重難點(diǎn)02 絕對值的化簡與絕對值方程 專項(xiàng)講練（解析版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

重難點(diǎn)02.絕對值的化簡與絕對值方程專項(xiàng)講練1.掌握絕對值的幾何意義和代數(shù)意義，化簡絕對值的一般步驟；2.能利用絕對值的性質(zhì)解方程；3.回歸數(shù)學(xué)思想，在課堂中充分滲透整體思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決問題。題型探究題型1、根據(jù)字母取值范圍化簡求值 2題型2、已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置化簡求值 3題型3、絕對值化簡（型）： 5題型4、采用零點(diǎn)分段討論化簡求值 7題型5、含絕對值的方程（幾何法與代數(shù)法） 10題型6、含絕對值的不定方程（絕對值的幾何意義求解） 14培優(yōu)精練A組（能力提升） 16B組（培優(yōu)拓展） 161.絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負(fù)性，即。2.已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；：大的數(shù)－小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右－左＞0；小的數(shù)－大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左－右＜0。：正數(shù)＋正數(shù)＞0，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對值較大數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號。②根據(jù)絕對值符號里式子的正負(fù)去絕對值；若正數(shù)，絕對值前的正負(fù)號不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對值前的正負(fù)號改變（即相反數(shù)）。③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項(xiàng)要變號。④化簡（合并同類項(xiàng)）.3.絕對值化簡（型）：.當(dāng)時(shí)，=1；當(dāng)時(shí)，=-1。4.零點(diǎn)分段法一般步驟：①求零點(diǎn)；②分段；③在各段內(nèi)分別進(jìn)行化簡；④將各段內(nèi)的情況綜合起來，得到問題的答案。題型1、根據(jù)字母取值范圍化簡求值【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；②根據(jù)絕對值符號里式子的正負(fù)去絕對值；③去括號；④化簡（合并同類項(xiàng)）。例1．（2023?廣東七年級期中）已知﹣1≤x≤2，則化簡代數(shù)式|x﹣3|﹣2|x+1|的結(jié)果是（）A．1﹣3x B．1+3x C．﹣1﹣3x D．﹣1+3x【答案】A【詳解】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3≤0，x+1≥0，∴|x﹣3|﹣2|x+1|＝﹣（x﹣3）﹣2（x+1）＝﹣x+3﹣2x﹣2＝﹣3x+1＝1﹣3x．故選：A．變式1．（2023·成都市七年級期中）點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離，若x是一個(gè)有理數(shù)，且，則_____．【答案】4【分析】根據(jù)x的取值范圍，分別判斷x-1與x+3的正負(fù)，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵，∴，，∴原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡.變式2．（2023?肇源縣七年級期末）當(dāng)2≤x＜5時(shí)，化簡：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．【答案】12﹣3x【詳解】解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2．∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．∴|2x﹣10|＝10﹣2x．∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x．題型2、已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置化簡求值【解題技巧】已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；②根據(jù)絕對值符號里式子的正負(fù)去絕對值；③去括號；④化簡（合并同類項(xiàng)）。例1．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0．(2)化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸可知，且，然后問題可求解；（2）根據(jù)（1）可進(jìn)行求解．(1)解：由圖可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案為：＜，＜，＞；(2)解：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值的意義、有理數(shù)的大小比較及化簡絕對值，熟練掌握絕對值的意義、有理數(shù)的大小比較及化簡絕對值是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川·七年級期末）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，化簡|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（）A．a(chǎn) B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a(chǎn)﹣2b【答案】A【分析】結(jié)合數(shù)軸知b<-1<0<a<1，據(jù)此判斷出b-a<0，a+2b<0，-a-b>0，再利用絕對值的性質(zhì)去絕對值符號、合并即可得出答案．【詳解】由數(shù)軸知b<-1<0<a<1，∴b-a<0，a+2b<0，-a-b>0，則原式=a-b+a+2b-a-b=a，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷出b-a、a+2b、-a-b與0的大?。兪?．（2023·陜西·七年級期末）已知、兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡代數(shù)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)軸可知b<-1<1<a<2，且，得到a+b>0，b+1<0，化簡絕對值再合并即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<-1<1<a<2，且，∴a+b>0，b+1<0，∴=a+b-b-1=a-1，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，判斷式子的正負(fù)，化簡絕對值，正確理解數(shù)軸上數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型3、絕對值化簡（型）：【解題技巧】.當(dāng)時(shí)，=1；當(dāng)時(shí)，=-1。例1．（2023·河北七年級期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由圖得，a+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0,=,選D.點(diǎn)睛：化簡絕對值問題，根據(jù)，此時(shí)，a可以看做一個(gè)式子，a是正數(shù)或0，則，把絕對值變成括號，如果a是負(fù)數(shù)，則絕對值變括號，前面加負(fù)號.a+1+b-1=a+b．故答案為：a+b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于數(shù)軸的知識(shí)以及有理數(shù)大小的比較，正確去掉絕對值是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·福建泉州·七年級?？计谥校┮阎?，且，則共有個(gè)不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，則____________．【答案】3【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可【詳解】，，，，，，，三個(gè)數(shù)中有兩負(fù)一正，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時(shí)，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時(shí)，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時(shí)，共有個(gè)不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，，，，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵變式1．（2023·上海楊浦·期中）若a，b各表示一個(gè)有理數(shù)，且，則算式的可能值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由于a、b的符號不確定，應(yīng)分a、b同號，a、b異號兩種情況分類求解．【詳解】解：①a、b同號時(shí)，、也同號，即同為1或-1，故此時(shí)原式=0；②a、b異號時(shí)，、也異號，即一個(gè)是1，另一個(gè)是-1，故此時(shí)原式=2或-2；所以所給代數(shù)式的值可能有3個(gè)：±2或0．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法運(yùn)算，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江·七年級課時(shí)練習(xí)）已知非零有理數(shù)a，b，c，滿足，則等于（

）A．﹣1 B．0 C．±1 D．1【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和a、b、c的正負(fù)分情況討論化簡計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)a、b、c同為正數(shù)時(shí)，=1+1+1=3不滿足條件；當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)時(shí)，=1+1－1=1滿足條件，此時(shí)abc＜0，∴==－1；當(dāng)a、b、c為兩負(fù)一正時(shí)，=1－1－1=－1不滿足條件；當(dāng)a、b、c同為負(fù)數(shù)時(shí)，=－1－1－1=－3不滿足條件，綜上，=－1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的性質(zhì)，會(huì)利用分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．題型4、采用零點(diǎn)分段討論化簡求值【解題技巧】零點(diǎn)分段法一般步驟：①求零點(diǎn)；②分段；③在各段內(nèi)分別進(jìn)行化簡；④將各段內(nèi)的情況綜合起來，得到問題的答案。例1．（22-23七年級上·北京西城·階段練習(xí)）當(dāng)代印度著名詩人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫道，世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚。距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對宇宙距離進(jìn)行測量，人類才能掌握世界尺度．我們可以從圖形和代數(shù)化簡兩個(gè)角度來計(jì)算距離：①已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點(diǎn)之間的距離表示為，例如表示到2的距離，而則表示到的距離；②我們知道：，于是可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如化簡時(shí)，可先令和，分別求得，（稱和2分別為的零點(diǎn)值），在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡可分以下3種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式．綜上，原式＝結(jié)合以上材料，回答以下問題：(1)化簡代數(shù)式；(2)化簡代數(shù)式．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可；（1）分、、分別化簡，結(jié)合的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而化簡代數(shù)式；(2)分、、分別化簡，結(jié)合的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而化簡代數(shù)式．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，則=．（2）當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，則=．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離及代數(shù)式的最值問題，明確數(shù)軸上的點(diǎn)之間的距離及絕對值的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·廣東·七年級培優(yōu)）已知x為實(shí)數(shù)，且的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（

）．A．5 B．10 C．15 D．75【答案】A【分析】將按照每一段的取值范圍進(jìn)行分類討論，即可得到答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（5）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（6）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（7）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（8）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（9）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（10）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（11）當(dāng)時(shí)，原式，是常數(shù)；（12）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（13）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（14）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（15）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)；（16）當(dāng)時(shí)，原式，不是常數(shù)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是弄清絕對值的性質(zhì)以及具有分類討論的意識(shí)．變式2．（2023七年級上·綿陽·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)了絕對值我們知道，，用這一結(jié)論可化簡含有絕對值的代數(shù)式．如化簡代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得和，我們就稱和分別為|和|的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)、不遺漏的五個(gè)部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對應(yīng)的部分然后進(jìn)行分類討論如下：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式；④當(dāng)時(shí)，原式；⑤當(dāng)時(shí)，原式．綜上所述，原式，以上這種分類討論化簡方法就叫零點(diǎn)分段法，其步驟是：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合，根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)化簡代數(shù)式；(2)的最大值是．（請直接寫出結(jié)果）【答案】(1)原式(2)【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)分段法和絕對值的性質(zhì)，分，，計(jì)算即可；（2）分別求出當(dāng)，時(shí)式子的最值，即可得出結(jié)果；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；綜上所述：原式；（2）當(dāng)時(shí)，原式的最大值；當(dāng)時(shí)，原式的最大值；∴的最大值為．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．題型5、含絕對值的方程（幾何法與代數(shù)法）【解題技巧】代數(shù)法：同題型4；幾何法：利用絕對值的幾何意義求解。例1．（23-24七年級上·廣東·期中）綜合應(yīng)用題：的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點(diǎn)與表示n的點(diǎn)之間的距離．(1)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與之間的距離；；(2)的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離；則；(3)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離，若，則．(4)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離，若，則．(5)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是．【答案】(1)x，原點(diǎn)，=(2)1(3)x，3，4或2(4)x，，0或(5)【分析】（1）根據(jù)的幾何意義求解；（2）根據(jù)的幾何意義及絕對值的意義求解；（3）根據(jù)的幾何意義及絕對值的意義求解；（4）根據(jù)的幾何意義及絕對值的意義求解；（5）根據(jù)的幾何意義及解不等式組求解；【詳解】（1）解：的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離；，故答案為：x，原點(diǎn)，＝；（2）解：的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離；則，故答案為：1；（3）解：的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離，若，則或2，故答案為：x，3，4或2．（4）解：的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離，若，則或．故答案為：x，，0或（5）解：使得這樣的整數(shù)是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：在學(xué)習(xí)絕對值時(shí)，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道表示、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離；，所以表示、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，那么兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示與的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示與的兩點(diǎn)之間的距離是______．(2)若，則______．(3)滿足的有理數(shù)有______個(gè)．【答案】(1)，(2)或(3)無數(shù)【分析】（1）根據(jù)材料提示的兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法即可求解；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)軸即可求解．【詳解】（1）解：與的兩點(diǎn)之間的距離是，與的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：，．（2）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴或，故答案為：或．（3）解：根據(jù)材料提示兩點(diǎn)之間距離公式，則表示為，即點(diǎn)到表示的點(diǎn)，與點(diǎn)到表示的點(diǎn)的距離和為，如圖所示，

∴在點(diǎn)之間的任何數(shù)都可以，故答案為：無數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算，絕對值的性質(zhì)的綜合，掌握絕對值的性質(zhì)計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．變式1．（23-24七年級·江蘇·假期作業(yè)）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，則在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．借助于數(shù)軸回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)如果，那么．(3)若，且數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A，點(diǎn)B，則A，B兩點(diǎn)間的最大距離是，最小距離是．(4)①若數(shù)軸上表示x的點(diǎn)位于與1之間，則；②若，則．【答案】(1)3，4(2)2或(3)8，2(4)①4；②5或．【分析】（1）根據(jù)距離公式計(jì)算即可．（2）根據(jù)絕對值的意義計(jì)算即可．（3）根據(jù)絕對值的意義，確定a，b的值，再最值的意義計(jì)算即可．（4）①根據(jù)取值范圍，化簡絕對值計(jì)算即可．②分，，三種情況計(jì)算即可．【詳解】（1）數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是：，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是：；故答案為：3，4．（2），∴，∴，故答案為：2或．（3）∵，∴，∴，∴或1，或，∴A，B兩點(diǎn)間的最大距離是：，最小距離是：；故答案為：8，2．（4）①∵x的點(diǎn)位于與1之間，∴，故答案為：4．②當(dāng)時(shí)，，得到，解得，；當(dāng)時(shí)，，得到，解得，；當(dāng)時(shí)，，得到，無解；綜上，或；故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離，絕對值的化簡與取值范圍的關(guān)系，熟練掌握絕對值方程的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（23-24七年級上·江西贛州·期中）【閱讀】表示4與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：可以看做，表示4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．(1)________；(2)在數(shù)軸上，有理數(shù)5與所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為________；(3)結(jié)合數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)，使得，則________；(4)利用數(shù)軸分析，若是整數(shù)，且滿足，則滿足條件的所有的值的和為_______．【答案】(1)5(2)8(3)或2(4)【分析】（1）根據(jù)值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)材料列出絕對值，然后再計(jì)算即可；（3）觀察數(shù)軸，找到與距離是3點(diǎn)即可解答；（4）根據(jù)表示x與2和的距離之和為5，再結(jié)合數(shù)軸即可解答．【詳解】（1）解：．故答案為：5．（2）解：5與的兩點(diǎn)之間的距離為．故答案為：8．（3）解：觀察數(shù)軸：∵表示x與的距離為3，∴或2．故答案為：或2．（4）解：觀察數(shù)軸∵表示x與和2的距離之和為5，∵和2之間的距離為5，∴所有符合條件的整數(shù)，其和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)、數(shù)軸的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，明確數(shù)軸上的點(diǎn)之間的距離與絕對值的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型6、含絕對值的不定方程（絕對值的幾何意義求解）例1．（2023秋·陜西西安·七年級?？计谀?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】利用絕對值的定義：“絕對值代表與原點(diǎn)的距離”可知答案．【詳解】解：∵，∴，表示a到，2的距離與b到的距離之和為8，∵時(shí)，時(shí)，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的意義是關(guān)鍵．變式1．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，求的最大值與最小值的差．【答案】【分析】表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示和2的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，得．同理，，，可得，，．于是．【詳解】解：表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示和2的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，∴．同理，，，而，∴，，．∴．∴．∴的最大值為15，最小值為，∴的最大值與最小值的差為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離計(jì)算，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（23-24七年級·陜西·階段練習(xí)）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則2x+y的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的意義可得當(dāng)時(shí)，有最小值3，當(dāng)時(shí)，有最小值7，再結(jié)合已知，當(dāng)，時(shí)有最小值．【詳解】解：表示數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示和的點(diǎn)的距離和，當(dāng)時(shí)，有最小值3，表示數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示和的點(diǎn)的距離和，當(dāng)時(shí)，有最小值7，∵，∴，，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題可得絕對值的幾何意義，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．A組（能力提升）1．（2023·江蘇·七年級期末）已知a，b的位置如圖，則的值為（）A．0 B．－2b C．－2a D．2b－2a【答案】B【分析】結(jié)合數(shù)軸可知：，進(jìn)一步可知：，，再去絕對值即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)判斷式子的正負(fù)，去絕對值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出，得出，．2.（2023·河南周口·七年級期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【分析】先根據(jù)數(shù)軸求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉絕對值，然后根據(jù)分式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．3．（2023·廣東·七年級校考期中）如圖，、、、是數(shù)軸上的四個(gè)整數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)，且，而數(shù)在與之間，數(shù)在與之間，若，且、、、中有一個(gè)是原點(diǎn)，則此原點(diǎn)可能是（

）A．點(diǎn)或點(diǎn) B．點(diǎn)或點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】先根據(jù)圖形和已知條件找出各線段長度，然后由推測原點(diǎn)位置．【詳解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且數(shù)m在A與B之間，數(shù)n在C與D之間”可以得出：①當(dāng)原點(diǎn)是B點(diǎn)或C點(diǎn)時(shí)，與已知相矛盾，故原點(diǎn)不可能是B點(diǎn)或C點(diǎn)；②當(dāng)原點(diǎn)在A點(diǎn)或D點(diǎn)且時(shí)，，綜上可知：數(shù)軸原點(diǎn)可能是A點(diǎn)或D點(diǎn)．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對值，解決本題的關(guān)鍵在于理解絕對值的幾何意義．4．（2023·山東·七年級期末）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且滿足．則下列各式：①；②；③；④．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置和絕對值的意義，進(jìn)行逐一計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵|a|＜|b|＜|c|，∴①?b＞?a＞?c，故①正確；②＝1+1＝2，故②錯(cuò)誤；③，故③正確；④|a?b|?|c-b|＋|a?c|＝a?b?(c?b)＋(c?a)=a-b-c+b+c-a=0，故④正確：所以正確的個(gè)數(shù)有①③④，共3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值，解決本題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸和絕對值．5．（2023·重慶·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，其中，則下列各式：①；②；③；④，正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①根據(jù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置分別得出，即可判定的正負(fù)；②由得到，即可判斷的正負(fù)；③根據(jù)，，即可得出的值；④首先根據(jù)，，得出，化簡即可求解．【詳解】解：由有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置可得：，∴，故①正確，符合題意；∵，∴，∴；故②錯(cuò)誤，不符合題意；，故③正確，符合題意；∵，，，∴，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的有①③④，共有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)軸進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的方法和絕對值等的化簡法則．6．（2023·廣東·一模）如圖，在關(guān)于x的方程（a，b為常數(shù)）中，x的值可以理解為：在數(shù)軸上，到A點(diǎn)的距離等于b的點(diǎn)X對應(yīng)的數(shù)．例如：因?yàn)榈綄?shí)數(shù)1對應(yīng)的點(diǎn)A距離為3的點(diǎn)X對應(yīng)的數(shù)為4和-2，所以方程的解為，．用上述理解，可得方程的解為______．【答案】，【分析】根據(jù)題目中（a，b為常數(shù)）的特點(diǎn)解方程即可．【詳解】依題意得：表示x對應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)數(shù)3對應(yīng)的點(diǎn)距離為2到實(shí)數(shù)3對應(yīng)的點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是5和1∴的解為，．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的幾何意義，理解題目中給出的解釋是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東·七年級統(tǒng)考期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則的值為___________．【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)軸得到，，，，根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值，化簡即可得到答案．【詳解】解：，，，原式故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、絕對值，掌握正數(shù)的絕對值等于正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是___________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對值里邊式子的正負(fù)，再利用絕對值的代數(shù)意義化簡、去括號、合并同類項(xiàng)即可解答．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，，，，則原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、絕對值、去括號、合并同類項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東·七年級期末）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對值性質(zhì)去絕對值符號，再合并即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，則（1），，．故答案為：，，；（2）、互為相反數(shù)，．故答案為：；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)、整式的加減，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出、、的大小關(guān)系．10．（2023·浙江·七年級期中）如圖，點(diǎn)A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．（1）在數(shù)軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【答案】（1）0，；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，即可得到，；（2）由，則，由此求解即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上的位置可得，則，，，由此進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：（1）∵c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，∴，，故答案為：0，；（2）∵，∴，∴或；（3）根據(jù)數(shù)軸上的位置可得，∵，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置化簡絕對值，解絕對值方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握化簡絕對值的相關(guān)方法．11．（23-24七年級上·北京西城·期中）先閱讀，再探究相關(guān)的問題：表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示5與差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)點(diǎn)A的位置如圖所示，點(diǎn)B與點(diǎn)A分別位于原點(diǎn)兩側(cè)且與原點(diǎn)距離相等，把點(diǎn)A向左移動(dòng)1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)C，則B，C兩點(diǎn)間的距離是；

(2)點(diǎn)D和E分別在數(shù)軸上表示數(shù)x和，如果D，E兩點(diǎn)之間的距離為3，那么x為；(3)借助數(shù)軸思考，當(dāng)x為時(shí)，與的值相等．【答案】(1)3.5(2)2或(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)先在數(shù)軸上描出點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)得出兩點(diǎn)間的距離；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，可得到的值兩個(gè)；（3）根據(jù)到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是這兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，可得答案；【詳解】（1）解：如圖，

點(diǎn)表示的數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)1，的距離是；故答案為：3.5（2）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)D和E之間的距離表示為：，如果D，E兩點(diǎn)之間的距離為3，即，或，那么為或2；故答案為：2或（3）與的值相等，此種情況等式不成立，或，，如圖：到距離和到2的距離相等

時(shí)，與的值相等；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值，相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識(shí)，絕對值的定義，相反數(shù)的定義．12．（23-24七年級上·廣東河源·期中）對于數(shù)軸上的兩點(diǎn)P，Q給由如下定義：P，Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之差的絕對值稱為P，Q兩點(diǎn)的“絕對距離”，記為．例如，P，Q兩點(diǎn)表示的數(shù)如圖1所示，則．

(1)A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)如圖2所示．①求A，B兩點(diǎn)的“絕對距離”；②若點(diǎn)C為數(shù)軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），且，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(2)點(diǎn)M，N為數(shù)軸上的兩點(diǎn)．（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)）且，，請直接寫出點(diǎn)M表示的數(shù)為___________．【答案】(1)①2；②或2(2)或【分析】（1）①根據(jù)絕對距離的定義即可解題；②由題意可求出，再根據(jù)絕對距離的定義即可解題；（2）由題意可知，即得出或．再分類討論：①當(dāng)M，N都在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)M，N都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)和③當(dāng)M點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，N點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，結(jié)合，即可求解；【詳解】（1）①，即A，B兩點(diǎn)的友好距離為2．故答案為：2；②∵，∴，又∵點(diǎn)A所表示的數(shù)是1，即，∴，即，∴或，又∵點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為或2；（2）由題可知，∴或．∵點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，故可分類討論：①當(dāng)M，N都在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，∴．∵，∴，∴此情況不存在；②當(dāng)M，N都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∵，∴，∴此情況不存在；③當(dāng)M點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，N點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∵，∴．∵或，∴或，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值實(shí)際應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．讀懂題意，理解絕對距離的概念是解題關(guān)鍵．13．（23-24七年級上·貴州黔東南·期中）閱讀下面材料：在數(shù)軸上2與所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上與3所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上與所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為．歸納：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離或．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為；數(shù)軸上表示數(shù)x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(2)試說明當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，的值總是一個(gè)固定的值，并求出這個(gè)固定值．【答案】(1)或，(2)這個(gè)固定值為5【分析】本題考查了絕對值的意義與性質(zhì)：（1）結(jié)合題干條件，即可作答；（2）因?yàn)楫?dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，即，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，即可作答；正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依題意，數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為或，因?yàn)?，所以?shù)軸上表示數(shù)x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；（2）解：依題意，因?yàn)楫?dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，所以，故，即當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，的值總是一個(gè)固定的值，且為5．B組（培優(yōu)拓展）1．（2023·江蘇·七年級期末）若有理數(shù)a、b滿足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，則有理數(shù)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)值上表示的數(shù)和絕對值的意義逐一判斷分析各項(xiàng)即可．【詳解】解：A.∵a<0，b>0,<，∴，∴選項(xiàng)不符合題意；B.∵a>0，b>0,<，∴，∴本選項(xiàng)不符合題意；C.∵a>0，b>0,>，∴，∴本選項(xiàng)不符合題意；D.∵a<0，b<0,>，∴，∴本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是正確化簡絕對值：正數(shù)和0的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．2．（2023春·廣東河源·七年級校考開學(xué)考試）滿足的x的值是（

）．A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先將范圍分類，再去絕對值進(jìn)行運(yùn)算，最后核對選項(xiàng)即可．【詳解】時(shí)，，，舍去；時(shí)，得，∴或，得，滿足，可?。粫r(shí)，，舍去；綜上所述，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)雜的含有絕對值的一次方程，遇到絕對值須先判斷絕對值內(nèi)式子正負(fù)，在不確定范圍的情況下，按照絕對值為0進(jìn)行未知數(shù)范圍的分類討論是常見的辦法．對未知數(shù)進(jìn)行范圍分類而去除絕對值是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東七年級課時(shí)練習(xí)）已知有理數(shù)a，c，若，且，則所有滿足條件的數(shù)c的和是（）A．﹣6 B．2 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義對進(jìn)行化簡，或，解得或有兩個(gè)解，分兩種情況再對進(jìn)行化簡，繼而有兩個(gè)不同的絕對值等式，和，每個(gè)等式同樣利用絕對值的代數(shù)意義化簡，分別得到c的值有兩個(gè)，故共有四個(gè)值，再進(jìn)行相加，得到所有滿足條件的數(shù)的和．【詳解】，或，或，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，或，或；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，或，或，故或或或，所有滿足條件的數(shù)的和為：．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的代數(shù)意義，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，解題的關(guān)鍵在于經(jīng)過兩次分類討論，的值共有4種可能，不能重復(fù)也不能遺漏．4．（22-23七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為.【答案】1【分析】因?yàn)镻=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，即P的值與x無關(guān)，因此化簡后不含x項(xiàng)，根據(jù)絕對值的意義化簡得出答案．【詳解】的值恒為一常數(shù)，P的值與x無關(guān)，,且且且且，，==1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查絕對值的意義和計(jì)算方法，理解并掌握絕對值的意義和計(jì)算結(jié)果為常數(shù)的意義是解此題的關(guān)鍵．5．（23-24七年級上·四川成都·期中）對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，，則和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為(1)和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為；(2)若和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，求的值；(3)若和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，…，和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，…①的最小值為；②的最小值為．【答案】(1)(2)或(3)①；②【分析】本題考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的意義，數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．（1）認(rèn)真讀懂題意，利用新定義計(jì)算即可；（2）利用新定義計(jì)算求未知數(shù)；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到、、、、……、的距離和為的時(shí)候兩點(diǎn)表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，，，解得：或；（3）（3）①和關(guān)于的“絕對關(guān)聯(lián)數(shù)”為，，在數(shù)軸上可以看作數(shù)到的距離與數(shù)到的距離和為，有最小值，故答案為：；②由題意可知：，，，的最小值；，，，的最小值；同理，，的最小值；，的最小值；……；，的最小值；的最小值：．故答案為：．6．（23-24七年級上·山東煙臺(tái)·期中）閱讀理解：數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)（有數(shù)數(shù)0表示的點(diǎn)）的距離，叫做這個(gè)有理數(shù)的絕對值例如：，它表示數(shù)軸上有理數(shù)2表示的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離，從數(shù)軸上容易發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)2表示的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離是2個(gè)單位長度，即（如圖1）．同樣的，數(shù)軸上表示m和表示n的兩個(gè)有理數(shù)之間的距離可以用來表示．例如：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離用表示，從數(shù)軸上容易發(fā)現(xiàn)，表示-3的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長度，即（如圖2）．以上這種借助直觀的數(shù)軸來解決問題的方法就是研究數(shù)學(xué)問題常用的“數(shù)形結(jié)合”的方法．請你根據(jù)以上學(xué)到的方法完成下列任務(wù)解答：任務(wù)一：請根據(jù)以上閱讀列式并計(jì)算（不必在卷面上畫數(shù)軸）：數(shù)軸上表示2的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離；任務(wù)二：根據(jù)絕對值的意義求字母的值：（1）若，求x所表示的有理數(shù)．根據(jù)絕對值的意義，“”指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長度，x表示的有理數(shù)是______．（2）若，求x所表示的有理數(shù)．根據(jù)絕對值的意義，“”指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示_______的點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長度，x表示的有理數(shù)是______．任務(wù)三：設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的有理數(shù)是x，借助數(shù)軸解答下列問題：（1）當(dāng)x取哪些有理數(shù)時(shí)，的值最??？最小值是多少？（2）若，求x所表示的有理數(shù)；（3）若，求x所表示的有理數(shù)．【答案】任務(wù)一：數(shù)軸上表示2的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離為9個(gè)單位長度；任務(wù)二：（1）1或5；（2）；3或；任務(wù)三：（1）x取與4之間（包含和4）的有理數(shù)時(shí)，+的值最?。蛔钚≈凳?；（2）x所表示的有理數(shù)是或；（3）x所表示的有理數(shù)的值是【分析】此題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求法，以及相反數(shù)和絕對值的含義和求法，熟練掌握數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．任務(wù)一，閱讀：數(shù)軸上表示m和表示n的兩個(gè)有理數(shù)之間的距離可以用表示，，可求出．任務(wù)二∶（1）數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長度，x有兩個(gè)值；（2）數(shù)軸上表示必的點(diǎn)到表示的點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長度，必有兩個(gè)值，計(jì)算即可．任務(wù)三∶（1）指數(shù)軸上表示必的點(diǎn)到表示4和的兩點(diǎn)的距離的和；（2）指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示4和的兩點(diǎn)的距離的和等于8；(3)指數(shù)軸上表示必的點(diǎn)到表示2和-3的兩點(diǎn)的距離相等．【詳解】任務(wù)一：，所以，數(shù)軸上表示2的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離為9個(gè)單位長度；任務(wù)二：（1），數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長度，，，故答案為：1或5（2），數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示-1的點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長度，，，故答案為：；3或任務(wù)三：（1）指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示4和的兩點(diǎn)的距離和，x取與4之間（包含和4），的值最??；最小值是；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在和4之間時(shí)，，∴點(diǎn)P表示的數(shù)不在