高中數學小題巧解

高中數學小題巧解（一）

解題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中（包括題干和選項）

提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷.數學選擇題的求解一

般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結果；二是從題干和選擇支聯合考慮

或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件.填空題的結果必須是數值準確、形式規(guī)

范、表達式最簡.因此，解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題

不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可

“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當的方法，在“巧”

字上下功夫.

實例.（2013?大綱全國）橢圓C：于+專=1的左、右頂點分別為4、A2,點P

在C上且直線以2斜率的取值范圍是[一2,-1],那么直線以?斜率的取值范圍是

（）

133313

A.（2>昆B.[g,]C.序1]D.弓，1]

答案B

1、特例檢驗法

特例法就是運用滿足題設條件的某些特殊數值、特殊位置、特殊關系、特殊

圖形、特殊數列、特殊函數等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊

情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選項真?zhèn)蔚姆椒?。用?/p>

例法解客觀題題時，特例取得愈簡單、愈特殊愈好。利用特殊檢驗法的關鍵是所

選特例要符合條件。這種方法實際上是一種“小題小做”的解題策略，對解決某

些客觀題往往十分奏效。

例1.已知A、B、C、。是拋物線f=8x上的點，口是拋物線的焦點，且放十用

―>—>—>—>—?—>

+FC+FD=0,則|剛+尸8|+|尸。|+|尸。|的值為（）

A.2B.4C.8D.16

—?—>—>—?

【解析】取特殊位置，AB,為拋物線的通徑，顯然以+尸3+尸。+尸0=0,

玲玲玲玲

則|E4|+|F8|+|FC|+|FO|=4p=16,

【答案】D.

例2.已知等差數列｛斯｝的前〃項和為S,”若等二則祟的值為()

Unzn-1On

A.2B.3C.4D.8

【解析】方法一(特殊值檢驗法)取〃=1,得靠=；，，色譽=*4,

于是，當〃=1時，要=等="絲=4.

品31Cl\

4〃一12?2〃-1

方法二(特殊式檢驗法)注意到黃取a=2n—1,

Cln2n—12?〃一1n

1+(4八一1)0

c---------?Zn

=2=4

S1+(2〃-1)

“-------------------?n

例3.定義在R上的奇函數/(%)為減函數，設給出下列不等式：①

/(?)./(-?)<0；②2。；③/(?)+f(b)<f(-a)+f(-b)；

④/(。)+f(b)>/(-?)+其中正確的不等式序號是()

A.①②④B.①④C.②④D.①③

【解析】取特殊函數/■(■￥)=—X,逐項檢查可知①④正確。

【答案】Bo

例4.已知P、。是橢圓3%2+5/=1上滿足NPOQ=90。的兩個動點，則/?十5/

等于()

834

A.34B.8C-D.

y[511

【解析】取兩特殊點P(岸，0)、Q(0,手)即兩個端點，則定+近=3+5=8.

【答案】B.

例5.已知G為銳角三角形ABC的外心，AB=6,AC=10,AG^xAB+yAC,且

2x+1Oy—5,則cosABAC=o

【解析】(特殊圖形法)把三角形ABC特殊化到直角坐標系中

設/胡C=a,則A(0,0),C(10,0),B(6cosa,6sina),

因為G為銳角三角形ABC的外心，所以G在線段AC的垂直平分線上，

可知G點得橫坐標為5,

AG=xAB+yAC=x(6cosa,6sin?)+y(10,0)=(6xcosa+10y,6xsin<z)

6xcoscr+10y=5,/2x+10y=5/.6cosa=2,cosa=；「.cosABAC二；

【答案】，I

o

例6..△ABC的外接圓的圓心為。，兩邊上的高的交點為H,

則實數m=-----

2.利用數學定義、公式構造數學模型進行等價轉換

例7.已知-------=1,(asb、ceR),則有().

Sa

。巨=+OB-+-OU)

A.b1>4acB.b->4acc.b2<4acD.b~<4ac

點撥：方法一通過化簡，敏銳地抓住數與式的特點：石看作是方程a?—歷；+。=0的一

個實根，再利用一元二次方程有實數根的充要條件△20求得；方法二轉化為。2是。、。的

函數，運用重要不等式解題.

解：方法一：依題設有5a-J0+c=0不是實系數一元二次方程

ax?—bx+c=0的一個實根；A=Z?2—4-ac>0b2>4ac故選B.

方法二：去分母，移項，兩邊平方得：

5b2=25a2+l0ac+c2>l0ac+2x5axc=20ac-'-b2>4ac故選B.

例&(1)求sir?20"+cos280"+Gsin20"cos80"的值；

(2)求函數yusinx+Jl+cos?x的最大值.

點撥：(1)利用所求式與余弦定理類似，再結合正弦定理的推論求值；(2)將函數最值

問題轉換為向量數量積問題，由數量積的不等式性質，求出y最大值.

解：(1)注意到所求式與余弦定理類似，由

c2-a2+b2-2abeosCosin?C=sin2A+sin2B_2sinAsinBcosC

AJM^sin220"+sin2100-2sin200sin10"cos150"=sin2150"=L

4

(2)構造向量a=(l,l),1=(sinx,Ji［貝(l|aHB|=0，由|。4區(qū)|a||B|知，

|y|=|sinx+Jl+cos」x|=|a?B兇a11B|=2,

?..{ax=2,當且僅當「與否共線且方向相同時，

即sinx-A/1+COS2xncos2x--\^=>x-k7r+—,k&Z時等號取得.

2

變式：.已知A={(x,y)|以+by=1},；8={(x,y)|x>0,^>l,x+y<2}>若AClBw。

恒成立，則2a+3b的取值范圍是.

解.提示：設2a+3人=左，則一a+巳b=l,

2kk

所以直線ax+力=1過定點號,j,

23

要使AABw。恒成立，則定點(二,彳)在區(qū)域內，

2355

所有一20,巳之1,±<2,解得

kkk2

3、數形結合法

就是利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題(如解方程、解不等

式、求最值，求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單

計算，確定正確答案的方法。這種解法貫穿數形結合思想，每年高考均有很多客

觀題(也有解答題)都可以用數形結合思想解決，既簡捷又迅速。

例9.已知函數/(x)=-/-x+a，g(x)=《'一一，且y=g(x)-ax

［f(x-l)+2,x>2

恰有三個不同零點，則實數。的取值范圍為.

例10.已知實數a、b、c滿足3a—/?—c=0則原點0(0,0)到直線依+分+c=0的

距離的最大值為.

解：因為直線ax+bg+c=。，又a-b-c=O,所以直線過定點(-Z,1),所以原

點0(。，。)到直線ax+bg+c=O的距離的最大值即為原點到定點的距離：V2

變式：設二次函數+—在［3,4］上至少有一個零

點，則后+從的最小值為()

11

（2百+4）2

把等式看成關于〃的直線方程：（/一l）a+2xZ?+x—2=0,利用直線上一點（a,〃）到原

點的距離大于原點到直線的距離，即，旭+從之1—J（以下同上）。

1）2+（2幻2

例11.在AABC中，AB=G,BC=2,NA=],如果不等式|麗一f及上|印@恒成立，

則實數f的取值范圍是（）

A.[1,+co）B.C1―8，gU[l,+°°）D.（-oo,0]U[l，+co）

例12、已知向量b,且W=2,=（2M—6）=0,貝%+（l—2/間

（feR）的最小值為.

例13.點。為△八BC的夕卜心，已知AB=3,AC=29若4O=xA8+y4C,

x+2y=1,則cosB=.A

解析：如圖。為AC中點

AO=xAB+yAC=xAB+2y-^-

7

,.?x+2y??瓦。。三點共線，所以A5=3C=3.\cosB=-.

4、推理分析法

推理分析法就是對有關概念進行全面、正確、深刻的理解或對有關信息提取、

分析和加工后而作出判斷和選擇的方法。

（1）特征分析法一一根據題目所提供的信息，如數值特征、結構特征、位

置特征等，進行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法。

（2）邏輯分析法一一通過對選項之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤項,

選出正確項的方法，稱為邏輯分析法。

（3）整體分析法一一在處理某些問題時，常常需要把某一部分作為一個整

體來處理。這種做法常見于不等式、三角函數、數列解題中，整體分析法的實質

就是把問題化繁為簡。

例14涵數/（尤）=蘇+區(qū)+c（"0）的圖像關于直線對稱。據此可推測，

對任意的非零實數a,仇c,關于x的方程〃71y（x）「+W（x）+〃=O的解集都

不可能是（）

A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}

【解析】（特征分析法）若解集不可能是A,則解集也不可能是C,所以不選A,同

理也不選B,答案只能在C、D中產生；若方程有四個解，根據題意可知其中兩

組解必是關于某條直線對稱，在C選項中:1、4關于x=2.5對稱，2、3也關于x=2.5

對稱，所以是可能的解，而D選項沒有這樣的對稱軸。

【答案】D

例15.當xe[-4,0]時，a+J一f-4x[x+l恒成立,則a的一個可能取值為

（）

55

A.5B.C.---D.—5

33

【解析】（邏輯分析法）若A正確，則B,C,D正確；若B正確，則C,D正確；若C

正確，則D也正確，所以選D.

【答案】D

例16?已知sinx=,cosx=~—,(工＜了＜乃),貝！Jtan土二()

根+5m+522

A.A.gB.WC.1D.5

9-m4-2m3

【解析】由于受sinO+cc^xul的制約，m為一確定的值，于是sinx、cosx的

值應與m的值無關，進而推知tanx的值與m無關。又會―所以（苫〈會

y

所以tan萬＞1,故選D.

【答案】D

5、極限法

從有限到無限，從近似到精確，從量變到質變，應用極限思想解決某些問題,

可以避開抽象、復雜的運算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程。在一些選擇題中，

有一些任意選取或者變化的元素，我們對這些元素的變化趨勢進行研究分析它們

的極限情況或者極端位置，并進行估算，以此來判斷選擇的結果。這種通過動態(tài)

變化，或對極端取值來解選擇題的方法稱為極限法。

例17.若正四棱錐相鄰側面所成的二面角的平面角為a,側面與底面所成的二面

角的平面角為尸，則2cosa+cos2〃的值是（）

A.lB.2C.-1D.-

2

【解析】考慮到正四棱錐的高無限增大時對角必，的變化影響，當正四棱錐的

高無限增大時，a—>90',尸—>90,，則2cosa+8s2￡—>2cos90°+cosl80"=-1

【答案】C

例

18.過拋物線y=幺2.>o）的焦點/作一直線交拋物線于p、。兩點，若線段如、

廠部長度分別是P、孫則,+_1=（）

pq

A.2aB.4aC.—D.—

2a4a

【解析】讓點P沿拋物線無限升高，趨向于無窮遠時，點Q趨向于原點。，

p―+8,--->0,q—>IOF\——,-->4a,

p14aq

【答案】B

6.構造法

B

tan—

例19.已知小仿C中，a=10,c-b=8,則一。

tan—

2

【解析】以BC所在直線為x軸，BC中點為坐標原點，建立直角坐標系，

22

由忸4=10,|陰-|4。=8,則點A（%,y）在雙曲線土-二=1的右支上。

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做AABC內切圓，