2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專(zhuān)題09直角三角形的存在性問(wèn)題(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題09直角三角形的存在性問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航【問(wèn)題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．【幾何法】?jī)删€(xiàn)一圓得坐標(biāo)（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線(xiàn)；第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線(xiàn)作垂線(xiàn)，即可得三垂直相似．【代數(shù)法】表示線(xiàn)段構(gòu)勾股還剩下待求，不妨來(lái)求下：（1）表示點(diǎn)：設(shè)坐標(biāo)為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線(xiàn)段：，，；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)為直角時(shí)，；（4）代入得方程：，解得：．還有個(gè)需要用到一個(gè)教材上并沒(méi)有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：互相垂直的兩直線(xiàn)斜率之積為-1．考慮到直線(xiàn)與AB互相垂直，，可得：，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（1,1），可得解析式為：y=-2x+3，所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，即坐標(biāo)為．確實(shí)很簡(jiǎn)便，但問(wèn)題是這個(gè)公式出現(xiàn)在高中的教材上~【小結(jié)】幾何法：（1）“兩線(xiàn)一圓”作出點(diǎn)；（2）構(gòu)造三垂直相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線(xiàn)段，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù)．代數(shù)法：（1）表示點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)；（2）表示線(xiàn)段AB、AC、BC；（3）分類(lèi)討論①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果問(wèn)題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過(guò)三垂直得到的不是相似，而是全等．二、典例精析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)谳S上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）拋物線(xiàn)：，直線(xiàn)AC：y=3x+3；（2）看圖，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）與C點(diǎn)重合了．（3）考慮到AC為直角邊，故分別過(guò)A、C作AC的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，有如下兩種情況，先求過(guò)A點(diǎn)所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則PM=m+1，AM=，易證△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴，解得：，（舍），故第1個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為；再求過(guò)點(diǎn)C所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：，CN=m，，解得：，（舍），故第2個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．三、中考真題演練1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線(xiàn)向左平移，使得平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線(xiàn)都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線(xiàn)平移，平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線(xiàn)上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線(xiàn)的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．3．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線(xiàn)沿直線(xiàn)翻折得到拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；7．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．(3)點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；9．（2022·四川雅安·中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；10．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．(1)求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)M為該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．專(zhuān)題09直角三角形的存在性問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航【問(wèn)題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．【幾何法】?jī)删€(xiàn)一圓得坐標(biāo)（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線(xiàn)；第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線(xiàn)作垂線(xiàn)，即可得三垂直相似．【代數(shù)法】表示線(xiàn)段構(gòu)勾股還剩下待求，不妨來(lái)求下：（1）表示點(diǎn)：設(shè)坐標(biāo)為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線(xiàn)段：，，；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)為直角時(shí)，；（4）代入得方程：，解得：．還有個(gè)需要用到一個(gè)教材上并沒(méi)有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：互相垂直的兩直線(xiàn)斜率之積為-1．考慮到直線(xiàn)與AB互相垂直，，可得：，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（1,1），可得解析式為：y=-2x+3，所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，即坐標(biāo)為．確實(shí)很簡(jiǎn)便，但問(wèn)題是這個(gè)公式出現(xiàn)在高中的教材上~【小結(jié)】幾何法：（1）“兩線(xiàn)一圓”作出點(diǎn)；（2）構(gòu)造三垂直相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線(xiàn)段，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù)．代數(shù)法：（1）表示點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)；（2）表示線(xiàn)段AB、AC、BC；（3）分類(lèi)討論①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果問(wèn)題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過(guò)三垂直得到的不是相似，而是全等．二、典例精析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)谳S上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）拋物線(xiàn)：，直線(xiàn)AC：y=3x+3；（2）看圖，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）與C點(diǎn)重合了．（3）考慮到AC為直角邊，故分別過(guò)A、C作AC的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，有如下兩種情況，先求過(guò)A點(diǎn)所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則PM=m+1，AM=，易證△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴，解得：，（舍），故第1個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為；再求過(guò)點(diǎn)C所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：，CN=m，，解得：，（舍），故第2個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．三、中考真題演練1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線(xiàn)向左平移，使得平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線(xiàn)都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線(xiàn)平移，平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線(xiàn)上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線(xiàn)向左平移后的拋物線(xiàn)為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線(xiàn)為∵過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線(xiàn)都下降，在的對(duì)稱(chēng)軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線(xiàn)也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)為，則頂點(diǎn)為，∵頂點(diǎn)為在上，∴，∴平移后的拋物線(xiàn)為，頂點(diǎn)為，∵原拋物線(xiàn)，∴原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∵平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)Q，∴，∵點(diǎn)Q、C在直線(xiàn)x=1上，平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P在原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線(xiàn)的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡(jiǎn)得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時(shí)，，當(dāng)p=時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線(xiàn)的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”滿(mǎn)足，，∴點(diǎn)，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，故答案為：，；（2）∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴把代入得，∴，∵“夢(mèng)之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢(mèng)之點(diǎn)”都在直線(xiàn)上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線(xiàn)的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點(diǎn)，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將、、代入拋物線(xiàn)解析式求解即可；（3）過(guò)作交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于，過(guò)作交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線(xiàn)的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為．（3）解：存在，如圖，過(guò)作交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于，過(guò)作交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于，連接，

∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線(xiàn)的解析式為，則有，解得，直線(xiàn)解析式為，，且經(jīng)過(guò)，直線(xiàn)解析式為，當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線(xiàn)沿直線(xiàn)翻折得到拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；【分析】（1）將拋物線(xiàn)解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，即可求解．（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，則拋物線(xiàn)．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．【詳解】（1）∵，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．∵，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．∴．（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴，拋物線(xiàn)．∴當(dāng)時(shí)，可得．①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直線(xiàn)軸，∴．∴．∵，∴．∴．又∵點(diǎn)在圖像上，∴．解得或．∵當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)重合，舍去．當(dāng)時(shí)，符合題意．將代入，得．

②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵點(diǎn)在圖像上，∴．解得或．∵，∴．此時(shí)符合題意．將代入，得．③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．綜上，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．5．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y＝kx－6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵在拋物線(xiàn)上，∴，∴，∴拋物線(xiàn)解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，（舍），∴．∵在直線(xiàn)上，∴，∴，∴一次函數(shù)解析式為．（2）解：如圖，作軸于點(diǎn)，對(duì)于，令x=0，則y=-6，∴點(diǎn)C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．∴，∴，，∵∠CAP=90°，∴，∵，∴，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴，∴，∴，即，∴（舍），，∴，∴點(diǎn)．6．（2022·廣西柳州·中考真題）已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；(3)如圖2，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)b=4，c=5，m=5(3)所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），（2，﹣9）【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，證明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直線(xiàn)的解析式為：可得設(shè)P（2，p），再利用勾股定理表示BP2＝，再分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：∴這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，∴軸，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），設(shè)直線(xiàn)BN的解析式為y＝mx+n，∴解得：∴直線(xiàn)的解析式為：∴設(shè)P（2，p），∴BP2＝，分兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP2＝PQ2+BQ2，∴解得：∴②當(dāng)∠QBP＝90°時(shí)，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴解得：∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2，﹣9）．綜上，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，二次函數(shù)與直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．(3)點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（3）分三種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線(xiàn)解析式為：，將A（-4,0）代入得，解得：，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線(xiàn)解析式為：，將B（0，-4）代入得，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，由于PA所在直線(xiàn)斜率為：，PB在直線(xiàn)斜率為：，=-1，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，．【詳解】（1）解：將B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：．（3）①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線(xiàn)解析式為：，將A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直線(xiàn)解析式為：，∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線(xiàn)解析式為：，將B（0，-4）代入得，，∴PA所在直線(xiàn)解析式為：，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴PA所在直線(xiàn)斜率為：，PB在直線(xiàn)斜率為：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：，綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，時(shí)，△PAB為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明