]個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度

3兀

C.向右平移于個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向左平移兀個(gè)單位長(zhǎng)度

答案A

解析由于cos1%—￡|=siiu：,所以只需將y=cos%的圖象向右平

移5個(gè)單位長(zhǎng)度即可.

4.滿足cos%>0,%￡[0,2捫的％的取值范圍是.

答案[機(jī)2）UU,2兀

解析畫出函數(shù)丁=85],%￡[0,2兀]的圖象如圖所示.

由圖象可知滿足cosx>0,*引0,2兀]的％的取值范圍為0,du

隹24

5.用“五點(diǎn)法"作出函數(shù)y=l+2sinr,%￡[0,2兀]的圖象.

解列表：

三37r

X0兀27r

2T

sinx010—10

l+2sinx131—11

在直角坐標(biāo)系中描出五點(diǎn)(0,1),住3),(兀，1),修一1),(2冗，

1),然后用光滑的曲線順次連接起來，就得至Uy=l+2siru,%￡[0,2兀]

的圖象.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.下列函數(shù)圖象相同的是()

A.?x)=sinr與g(%)=sin(7t+x)

B.?x)=sin1%一野與g(x)=sin低一%)

C.八%)-sinx與g(%)=sin(一%)

D.?x)=sin(27r+x)與g(%)=sinx

答案D

解析A,B,C中，危)=一孤)；D中，?r)=g(%).

2.若cos%=0,則角x等于()

Tl

A.kji(kGZ)B.1+E(%￡Z)

兀Tt

C.1+2E(A￡Z)D.-]+2阮(％￡2)

答案B

IT

解析若cos%=0,則%=]+E(%￡Z).

3.如圖所示，函數(shù)尸cos￥|tanx||oWx娉且%度)的圖象是()

CD

答案C

sin%,

JJI

解析y=cos%?|tanr|=j—sinx,

3兀

sinx,兀＜%＜虧.

LL

故其圖象為c.

4.若點(diǎn)M仔，一機(jī)）在函數(shù)y=siru的圖象上，則相等于（）

A.0B.1C.-1D.2

答案C

JT

解析由題意，得一根=sin],所以一機(jī)=1,所以機(jī)=-1.

（JT兀、

5.函數(shù)y=ln8殘一的大致圖象是（）

答案A

解析由余弦函數(shù)的圖象，可知當(dāng)一品用時(shí)，0<cos%Wl,所以

y=lncos%WO,故選A.

二'填空題

6.方程％2=cos%的實(shí)根的個(gè)數(shù)是.

答案2

解析在同一直角坐標(biāo)系中，作出丁=/和曠=83的圖象如圖,

由圖可知，有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是方程#=COSX的實(shí)根的個(gè)數(shù)為

2.

7.函數(shù)y=2cos_x,%￡［0,2兀］的圖象和直線y=2圍成的一個(gè)封閉

的平面圖形的面積是.

答案4九

解析如圖，圖形5］與S2,S3與S4都是兩個(gè)對(duì)稱圖形，所以有

Si=S2,83=84,因此函數(shù)y=2cosx的圖象與直線y=2所圍成的圖形

面積，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為求矩形QA3c的面積.

'：\OA\=2,\OC\=2n,

??S矩形0A8C=2X2兀=4兀,

.二所求封閉的平面圖形的面積為4兀

snir,x/U,i

8-已知函數(shù)於則不等式段)>*解集是

答案..0)u1+2航,普+2司(KN)

解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(%)和直線y=T的圖象,

如圖所示.

13兀5兀

由圖可知當(dāng)/(%)〉］時(shí)，有一齊t<0或4+2析<x