2024九年級數(shù)學下冊第28章銳角三角函數(shù)綜合素質評價新版新人教版

其次十八章綜合素養(yǎng)評價一、選擇題(每題3分，共30分)1．下列實數(shù)中是無理數(shù)的是()A．tan30° B．eq\r(3,8) C．eq\f(1,7) D．eq\r(49)2．(母題：教材P84復習題T1)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則cosA等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)3．[2024·太原五中模擬]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝eq\r(3)，則∠B等于()A．15° B．45° C．30° D．60°4．如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinB的值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(1,2) D．eq\r(3)5．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知AB＝4，BC＝5，則cos∠EFC的值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3) C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)6.為出行便利，近日來越來越多的市民運用了共享單車，圖①為單車實物圖，圖②為單車示意圖，AB與地面平行，點A，B，D共線，點D，F(xiàn)，G共線，坐墊C可沿射線BE方向調整．已知∠ABE＝70°，車輪半徑為20cm，當BC＝60cm時，小明體驗后覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為()(結果精確到1cm，參考數(shù)據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)A．80cm B．72cm C．76cm D．70cm7．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，若∠A＝30°，則sinE的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)8．如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOBC的邊OB在x軸上，∠AOB＝60°，B(4，0)，點D，E分別是邊OB，OA上的點，將△OED沿DE折疊，使點O的對應點F落在邊AC上，若AE＝AF，則點F的坐標為()A．(2eq\r(3)，2eq\r(3)) B．(2eq\r(3)，4) C．(3，4) D．(2eq\r(3)，3)9．等腰三角形一腰上的高與腰長之比是12，則等腰三角形頂角的度數(shù)為()A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°10．[2024·瀘州]如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝eq\f(4,3)，若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為()A．y＝3x B．y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(15,2) C．y＝－2x＋11 D．y＝－2x＋12二、填空題(每題3分，共24分)11.如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約________m(結果取整數(shù))．(參考數(shù)據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)12．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosB))eq\s\up12(2)＝0，∠A，∠B都是銳角，則∠C＝________.13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinA＝eq\f(5,13)，以點C為圓心，R為半徑作圓，使A，B兩點一點在圓內，一點在圓外，那么R的取值范圍是__________．14．(母題：教材P69習題T8)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝eq\f(3,4)，則平行四邊形ABCD的面積是______．15．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，假如將線段BD圍著點B旋轉后，點D落在CB的延長線上的點D′處，那么tan∠BAD′等于________．16．[2024·連云港]如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x<0)的圖象上，頂點B，C在第一象限，對角線AC∥x軸，交y軸于點D．若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，則k＝________．17．[2024·桂林]如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O動身沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是________m.18．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是BC邊上的動點，過點E作EF⊥AE交CD于點F，點G在AE上，且EG＝EF，點M，N分別為GF，CD的中點，連接MN，則MN的最小值為________．三、解答題(20題8分，21題10分，其余每題12分，共66分)19．(母題：教材P68習題T3)計算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)(eq\r(3)－1)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)＋|eq\r(3)－2|＋tan60°.20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的長．21．[2024·鄂爾多斯]如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC的中點，連接OE，DE，BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝eq\f(4,5)，求OE的長．22．[2024·重慶]為了滿足市民的需求，我市在一條小河AB兩側開拓了兩條長跑熬煉線路，如圖：①A－D－C－B；②A－E－B．經勘測，點B在點A的正東方，點C在點B的正北方10千米處，點D在點C的正西方14千米處，點D在點A的北偏東45°方向，點E在點A的正南方，點E在點B的南偏西60°方向．(參考數(shù)據：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)(1)求AD的長度．(結果精確到1千米)(2)由于時間緣由，小明確定選擇一條較短線路進行熬煉，請計算說明他應當選擇線路①還是線路②？23．[2024·潛江]為了防洪須要，某地確定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD的長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長．(結果精確到0.1米)(參考數(shù)據：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)24.“十四五”開局，全面推動鄉(xiāng)村振興，加快農村農業(yè)現(xiàn)代化，無人機遙感數(shù)據采集引領農業(yè)精準發(fā)展．如圖，某農業(yè)特色品牌示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為120m的A處測得試驗田一側邊界N處俯角為60°，無人機垂直下降40m至B處，又測得試驗田另一側邊界M處俯角為48°，已知點A，B，M，N在同一平面內，求試驗田邊界M，N之間的距離．(參考數(shù)據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，eq\r(3)≈1.73，結果精確到0.1m)

答案一、1．A2．B3．D【點撥】依據直角三角形的邊角關系，求出tanB的值，再依據特殊銳角的三角函數(shù)值得出答案．4．A【點撥】過點A作BC的垂線，與BC的延長線交于點D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，計算即可得出答案．5．D6．C【點撥】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函數(shù)求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．7．A8．A【點撥】過A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.依據四邊形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝eq\f(1,2)OA＝2，AH＝eq\r(3)OH＝2eq\r(3)，則A(2，2eq\r(3))．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝eq\f(\r(3),2)AE.故EF＝eq\r(3)AE.由將△OED沿DE折疊，使點O的對應點F落在邊AC上，有OE＝EF＝eq\r(3)AE，從而eq\r(3)AE＋AE＝4，則AE＝2eq\r(3)－2，即AF＝2eq\r(3)－2，可得F(2eq\r(3)，2eq\r(3))．9．D【點撥】有兩種狀況：當頂角為銳角時，如圖①，sinA＝eq\f(1,2)，則∠A＝30°；當頂角為鈍角時，如圖②，sin(180°－∠BAC)＝eq\f(1,2)，則180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．D【點撥】連接OB，AC，它們交于點M，連接AE，BF，它們交于點N，作直線MN，則直線MN為符合條件的直線l，如圖．∵四邊形OABC是矩形，∴OM＝BM.∵點B的坐標為(10，4)，∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.∵四邊形ABEF為菱形，∴BE＝AB＝10.如圖，過點E作EG⊥AB于點G.在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝eq\f(4,3)，∴eq\f(EG,BG)＝eq\f(4,3).設EG＝4k，則BG＝3k，∴BE＝eq\r(EG2＋BG2)＝5k.∴5k＝10.∴k＝2.∴EG＝8，BG＝6.∴AG＝4.∴E(4，12)．∵點B的坐標為(10，4)，AB∥x軸，∴A(0，4)．易知點N為AE的中點，∴N(2，8)．設直線l的解析式為y＝ax＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a＋b＝2，,2a＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝12.))∴直線l的解析式為y＝－2x＋12.故選D．二、11.21【點撥】∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝eq\f(CD,sin37°)≈eq\f(3,0.6)＝5(m)，AD＝eq\f(CD,tan37°)≈eq\f(3,0.75)＝4(m)，∴CA＝CB≈5m，AB＝2AD≈8(m)，∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．∴共需鋼材約21m.12．105°13．5＜R＜12【點撥】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinA＝eq\f(5,13)，∴BC＝AB×sinA＝13×eq\f(5,13)＝5.∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12.∵以點C為圓心，R為半徑作圓，使A，B兩點一點在圓內，一點在圓外，∴5＜R＜12.14．3eq\r(7)15.eq\r(2)【點撥】由題意知BD′＝BD＝2eq\r(2).在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝eq\f(BD′,AB)＝eq\f(2\r(2),2)＝eq\r(2).16．－eq\f(8,3)【點撥】如圖，作AE⊥x軸于點E.∵矩形OABC的面積是6，∴△AOC的面積是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，∴eq\f(OA,AC)＝eq\f(2,3).∵對角線AC∥x軸，∴∠AOE＝∠OAC．∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴eq\f(S△OEA,S△AOC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(S△OEA,3)＝eq\f(4,9).∵S△OEA＝eq\f(1,2)|k|，k<0，∴k＝－eq\f(8,3).故答案為－eq\f(8,3).17．20eq\r(3)18.eq\r(2)【點撥】如圖，連接AC，BD交于點O，由題意得∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，連接ME，CM，由EG＝EF，EF⊥AE，點M為GF的中點，可知EM⊥GF，∠MEF＝45°，所以∠EMF＝∠BCD＝90°，故E，M，F(xiàn)，C在以EF為直徑的圓上，所以∠MCN＝∠MEF＝45°，則M在線段AC上運動，當NM⊥AC時，MN最短，從而可得答案．三、19.【解】(1)原式＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).(2)原式＝1＋9＋2－eq\r(3)＋eq\r(3)＝12.20．【解】過C點作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，∴∠CDB＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝180°－∠ABC＝60°.∵BC＝2，∴sin∠CBD＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CD,2)，cos∠CBD＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(BD,2)，即sin60°＝eq\f(CD,2)＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(BD,2)＝eq\f(1,2).∴CD＝eq\r(3)，BD＝1.∵AB＝4，∴AD＝AB＋BD＝4＋1＝5.∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(52＋(\r(3))2)＝2eq\r(7)，即AC的長為2eq\r(7).21．(1)【證明】如圖，連接OD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝90°.∵E是BC的中點，∴DE＝BE＝EC＝eq\f(1,2)BC．∵⊙O與BC相切于點B，∴∠ABC＝90°.在△DOE和△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OB，,DE＝BE，,OE＝OE，))∴△DOE≌△BOE(SSS).∴∠ODE＝∠ABC＝90°.∴OD⊥DE.又∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線．(2)解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°.由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10.∴∠C＝∠ABD．在Rt△ABC中，AC＝eq\f(BC,cosC)＝eq\f(BC,cos∠ABD)＝eq\f(10,\f(4,5))＝eq\f(25,2).∵OA＝OB,BE＝CE，∴OE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(25,4).22．【解】(1)如圖，過點D作DF⊥AE，垂足為F，由題意得四邊形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米．在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝eq\f(AF,cos45°)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的長度約為14千米；(2)小明應當選擇線路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24×eq\f(