專題10 有理數(shù)的乘方（解析版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

專題10.有理數(shù)的乘方1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪；3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則；4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。題型探究題型1、有理數(shù)乘方的概念 3題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算 5題型3、乘方運(yùn)算的符號規(guī)律 6題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算（簡算） 8題型5、含乘方的混合運(yùn)算 10題型6、偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用 12題型7、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用 13題型8、有理數(shù)乘方的新定義問題 16培優(yōu)精練A組（能力提升） 20B組（培優(yōu)拓展） 26【思考1】手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食，制作時，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折（每次對折稱為一扣），如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細(xì)細(xì)|的面條.你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？【乘方的趣事】關(guān)于國際象棋的起源，有一個傳說：在古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻(xiàn)給了國王，國王從此迷上了下棋。為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應(yīng)滿足這個大臣的一個要求。大臣說：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32?！恢钡降?4格……即每一個次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個格子放滿為止”。國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實(shí)際上是天文數(shù)字，總數(shù)將是一個十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過是數(shù)億噸。1.有理數(shù)的乘方乘方的概念：一般地，個相同的乘數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時，讀作的次冪。求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。注意：①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；②乘方運(yùn)算，代表的是多個相同乘數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開來；③在運(yùn)算時要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；④帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算。2．整數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1。題型1、有理數(shù)乘方的概念【解題技巧】求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，即：。在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。例1．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，底數(shù)是，指數(shù)是，冪是．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪．【詳解】在中，底數(shù)是，指數(shù)是，冪是．故答案為：；；例2．（23-24七年級上·山西臨汾·期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，分別根據(jù)乘方和乘法的意義求解．找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．故選：B．變式1．（23-24七年級上·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（）A．的底數(shù)是B．表示5個2相加C．與意義相同D．的底數(shù)是2【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)乘方的意義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法錯誤，故不符合題意；B、表示5個2相乘，∴此選項(xiàng)的說法錯誤，故不符合題意；C、表示3個相乘，表示3個3相乘的相反數(shù)，∴它們表示的意義不同，故不符合題意；D、的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法正確，故此選項(xiàng)符合題意，故選：D．變式2．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）對于式子，下列說法正確的是（

）A．指數(shù)是 B．底數(shù)是3 C．冪為 D．表示3個相乘【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)乘方的定義即可判斷．【詳解】解：的指數(shù)是3，底數(shù)是，表示3個相乘，則冪是，故選：D變式3．（23-24九年級·山東德州·階段練習(xí)）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)乘法的定義：m個3相加表示為，根據(jù)乘方的定義：n個4相乘表示為，由此求解即可．本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握乘法、乘方的運(yùn)算定義，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】m個3相加表示為，根據(jù)乘方的定義：n個4相乘表示為，故的結(jié)果是，故選A．題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。例1．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，熟知有理數(shù)的乘方計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算正確，符合題意；故選：D．例2．（2023秋·河北石家莊·七年級?？茧A段練習(xí)）若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)乘方的意義列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的意義，正確得出是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023春·浙江衢州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知在，，，這4個數(shù)中，最大的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把各數(shù)進(jìn)行計算，再根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則進(jìn)行比較即可．【詳解】解：，，，，∵，∴這四個數(shù)中，最大的數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方，熟練掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算及比較大小法則是解題關(guān)鍵．變式2．（2023春·上海靜安·七年級?？计谥校┫铝懈魇街校_的是

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型3、乘方運(yùn)算的符號規(guī)律【解題技巧】乘方的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。例1．（23-24七年級上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)乘方中的符號問題，判斷每個數(shù)的正負(fù)號即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，，0中，只有0是非負(fù)數(shù)．故選：A．例2．（2023·廣西·七年級?？茧A段練習(xí)）已知為正整數(shù)，計算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．變式1．（23-24七年級上·廣東揭陽·期末）計算：【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：0．變式2．（2023·廣東·七年級期中）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個數(shù)為（

）①與；②與；③與；④與A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義逐一解答．【詳解】解：a，b互為相反數(shù)，則，即與不互為相反數(shù)；a，b互為相反數(shù)，則，故，即與互為相反數(shù)：a，b互為相反數(shù)，則，，即與互為相反數(shù)，與不互為相反數(shù)，則互為相反數(shù)的有②③故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)的意義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式3．（22-23七年級上·安徽蕪湖·期末）若是負(fù)數(shù)，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)乘方的定義即可依次判斷．【詳解】解：A、是負(fù)數(shù)，則，不符合題意；B、是負(fù)數(shù)，則，不符合題意；C、是負(fù)數(shù)，則，不符合題意；D、，不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方，解題的關(guān)鍵是熟知乘方的運(yùn)算法則．題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算（簡算）【解題技巧】性質(zhì)：例1．（22-23七年級上·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：①與；

②與；（2）根據(jù)以上計算結(jié)果想開去：等于什么?（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時，等于什么?請你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結(jié)論，求的值．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）；（3）；理由見解析；（4）【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據(jù)此即可計算求值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可得到答案；（3）根據(jù)乘方的意義寫成n個數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為和的乘積即可證明猜想；（4）利用乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）①，；②，；（2）；（3），理由如下：；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗(yàn)證，熟練運(yùn)用乘方運(yùn)算以及逆運(yùn)算來簡便運(yùn)算是解題關(guān)鍵．變式1．（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）計算：（

）A． B．1 C．0 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算法則計算即可得．【詳解】解：原式．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式2．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘方的逆運(yùn)算，等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即可得解，熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義是解題關(guān)鍵．【詳解】∵∴∴∴，故選：D．題型5、含乘方的混合運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．例1．（2024·廣西賀州·三模）計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．先計算乘方和括號內(nèi)，然后計算乘除，最后計算加減．【詳解】．例2．（23-24七年級·湖北·七年級期中）計算下列各題：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，以及絕對值化簡，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘方，然后再進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算即可；（2）先算乘方和括號，然后再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算，即可解題；（3）先算乘方和括號，然后再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算，即可解題；（4）先算乘方、括號、以及絕對值化簡，然后再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算，即可解題．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，；（3）解：，，，；（4）解：，，，．變式1．（23-24七年級·上?！て谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了含乘方的混合運(yùn)算，先化簡乘方和絕對值，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】解：．變式2．（2023春·上海徐匯·七年級?？茧A段練習(xí)）【答案】【分析】先計算乘方，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則并正確計算．題型6、偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用例1．（23-24七年級上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）若，則，．【答案】/【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性及乘方運(yùn)算的符號規(guī)律，根據(jù)絕對值的非負(fù)性及乘方的非負(fù)性即可求解，熟練掌握絕對值的非負(fù)性及乘方運(yùn)算的符號規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，即：，，即：，故答案為：，2．例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）為有理數(shù)，下列說法中正確的是（）A．是正數(shù)B．是正數(shù)C．是負(fù)數(shù)D．的值不小于【答案】B【分析】此題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，，解題的關(guān)鍵是掌握偶次方的非負(fù)性．【詳解】解：、當(dāng)時，，此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；、∵，∴，即是正數(shù)，此選項(xiàng)說法正確，符合題意；、當(dāng)時，，此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；、∵，則，∴，的值不大于，此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；故選：．變式1．（22-23七年級上·云南昆明·期中）若，則．【答案】0【分析】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后再把a(bǔ)、b代入求值即可．【詳解】解：，，，，，．故答案為：0變式2．（23-24七年級·上海寶山·期中）若，那么．【答案】【分析】本題考查了平方與絕對值的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方．解題的關(guān)鍵在于正確的求解．由解出的值，代入求解即可．【詳解】解：由題意知解得∴故答案為：．題型7、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用【解題技巧】此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型。基本步驟為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計算結(jié)果。例1．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）有一種細(xì)菌，經(jīng)過1分鐘分裂成2個，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個．把這樣一個細(xì)菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細(xì)菌充滿為止，用了1小時，如果開始時，就在瓶子里放入這樣的細(xì)菌16個，那么細(xì)菌充滿瓶子所需要的時間為（

）A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時 D．1小時【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的應(yīng)用，列出等式是解此題的關(guān)鍵．先計算出裝滿一瓶的細(xì)菌，個，設(shè)將16個這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶，則，再根據(jù)1小時分，求解即可．【詳解】解：一個細(xì)菌1分鐘分裂成2個，2分鐘分裂成4個，分鐘分裂成個，一個細(xì)菌經(jīng)過1小時的繁殖能使瓶子充滿，設(shè)將16個這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶．，，小時分，，故選：B例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再拉伸，反復(fù)幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出根細(xì)面條．【答案】256【分析】此題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…∴第8次后可拉出根，，故答案為：256．例3．（23-24七年級·山東淄博·期中）在日常生活中，我們用十進(jìn)制來表示數(shù)，如．計算機(jī)中采用的二進(jìn)制，即只需要0和1兩個數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進(jìn)制中的，可以表示十進(jìn)制中的10，那么二進(jìn)制中的表示十進(jìn)制中的．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)十進(jìn)制中的數(shù)與二進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：；故答案為：．變式1．（2024·四川達(dá)州·三模）在我國古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)計數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計數(shù)單位為，右邊第2位的計數(shù)單位為，右邊第3位的計數(shù)單位為，右邊第4位的計數(shù)單位為，……，依此類推，可求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：（只），答：他所放牧的羊的只數(shù)是310只．故選：B．變式2．（22-23七年級·浙江溫州·期中）小明的文檔中有一個如圖1的實(shí)驗(yàn)中學(xué)，他想在這個文檔中用1000個這種，設(shè)計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制粘貼”（用鼠標(biāo)選中，右鍵點(diǎn)擊“復(fù)制”，然后在本文檔中“粘貼”的方式完成，則他需要使用“復(fù)制粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)復(fù)制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2的冪運(yùn)算．【詳解】解：，，故選：B變式3．（23-24七年級上·遼寧丹東·期中）一根1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)的乘方解決此題．【詳解】解：第一次截去一半，剩余的木棒的長度為；第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的長度為；第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的長度為；以此類推，截完第七次，剩余的木棒的長度為．∴截完第7次后，截去的木棒總長度為（米）．故選：A．變式4．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個數(shù)一循環(huán)，則的結(jié)果的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，…，∴尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個數(shù)一循環(huán)，∵，∴的個位數(shù)字是，又∵，∴的結(jié)果的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，∴的結(jié)果的個位數(shù)字是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型8、有理數(shù)乘方的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運(yùn)用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題.例1．（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習(xí)）用“※”定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，如，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，新定義下的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則．（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2），．例2．（23-24七年級上·云南昆明·期中）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：若求若干個相同的有理數(shù)均不等于的除法運(yùn)算叫做除方，如，，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”．一般的，我們把記作，讀作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接寫出計算結(jié)果________，________，________．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式：________，________，________．（3）想一想：將一個非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式是________．【答案】（1），，；（2）,,;（3）【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方；（1）根據(jù)的圈次方的定義進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)的圈次方的定義進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）；；；故答案為：，，．（2），；故答案為：,,；（3）由題意，根據(jù)（2）中規(guī)律可得，故答案為：．變式1．（2023·湖南·七年級?？计谥校┒x一種運(yùn)算符號“★”：，如：，那么的結(jié)果是_______．【答案】8【分析】根據(jù)運(yùn)算律，先算括號內(nèi)，再算括號外即可【詳解】解：故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解決本題的關(guān)鍵是會用新定義解答問題變式2．（2023·廣東·七年級?？计谥校┒x一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n＝26，則：若n＝449，則第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是______．【答案】1【分析】根據(jù)題意計算前幾次結(jié)果，找到規(guī)律即可求解．【詳解】解：第一次：，第二次：∵其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)，∴∴第二次運(yùn)算：，第三次：∵∴計算結(jié)果為第五次：，第六次：，∵∴，計算結(jié)果為，……依次為與的循環(huán)，當(dāng)計算次數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果為8；當(dāng)計算次數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果為1，∴第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；（2）()．【答案】【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，故答案為：，【點(diǎn)睛】此題考查了乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握乘方運(yùn)算規(guī)則．A組（能力提升）1．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）一張紙的厚度大約為，如圖，將其對折、壓平，稱作第1次操作，再將其對折、壓平，稱作第2次操作…假設(shè)這張紙足夠大，每一次也能壓得足夠平整，如此重復(fù)，則第10次操作后的厚度最接近于（

）A．?dāng)?shù)學(xué)課本的厚度 B．姚明的身高C．一層樓房的高度 D．一支中性筆的長度【答案】D【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，依次求出每次操作后紙張的厚度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由題知，第1次操作后的厚度為：；第2次操作后的厚度為：；第3次操作后的厚度為：；，所以第次操作后的厚度為：；當(dāng)時，，所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性筆的長度．故選：D．2．（2024·河北廊坊·二模）已知：，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了乘方的意義，相同因數(shù)和的意義，根據(jù)乘方的定義，加法的意義計算即可求解，掌握乘方的意義及相同因數(shù)和的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：．3．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查乘方的意義，相反數(shù)的概念．掌握的奇次方是是關(guān)鍵．先求出的值，再確定相反數(shù)即可．【詳解】解：，的相反數(shù)是，的相反數(shù)是．故選：B．4．（23-24七年級·上海黃浦·期中）下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則．根據(jù)有理數(shù)得到加法法則、有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的乘方，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A不符合題意；B、，故選項(xiàng)B不符合題意；C、，故選項(xiàng)C不符合題意；D、，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．5．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）式子與的正確判斷是（

）A．當(dāng)為偶數(shù)時，這兩個式子互為相反數(shù) B．這兩個式子是相等的C．當(dāng)為奇數(shù)時，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時它們相等【答案】A【分析】分類討論的奇偶性，結(jié)合乘方的意義化簡即可．【詳解】解：當(dāng)為偶數(shù)時，，即此時這兩個式子互為相反數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，，即此時這兩個式子相等．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義．熟練掌握乘方的意義并利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個運(yùn)算符號，使得它的結(jié)果最?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)代入計算并比較即可．【詳解】解：A、；B、；C、；D、；∵，∴結(jié)果最小的運(yùn)算為C選項(xiàng)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．（2024·江蘇南京·一模）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，先計算，同時根據(jù)乘方意義把改寫成，然后利用乘法結(jié)合律計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．8．（2023·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計算：______.【答案】34【分析】根據(jù)冪的定義：形如中a是底數(shù)，n是指數(shù)，及乘方計算法則計算解答．【詳解】解：中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，，故答案為：3，4，．【點(diǎn)睛】此題考查了冪的定義，有理數(shù)的乘方計算法則，熟記定義及計算法則是解題的關(guān)鍵．9．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如下是張小琴同學(xué)的一張測試卷，她的得分應(yīng)是．姓名：張小琴得分：填空（每小題25分，共100分）①的底數(shù)是；②的立方是；③若，則；④若，則．【答案】25【分析】本題考查了冪的定義，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，絕對值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識點(diǎn)．【詳解】解：①的底數(shù)是2，故錯誤；②的立方是，故錯誤；③∵，∴，，∴，，∴，故正確；④若，則，故錯誤；則小琴同學(xué)的得分是．故答案為：25．10．（23-24七年級上·四川南充·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（）利用有理數(shù)加減法則計算即可；（）利用有理數(shù)乘除法則計算即可；；（）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（）先算乘法，最后算加減即可；（）先計算乘方和化簡絕對值，再計算除法，最后計算加減法；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其運(yùn)算律．【詳解】（1）解：原式，；（2）解：原式，；（3）解：原式，，；（4）解：原式，，；（5）解：原式，，．11．（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為，第二個正方體紙盒的體積比第一個正方體紙盒的體積大．(1)求第二個正方體紙盒的棱長；(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？【答案】(1)第二個正方體紙盒的棱長為(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟練掌握正方體的體積公式和表面積公式．（1）先求出第一個正方體的體積，再求出第二個正方體的體積，得出其棱長即可；（2）根據(jù)正方體的表面積公式列出算式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：第一個正方體紙盒的體積為：，第二個正方體紙盒的體積為：，∵，∴第二個正方體紙盒的棱長為；（2）解：，答：第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多．12．（23-24七年級上·福建福州·階段練習(xí)）生活中常用的十進(jìn)制是用這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：；計算機(jī)常用二進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數(shù)來表示數(shù)，滿二進(jìn)一，例：二進(jìn)制數(shù)10010轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)：；其他進(jìn)制也有類似的算法…(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“10110”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是________；(2)【遷移】按照上面的格式將八進(jìn)制數(shù)“4372”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；(3)【應(yīng)用】在我國遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，如圖所示是遠(yuǎn)古時期一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，根據(jù)圖示，求孩子已經(jīng)出生的天數(shù)．【答案】(1)(2)(3)42天【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用；（1）根據(jù)題目信息直接進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的方法列式計算即可；（3）根據(jù)滿五進(jìn)一可知，類似于五進(jìn)制數(shù)，然后仿照二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的方法列式計算即可．【詳解】（1）解：將二進(jìn)制數(shù)“10110”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是，故答案為：；（2）將八進(jìn)制數(shù)“4372”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；（3）因?yàn)閺挠蚁蜃罄K結(jié)的數(shù)量依次為2，3，1，所以孩子已經(jīng)出生的天數(shù)為天．B組（培優(yōu)拓展）1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運(yùn)算：若，則，例如，則．運(yùn)用以上定義，計算：（

）A． B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)乘方確定，根據(jù)新定義求出，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴∴，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查新定義對數(shù)函數(shù)運(yùn)算、乘方的逆運(yùn)算等知識點(diǎn)，仔細(xì)閱讀題目中的定義，找出新定義運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是乘方的逆運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東東莞·七年級期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻煩【答案】B【分析】先把原式變形為，從而得到，即可求解．【詳解】解：＝1×8＝8故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建廈門·七年級?？计谥校┢吣昙壞嘲嗟膶W(xué)生共有49人，軍訓(xùn)時排列成的方陣，做了一個游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)n個不同學(xué)號的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)，則m次點(diǎn)名后，（n，m為正整數(shù)）下列說法正確的是（

）A．當(dāng)n為偶數(shù)時，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個B．當(dāng)n為偶數(shù)時，無論m何值，對下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個C．當(dāng)n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個D．當(dāng)n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個【答案】A【分析】假設(shè)站立記為“”，則蹲下為“”，開始時49個“”，其乘積為“”，每次改變其中的個數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，每次的改變其中個數(shù)，都不改變上一次的符號，則m次點(diǎn)名后，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；即可獲解．【詳解】解：假設(shè)站立記為“”，則蹲下為“”，開始時49個“”，其乘積為“”．每次改變其中的個數(shù)，經(jīng)過m次點(diǎn)名，①當(dāng)為偶數(shù)時，若有偶數(shù)個“”偶數(shù)個“”，變?yōu)榕紨?shù)個“”偶數(shù)個“”，其積的符號不變；若有奇數(shù)個“”奇數(shù)個“”，變?yōu)槠鏀?shù)個“”奇數(shù)個“”，其積的符號不變；故當(dāng)為偶數(shù)時，每次改變其中的個數(shù)，其積的符號不變，那么m次點(diǎn)名后，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；②當(dāng)為奇數(shù)時，若有偶數(shù)個“”奇數(shù)個“”，變?yōu)榕紨?shù)個“”奇數(shù)個“”，其積的符號改變；若有奇數(shù)個“”偶數(shù)個“”，變?yōu)槠鏀?shù)個“”偶數(shù)個“”，其積的符號改變；故當(dāng)為奇數(shù)時，每次改變其中的個數(shù)，其積的符號改變，那么m次點(diǎn)名后，若為偶數(shù)，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；若為奇數(shù)，乘積最后是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為奇數(shù)，即蹲下的人數(shù)為奇數(shù)；綜上所述，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D均錯誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)的意義、有理數(shù)乘法中積的符號的判斷，熟練掌握有理數(shù)乘法中符號法則與分類討論的思想方法是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東東莞·九年級?？计谥校┠彻珗@將免費(fèi)開放一天，早晨6時30分有2人進(jìn)公園，第一個30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來1人，第二個30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來2人，第三個30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來3人，第四個30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來4人，······按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是（

）A． B．4039 C．8124 D．16304【答案】B【分析】由每個30分鐘進(jìn)去的人數(shù)可構(gòu)成一列數(shù)，利用觀察法求出這一列數(shù)的規(guī)律，由于從早晨6時30分到上午Il時30分共有10個30分鐘，故求這一列數(shù)的前11個數(shù)的和，即可得上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意知：早晨6時30分有2人進(jìn)公園，則，第一個30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來1人，則，第二個30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來2人，則，第三個30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來3人，則，第四個30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來4人，則，……∴第十個30min（即上午11時30分）內(nèi)進(jìn)去的人和出來的人數(shù)可表示為，∴到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為：設(shè)，∴，，∴，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，運(yùn)用了歸納推理、轉(zhuǎn)化的解題方法．解題時要善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題．解題的關(guān)鍵是歸納出題干所給式子的規(guī)律．5．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)：的個位數(shù)字是2，4，8，6四個一循環(huán)，所以根據(jù)，得出的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同；以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的．即可知的個位數(shù)字，從而得到221+311的末位數(shù)字．【詳解】解：由題意可知，，，，，，，，，，即末位數(shù)字是每4個算式是一個周期，末位分別為2，4，8，6，，的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，為2；由題意可知，，，，，，，以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的，，所以的個位數(shù)字是7，所以的個位數(shù)字是9，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是尾數(shù)特征，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)題意找出數(shù)字循環(huán)的規(guī)律是解答此題關(guān)鍵．6．（2023·河南漯河·七年級?？茧A段練習(xí)）計算的值，結(jié)果正確的是（

）A．1 B． C．0 D．或0【答案】B【分析】由運(yùn)算式中的加數(shù)一共個數(shù)，其中偶次方有個，奇次方有個，從而可得答案．【詳解】解：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“乘方運(yùn)算的符號規(guī)律的確定”是解本題的關(guān)鍵．7．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個部分，部分①的面積是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依次類推，陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和圖形，可以得到陰影部分的面積．【詳解】解：由圖可得，陰影部分的面積是，故選：C．8．（2022·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個數(shù)是（

）（1）總是正數(shù)；（2）總是正數(shù)；（3）的最大值為5；（4）的最大值是3．A．1 B．2 C．3 D．4【答