2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第十一章11.4　回歸分析(學(xué)生版+解析)

§11.4回歸分析考試要求1.會作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．知識梳理相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)．②負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(2)線性相關(guān)關(guān)系如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做________________．(3)回歸方程①最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的________________________________的方法叫做最小二乘法．②回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝.))(4)回歸分析①定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．②樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中________________稱為樣本點(diǎn)的中心．③相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量________________；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量________________．r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性________．r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于________時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．常用結(jié)論1．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).3．回歸分析是基于樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷的，得出的結(jié)論可能犯錯(cuò)誤．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．()(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．()(3)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．()(4)相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．()教材改編題1．在對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是()A．①②④③ B．③②④①C．②③①④ D．②④③①2．對于x，y兩個(gè)變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的相關(guān)系數(shù)r如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是()A．－0.82 B．0.78C．－0.69 D．0.873．某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測用電量約為()A．68度 B．52度C．12度 D．28度題型一數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)(2023·保定模擬)已知兩個(gè)變量x和y之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列說法中正確的是()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·大同模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，相關(guān)系數(shù)為r2.則()A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)．(3)線性回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)某公司2017～2022年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：年份201720182019202020212022年利潤x12.214.6161820.422.3年廣告支出y0.620.740.810.8911.11根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則利潤中位數(shù)()A．是16，x與y有正相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系(2)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y＝b1·ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大小結(jié)果為()A．r1>r2 B．r1＝r2C．r1<r2 D．不確定題型二回歸分析命題點(diǎn)1線性回歸模型例2(2023·蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對存款利率與日存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到下表：利率上升百分點(diǎn)x0.10.20.30.40.5日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的線性回歸方程，預(yù)測日均存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？參考公式及數(shù)據(jù)：①eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，②eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝0.9，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝0.55.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2非線性回歸模型例3(2023·保山模擬)某縣為了解鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，對全縣鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況進(jìn)行調(diào)研，現(xiàn)對2013年以來的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入y(單位：億元)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，制成如圖所示的散點(diǎn)圖，其中年份代碼x的值1—10分別對應(yīng)2013年至2022年．(1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋beq\r(x)擬合y與x的關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)分別為r1＝0.8519，r2＝0.9901，試判斷哪個(gè)模型的相關(guān)程度更強(qiáng)？(2)根據(jù)(1)中相關(guān)程度更強(qiáng)的模型，求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并估計(jì)該縣2026年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：ti＝eq\r(xi)，eq\x\to(t)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,t)i，eq\r(13)≈3.606，eq\r(14)≈3.742，eq\r(15)≈3.873.eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))·(yi－eq\x\to(y))72.652.25126.254.52235.4849.16參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(t1，y1)，(t2，y2)，…，(tn，yn)，線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求線性回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2(2022·南充模擬)某特色餐館開通了某APP的外賣服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)x(單位：份)與收入y(單位：元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：外賣份數(shù)x(份)24568收入y(元)3040605070(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法求出收入y關(guān)于外賣份數(shù)x的線性回歸方程；(3)據(jù)此估計(jì)外賣份數(shù)為12時(shí)，收入為多少元．參考數(shù)據(jù)與公式：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三殘差分析例4(1)下列說法中正確的是()①在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.85x＋2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量eq\o(y,\s\up6(^))平均減少2.3個(gè)單位；②在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.85x＋2.3中，相對于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為－0.25；③在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好；④若兩個(gè)變量的相關(guān)指數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好．A．①③ B．①②④C．①④ D．②③④聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了新能源整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格不斷升高，如表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5,1.5)處的殘差為－0.06，則m＝________.聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．(2)R2分析：通過公式計(jì)算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差．跟蹤訓(xùn)練3(1)下列命題是真命題的為()A．回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))一定不過樣本點(diǎn)B．可以用相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的值越小，說明兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱C．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2＝0.80的模型比相關(guān)指數(shù)R2＝0.98的模型擬合的效果要好D．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好(2)兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋40，則相應(yīng)于點(diǎn)(9,11)的殘差為________．§11.4回歸分析考試要求1.會作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．知識梳理相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)．②負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(2)線性相關(guān)關(guān)系如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(3)回歸方程①最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(4)回歸分析①定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．②樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．③相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．常用結(jié)論1．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).3．回歸分析是基于樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷的，得出的結(jié)論可能犯錯(cuò)誤．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(√)(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．(√)(3)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．(×)(4)相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．(√)教材改編題1．在對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是()A．①②④③ B．③②④①C．②③①④ D．②④③①答案D解析根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，然后繪制散點(diǎn)圖，再求回歸方程，最后對所求的回歸方程作出解釋．2．對于x，y兩個(gè)變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的相關(guān)系數(shù)r如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是()A．－0.82 B．0.78C．－0.69 D．0.87答案D解析由相關(guān)系數(shù)的絕對值|r|越大，變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)知，各選項(xiàng)中r＝0.87的絕對值最大，故線性相關(guān)性最強(qiáng)．3．某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測用電量約為()A．68度 B．52度C．12度 D．28度答案A解析由表格可知eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，根據(jù)回歸直線必過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝40＋20＝60，則回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，因此當(dāng)x＝－4時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝68.題型一數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)(2023·保定模擬)已知兩個(gè)變量x和y之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列說法中正確的是()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0答案B解析由已知數(shù)據(jù)可知y隨著x的增大而減小，則變量x和y之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0.又eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝1.1－5eq\o(b,\s\up6(^))>0.(2)(2022·大同模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，相關(guān)系數(shù)為r2.則()A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0答案D解析根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，剔除點(diǎn)(10,21)后，剩下的數(shù)據(jù)線性相關(guān)性更強(qiáng)；所以樣本相關(guān)系數(shù)－1<r2<r1<0.思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)．(3)線性回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)某公司2017～2022年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：年份201720182019202020212022年利潤x12.214.6161820.422.3年廣告支出y0.620.740.810.8911.11根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則利潤中位數(shù)()A．是16，x與y有正相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)相關(guān)關(guān)系答案B解析由題意知，年利潤的中位數(shù)是eq\f(16＋18,2)＝17，而且隨著年利潤x的增加，年廣告支出y也在增加，故x與y有正相關(guān)關(guān)系．(2)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y＝b1·ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大小結(jié)果為()A．r1>r2 B．r1＝r2C．r1<r2 D．不確定答案C解析由散點(diǎn)圖可知，用y＝b1·ln(k1x)擬合比用y＝k2x＋b2擬合的效果更好，故|r1|>|r2|；又因?yàn)閤，y負(fù)相關(guān)，所以－r1>－r2，即r1<r2.題型二回歸分析命題點(diǎn)1線性回歸模型例2(2023·蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對存款利率與日存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到下表：利率上升百分點(diǎn)x0.10.20.30.40.5日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的線性回歸方程，預(yù)測日均存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？參考公式及數(shù)據(jù)：①eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，②eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝0.9，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝0.55.解(1)如圖所示．(2)由表格數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(0.9－5×0.3×0.5,0.55－5×0.3×0.3)＝1.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋0.05.(3)設(shè)利率需上升x個(gè)百分點(diǎn)，由(2)得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以預(yù)測利率需上升0.8個(gè)百分點(diǎn)．命題點(diǎn)2非線性回歸模型例3(2023·保山模擬)某縣為了解鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，對全縣鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況進(jìn)行調(diào)研，現(xiàn)對2013年以來的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入y(單位：億元)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，制成如圖所示的散點(diǎn)圖，其中年份代碼x的值1—10分別對應(yīng)2013年至2022年．(1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋beq\r(x)擬合y與x的關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)分別為r1＝0.8519，r2＝0.9901，試判斷哪個(gè)模型的相關(guān)程度更強(qiáng)？(2)根據(jù)(1)中相關(guān)程度更強(qiáng)的模型，求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并估計(jì)該縣2026年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：ti＝eq\r(xi)，eq\x\to(t)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,t)i，eq\r(13)≈3.606，eq\r(14)≈3.742，eq\r(15)≈3.873.eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))·(yi－eq\x\to(y))72.652.25126.254.52235.4849.16參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(t1，y1)，(t2，y2)，…，(tn，yn)，線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解(1)因?yàn)閞2更接近1，所以y＝a＋beq\r(x)的相關(guān)程度更強(qiáng)．(2)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,10,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(49.16,4.52)≈10.88，則eq\o(a,\s\up6(^))≈72.65－10.88×2.25＝48.17，所以非線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝48.17＋10.88eq\r(x)，2026年的年份代碼為14，當(dāng)x＝14時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝48.17＋10.88×eq\r(14)≈88.88，所以估計(jì)該縣2026年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入為88.88億元．思維升華求線性回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2(2022·南充模擬)某特色餐館開通了某APP的外賣服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)x(單位：份)與收入y(單位：元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：外賣份數(shù)x(份)24568收入y(元)3040605070(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法求出收入y關(guān)于外賣份數(shù)x的線性回歸方程；(3)據(jù)此估計(jì)外賣份數(shù)為12時(shí)，收入為多少元．參考數(shù)據(jù)與公式：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由表格數(shù)據(jù)得，eq\x\to(x)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5，因此所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.(3)當(dāng)x＝12時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝12×6.5＋17.5＝95.5，即外賣份數(shù)為12時(shí)，預(yù)測收入為95.5元．題型三殘差分析例4(1)下列說法中正確的是()①在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.85x＋2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量eq\o(y,\s\up6(^))平均減少2.3個(gè)單位；②在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.85x＋2.3中，相對于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為－0.25；③在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好；④若兩個(gè)變量的相關(guān)指數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好．A．①③ B．①②④C．①④ D．②③④答案D解析對于①，根據(jù)線性回歸方程，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量eq\o(y,\s\up6(^))平均減少0.85個(gè)單位，故①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)解釋變量x＝1時(shí)，預(yù)報(bào)變量eq\o(y,\s\up6(^))＝1.45，則樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為－0.25，故②正確；對于③，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明擬合精度越高，即擬合效果越好，故③正確；對于④，由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故④正確．(2)新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了新能源整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格不斷升高，如表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5,1.5)處的殘差為－0.06，則m＝________.答案1.4解析由題設(shè)，1.5－eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5－(0.28×5＋eq\o(a,\s\up6(^)))＝－0.06，可得eq\o(a,\s\up6(^))＝0.16.又eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5,5)＝eq\f(3.6＋m,5)，所以0.28×3＋0.16＝eq\f(3.6＋m,5)，可得m＝1.4.思維升華檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．(2)R2分析：通過公式計(jì)算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差．跟蹤訓(xùn)練3(1)下列命題是真命題的為()A．回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))一定不過樣本點(diǎn)B．可以用相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的值越小，說明兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱C．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2＝0.80的模型比相關(guān)指數(shù)R2＝0.98的模型擬合的效果要好D．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好答案D解析對于A，回歸直線可能經(jīng)過樣本點(diǎn)，一定經(jīng)過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以A是假命題；對于B，由相關(guān)系數(shù)的意義知，當(dāng)|r|越接近0時(shí)，表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越弱，所以B是假命題；對于C，用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，所以C是假命題；對于D，由殘差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義知，D是真命題．(2)兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋40，則相應(yīng)于點(diǎn)(9,11)的殘差為________．答案－0.2解析因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以8＝10eq\o(b,\s\up6(^))＋40，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－3.2，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝11.2，所以殘差為11－11.2＝－0.2.課時(shí)精練1．下列說法中不正確的是()A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不是因果關(guān)系B．散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C．回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系D．任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程答案D解析根據(jù)兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的概念，可知A正確；散點(diǎn)圖能直觀地描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)程度，所以B正確；回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，所以C正確；具有相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)才有回歸方程，所以D不正確．2．對于相關(guān)系數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是()A．相關(guān)系數(shù)可以用來判斷樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性B．相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的C．相關(guān)系數(shù)r∈[－1,1]D．相關(guān)系數(shù)越大，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)答案D解析相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故D錯(cuò)誤．3．(2023·運(yùn)城模擬)在線性回歸模型中，變量x與y的一組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)均在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)，則R2等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D.eq\f(5,2)答案C解析因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)均在一條直線上，所以R2＝1.4．某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與所需某種材料y(單位：噸)之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列四個(gè)說法中不正確的為()x3467y2.5345.9A.變量x與y正相關(guān)B．y與x的相關(guān)系數(shù)r>0C.eq\o(a,\s\up6(^))＝0.45D．當(dāng)產(chǎn)量為8噸時(shí)，預(yù)測所需材料為5.95噸答案C解析因?yàn)榫€性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以變量x與y呈正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r>0，故A正確，B正確；由表格可得eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋6＋7,4)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋5.9,4)＝3.85，則0.7×5＋eq\o(a,\s\up6(^))＝3.85，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝0.35，故C不正確；所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×8＋0.35＝5.95，即產(chǎn)量為8噸時(shí)，預(yù)測所需材料為5.95噸，故D正確．5．(2023·成都模擬)某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn)，選擇了10名志愿者，對其身高(單位：cm)和臂展(單位：cm)進(jìn)行了測量，這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示．已知這10名志愿者身高的平均值為176cm，根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展u關(guān)于身高v的線性回歸方程為eq\o(u,\s\up6(^))＝1.2v－34，則下列結(jié)論正確的是()①這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差；②這10名志愿者的身高和臂展負(fù)相關(guān)；③這10名志愿者臂展的平均值為176.2cm；④根據(jù)線性回歸方程可估計(jì)身高為160cm的人的臂展為158cm.A．①② B．①④C．②③ D．②④答案B解析對于①，因?yàn)檫@10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差，故①正確；對于②，因?yàn)?.2>0，所以這10名志愿者的身高和臂展正相關(guān)，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)檫@10名志愿者身高的平均值為176cm，所以這10名志愿者臂展的平均值為1.2×176－34＝177.2(cm)，故③錯(cuò)誤；對于④，若一個(gè)人的身高為160cm，則由線性回歸方程eq\o(u,\s\up6(^))＝1.2v－34，可得這個(gè)人的臂展的估計(jì)值為158cm，故④正確．6．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)列于表中．已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋eq\o(a,\s\up6(^))，現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為(30,23.6)，則該數(shù)據(jù)的殘差為()色差x21232527色度y15181920A.－0.96B．－0.8C．0.8D．0.96答案C解析由題意可知，eq\x\to(x)＝eq\f(21＋23＋25＋27,4)＝24，eq\x\to(y)＝eq\f(15＋18＋19＋20,4)＝18，將(24,18)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋eq\o(a,\s\up6(^))，即18＝0.8×24＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝－1.2，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－1.2，當(dāng)x＝30時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×30－1.2＝22.8，所以該數(shù)據(jù)的殘差為23.6－22.8＝0.8.7．某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：廣告費(fèi)用x(萬元)2356銷售額y(萬元)28314148根據(jù)此表可得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額為________萬元．答案57解析由表格，得eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(28＋31＋41＋48,4)＝37，所以37＝5×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝17，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋17，所以預(yù)測當(dāng)廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)，銷售額為5×8＋17＝57(萬元)．8．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y＝2e2x＋1的圖象附近，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性回歸方程eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(m,\s\up6(^))x＋eq\o(n,\s\up6(^))，則eq\o(m,\s\up6(^))eq\o(n,\s\up6(^))＝________.答案2ln2＋2解析由z＝lny，則lny＝ln2e2x＋1，即z＝ln2＋lne2x＋1＝ln2＋2x＋1，則eq\o(z,\s\up6(^))＝2x＋ln2＋1，故eq\o(m,\s\up6(^))＝2，eq\o(n,\s\up6(^))＝ln2＋1，所以eq\o(m,\s\up6(^))eq\o(n,\s\up6(^))＝2ln2＋2.9．假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)線性相關(guān)，統(tǒng)計(jì)資料如下．x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4.(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)；(2)計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r(精確到0.001)，并判斷該設(shè)備的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的線性相關(guān)程度．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.0.(2)eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2≈140.8－5×52＝15.8，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))≈eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987，r接近1，說明該設(shè)備的使用年限與所支出的維修費(fèi)用之間的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．10．(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝0.038，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝1.6158，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝0.2474.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))，eq\r(1.896)≈1.377.解(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值eq\x\to(x)＝eq\f(0.6,10