【高考真題】2024年北京市高考數(shù)學卷

【高考真題】2024年北京市高考數(shù)學卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知集合M={x|?4<x≤1}A．{x|?4<x<3} B．{x|?1<x≤1}C．{0,1,2．已知zi=i?1，則A．1?i B．?i C．?1?3．求圓x2+yA．23 B．2 C．32 4．(x?x)4A．15 B．6 C．?4 D．?135．已知向量a，b，則“(a+b)·A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=?1，f(A．1 B．2 C．3 D．47．記水的質量為d=S?1lnn，并且d越大，水質量越好．若S不變，且d1=2.1A．nB．nC．若S<1，則n1<n2；若D．若S<1，則n1>n2；若8．已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側棱分別為4，4，22，2A．22 B．32 C．239．已知(x1,y1A．log2yC．log2y10．若集合{(x,y)|y=x+t(A．d=3，S<1 B．d=3，S>1 C．d=10，S<1 D．d=10二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線y2=16x，則焦點坐標為12．已知α∈[π6,π3]，且α與13．已知雙曲線x24?y214．已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為．15．已知M={k|ak=bk}①{an}，{bn}均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；②{an}，{bn}均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；③{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；④{an}單調遞增，{bn}單調遞減，則M中最多一個元素三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．在△ABC中，a=7，A為鈍角，sin2B=（1）求∠A；（2）從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求△ABC的面積．①b=7；②cosB=1314；注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分．17．已知四棱錐P-ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點，PE⊥AD．（1）若F是PE中點，證明：BF//平面PCD．（2）若AB⊥平面PED，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．18．已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：（1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設毛利潤為X，估計X的數(shù)學期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%，已賠償過的增加2019．已知橢圓方程C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦點和短軸端點構成邊長為2的正方形，過(0,t)(t>2)（1）求橢圓方程和離心率；（2）若直線BD的斜率為0，求t．20．已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)處切線為（1）若切線l的斜率k=?1，求f(x)單調區(qū)間；（2）證明：切線l不經過(0,（3）已知k=1，A(t,f(t))，C(0,f(t))，O(0,0)，其中t>0，切線l與y軸交于點（參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10，21．設集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．對于給定有窮數(shù)列A：{an}（1≤n≤8），及序列Ω：ω1，ω2，…，ωs，ωk=（ik，jk，sk，tk）∈M，定義變換T：將數(shù)列A的第i1，j1，s1，t1項加1，得到數(shù)列T1（A）；將數(shù)列T1（A）的第i2，j2，s2，t2項加1，得到數(shù)列T2T1（A）…；重復上述操作，得到數(shù)列Ts?T2T1（A），記為Ω（A）．（1）給定數(shù)列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），寫出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）為a1+2，a2+6，a3+4，a4+2，a5+8，a6+2，a+4，a8+4，若存在，寫出一個符合條件的Ω；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且a1+a3+a5+a7為偶數(shù)，證明：“存在序列Ω，使得Ω（A）為常數(shù)列”的充要條件為“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】(412．【答案】?113．【答案】±14．【答案】115215．【答案】①③④16．【答案】（1）解：因為sin2B=37又因為A為鈍角，則B∈(0,π2可得2sinB=3由正弦定理可得asinA=所以A=2π（2）解：選擇①：若b=7，則sinB=且B∈(0,π2)，則選擇②：若cosB=1314，因為B∈(0可得b=14又因為sinC=所以△ABC的面積S△ABC選擇③：若csinA=5則由正弦定理得asinA=csin又因為A為鈍角，則C∈(0,π2則sinB=所以△ABC的面積S△ABC17．【答案】（1）證明：取PD的中點為S，接SF,因為S,F分別為PE,又因為ED//BC,ED=2BC，則可知四邊形SFBC為平行四邊形，則BF//SC，且BF?平面PCD，SC?平面PCD，所以BF//平面PCD.（2）解：由題意可知：AE//BC,可知四邊形AECB為平行四邊形，則CE//AB，且AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，且PE⊥AD，以E為坐標原點，EC,ED,則A(0,可得PA設平面PAB的法向量為m=(x,y令z=1，則取x=0,y=?2，可得設平面PCD的法向量為n=(a,b令a=2，則b=c=1，可得n=(2則cos?所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為303018．【答案】（1）解：由題意可得：隨機抽取一單，賠償不少于2次的頻率為60+30+10800+100+60+30+10用頻率估計概率，所以“隨機抽取一單，賠償不少于2次”概率為110（2）解：（?。┰OY為賠付金額，由題意可知：X=0.4?Y，且Y可取則有P(Y=0)=800P(Y=1.P(可得E(Y)=0×4所以X的數(shù)學期望E(X)=0.（ⅱ）由題意可得：保費的變化為0.所以估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學期望0.???19．【答案】（1）解：由題意可知：b=c=22=所以橢圓方程為x24+（2）由題意可知：直線AB斜率存在且不為0，設AB:y=kx+t,(k≠0,t>2聯(lián)立方程x24+則Δ=16k2t可得x1由題意可知直線AD:令x=0，可得y=2k(2則t=2，可得4k2+2?t2綜上所述：t=2.20．【答案】（1）解：由題意可知：f(x)的定義域為(?1令f'(x)<0，解得?1<x<0；令f'所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(（2）因為f(x)=x+kln可得f(t)=t+k即切點坐標(t,t+kln(1+t))，切線則切線方程為y?[t+kln將(0,0)代入可得原題意等價于關于t的方程ln(1+t令F(t)可知F(t)在(則F(t)在(所以直線l不過(0（3）若k=1，f(由題意可知：S△ACO設l與y軸交點B為(0,b若b<0，則此時l與f(由（2）知b≠0，則b>0，則切線l的方程為y?t?ln令x=0，則b=ln(因為2S△ACO=15整理得13ln(令?(可知滿足條件的點A的個數(shù)即?(則?'令?'(t)<0，解得t∈(0,12則?(t)在(0,12且?(12)<?(0)=0?(可知：?(t)在(綜上所述，?(t)有兩個零點，即滿足221．【答案】解：（1）因為數(shù)列A:1,3,2,4,6,3,1,9，由序列(1,3,5,7)可得T1(A):（1）解：因為數(shù)列A:由序列(1,3,由序列(2,4,由序列(1,3,所以Ω(A):（2）解：不存在，理由如下：

由題意可知：對于任意序列，所對數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設存在符合條件的Ω，且Ω(A):因為2+6+4+2+8+2+4+44=8，即序列由題意可知：(b檢驗可知：當n=2,即假設不成立，所以不存在符合條件的Ω；（3）由題意可知：Ω中序列的順序不影響Ω(A)的結果，且(a（?。┤鬭1不妨設a1≤a①當a1=a分別執(zhí)行a1個序列(2,4,6可得a1②當a1,a3,即a1分別執(zhí)行a2個序列(1,3,可得a1即a1因為a1+a可知a1,a分別執(zhí)行a7?a12個序列(1,3可得3a為常數(shù)列，符合題意；③若a1=a3<分別執(zhí)行a5個(1,3,6可得a1因為a1可得a1