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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.2.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長度后關(guān)于軸對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.5.陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.6.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.8.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.9.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C.5 D.611.若,則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖梯形為直角梯形,,圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形,向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是_____________14.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實(shí)數(shù)_____.15.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.16.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.18.(12分)已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,設(shè)為直線上一點(diǎn),且直線、的斜率的積為.證明:點(diǎn)在軸上.19.(12分)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.20.(12分)在銳角中,,,分別是角,,所對的邊,的面積,且滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.21.(12分)設(shè)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.22.(10分)團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.2、D【解析】
根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯(cuò)誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯(cuò)誤;為真,說明至少一個(gè)為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯(cuò)誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.3、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)?,且,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.4、D【解析】
先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.5、C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】
先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計(jì)算,意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.10、A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo),再求出過點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.12、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再利用定積分求出陰影部分的面積,利用梯形的面積公式求出,最后根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:聯(lián)立解得或,即,,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積,屬于中檔題.14、1【解析】
根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式,以及向量垂直的充要條件.15、1【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大此時(shí)取得最大值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),通過賦值,求得,再對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故的極大值為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點(diǎn)是要通過賦值,求出未知量.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,所以,因?yàn)?,所以平面,所以,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嬗?,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)為,連接,則,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以面,以為坐?biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)且與平行的直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,因?yàn)椋远娼堑挠嘞抑禐?解法二:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嬗?,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以平面,所以,取中點(diǎn),連接、,因?yàn)?,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨設(shè),因?yàn)?,,在中,,所以,所以二面角的余弦值?【點(diǎn)睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值,還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn),可得,且,,求出直線的斜率,進(jìn)而可求得直線與的方程,將直線直線與的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè),得,所以,即.故橢圓的方程為;(2)設(shè),則,,.所以直線的斜率為,因?yàn)橹本€、的斜率的積為,所以直線的斜率為.直線的方程為,直線的方程為.聯(lián)立,解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,則,所以點(diǎn)在軸上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中等題.19、(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解析】
(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí)直線方程為或,直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí),由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當(dāng)時(shí),,,,所以,即.當(dāng)時(shí),由得,則,,.因?yàn)?所以,即.故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查向量的運(yùn)算,注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡整理的運(yùn)算能力,
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