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文檔簡(jiǎn)介
2.5.2圓與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)
1.能根據(jù)給定圓的方程,判斷圓與圓的
1.邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算:圓與圓的位置
位置關(guān)系.
關(guān)系的判斷.
2.能用圓和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)
2.直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算:兩圓相交及相
題,體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思
切的問(wèn)題.
想.
知識(shí)點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系
1.代數(shù)法
通過(guò)兩圓方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.
,相交;
萬(wàn)]4一元二次方程/=0今內(nèi)切或外切;
圓。萬(wàn)程JL<。今內(nèi)含或外離w.
2.幾何法
若兩圓的半徑分別為ri,n,圓心距為d,則兩圓有以下位置關(guān)系:
位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示
兩圓外離d>n+n
0
兩圓內(nèi)含d<\n—n\
兩圓相交2\r\—ro\<d<n-\-n
兩圓內(nèi)切d=\n-r2\
1
兩圓外切d=r\-\-n
幽11已知圓Ci:x1-\-y2—2mx-\-4y+m2—5=Q,圓Ci:x2-\-y2+2x—2my
+m2-3=O,問(wèn):機(jī)為何值時(shí),⑴圓G與圓C2外切?⑵圓G與圓C2內(nèi)含?
【解】對(duì)于圓Cl,圓C2的方程,
配方得方:(x-m)2+(y+2)2=9,
C2:(x+l)2+(y—m)2=4.
⑴如果圓。與圓Q外切,
則有4(、+1)(—2—m)2=3+2,
即m2+3m—10=0,
解得m=—5或m=,2.
故當(dāng)機(jī)=—5或2時(shí),圓G與圓C2外切.
(2)如果圓G與圓C2內(nèi)含,
貝U有\(zhòng)l(m+1)2+(—2—m)2<3—2,
即(加+l)2+(m+2)2<l,整理得m2+3m+2<0,
解得一2(加<—1.
故當(dāng)一2<m<—1時(shí),圓Ci與圓。2內(nèi)含.
胭題技巧------------------------------
幾何法判斷兩圓位置關(guān)系的步驟
(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求出兩圓的圓心距d和半徑n,n.
(3)根據(jù)d與|n―拉|,n+n的大小關(guān)系作出判斷.
?跟蹤訓(xùn)練
1.圓。1:%2+,2-2%=0與圓。2:%2+y2-4y=0的位置關(guān)系是()
A.外離B.相交C.外切D.內(nèi)切
解析:選B.圓。1:f+y2—2x=0與圓。2:f+y2—4y=0,故圓心坐標(biāo)與半
徑分別為01(1,0),。2(0,2),n=1,9=2,|01。2|=小,n—n=l,n+r2=
3,1<^5<3,所以兩圓相交.
2.圓A:/+尸=1與圓球》2一版+尸―5=0的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.0B.3C.2D.1
解析:選D.因?yàn)閳A3:(x—2)2+>2=9,其圓心為3(2,0),半徑為3,圓A
的圓心為A(0,0),半徑為1,所以圓心距為|A3|=2,半徑之差為2,所以兩圓
內(nèi)切,只有一個(gè)公共點(diǎn).
《關(guān)鍵能力日限E3%
考點(diǎn)一兩圓相切問(wèn)題
距1已知以C(4,—3)為圓心的圓與圓(9:x2+y2=l相切,求圓C的方程.
【解】設(shè)圓C的半徑為葉又圓心距小=7(4—0)2+(—3—0)2=5,
所以當(dāng)圓。與圓。外切時(shí),r+1=5,廠=4,當(dāng)圓。與圓。內(nèi)切時(shí),r—1=5,r
=6,所以圓。的方程為(x—4)2+0+3)2=16或(x—4)2+(y+3)2=36.
胭題技巧---------------------------------
處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟
;電江「而瓦質(zhì)灌蕩兔隹而而居而萬(wàn)虛宴不訪1
定性若只是相切,則必須分兩圓內(nèi)切或兩圓外切,
:兩種情況討論
[轉(zhuǎn)化思想,即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩:
蛀仍,圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值,
[(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))的
:問(wèn)題:
《跟蹤訓(xùn)練若圓x2+j?2=m與圓x2+y2+6x—8^—11=0內(nèi)切,則m=
解析:圓一十產(chǎn)二根的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑,
圓x2+y2+6x—8y—11=0的圓心坐標(biāo)為(一3,4),半徑rz=6.因?yàn)閮蓤A內(nèi)切,
且圓心距d—5,
所以|6一|=5,
解得m=1或m=121.
答案:1或121
考點(diǎn)二兩圓相交問(wèn)題
-3]已知圓Ci:x2+y2+2x—6y+l=0,圓C?:j?+y2—4x+2y_11=0,
求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).
【解】設(shè)兩圓交點(diǎn)為A,B,則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足方程組
'x2+y2+2x-6y+l=0,①
<
f+y2—4x+2y—11=0.②
①一②,得3x—4y+6=0.
因?yàn)锳,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x—4y+6=0即為兩圓公共弦所
在直線的方程.
易知圓Ci的圓心為Ci(—1,3),半徑廠=3.
1-1X3-4X3+619
又點(diǎn)Ci到直線A3的距離d=-J/,、1=與.
\3-+(-4)。
所以以司=2爐工^=2X小2—闿=y,
24
即兩圓的公共弦長(zhǎng)為W.
胭題技巧---------------------------------
(1)兩圓相交時(shí),公共弦所在的直線方程
若圓Ci:f+V+Dix+Eiy+RiMO與圓。2:蘆十丁十力4十及丁十八二。相交,
則兩圓公共弦所在直線的方程為(Di—?)x+(Ei—E2)y+B—仍=0.
(2)公共弦長(zhǎng)的求法
①代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出
弦長(zhǎng).
②幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)
成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.
《跟蹤訓(xùn)練若圓X2+^2=4與圓九2+,2+2〃>-6=0(4>0)的公共弦長(zhǎng)為
2小,則。=.
解析:兩圓的公共弦所在的直線方程為分一1=0(。>0),
圓/+>2=4的圓心為(0,0),半徑為2,圓心到公共弦所在直線的距離d=
I-H_1
a,
所以=2。,4—gj,解得a=L
答案:1
課堂鞏固日自1測(cè)
1.圓(x+3)2+(y—2)2=1和圓(x—3)2+(y+6)2=144的位置關(guān)系是()
A.相切B.內(nèi)含C.相交D.外離
解析:選B.因?yàn)閮蓤A的圓心距d=d~(3+3)―2+~(—6—2)~=10<12—1
=11,所以兩圓內(nèi)含.
2.已知圓”的圓心坐標(biāo)為(2,0),圓/與圓。:f+y2=l外切,則圓M
的方程為()
A.(X-2)2+/=2B.(x-2)2+y2=l
C.f+(y—1/=1D.x2+(y-2)2=l
解析:選B.兩圓圓心距2,圓M的半徑為2—1=1,所以圓M的方程為(x
—2)2+y2=1.
3.已知圓x1+y2—4x+6y=0和圓x1+y2-6x=0交于A,B兩點(diǎn),則公共
弦A3的垂直平分線的方程為()
A.尤+y+3=0B.2x—y—5=0
C.3x-y-9=0D.4x—3y+7=0
解析:選C.由題意知公共弦A3的垂直平分線即為兩圓圓心連線所在直線.兩
-3—0
圓的圓心分別為(2,—3),(3,0),所以所求直線的斜率左=不~丁=3,故所求
Z—3
直線方程為3%—y—9=0.
4.已知以C(3,4)為圓心的圓與圓f+y2=l外切,求圓C的方程.
解:設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為(x—3)2+(>一4)2=/.
由題意得兩圓圓心距d=~\j(3—0)2+(4—0)2=5,
因?yàn)閮蓤A外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即5=廠+1,解得廠=4.
故圓C的方程為(x—3)2+0—4尸=16.
課后達(dá)標(biāo)一檢測(cè)
[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.圓Ci:d+yul和02:d+產(chǎn)―6y+5=0的位置關(guān)系為()
A.外切B.內(nèi)切
C.相離D.內(nèi)含
解析:選A.方程x2+y2—6y+5=0化為x1+(y—3)2=4,所以兩圓的圓心為
Ci(O,0),。2(0,3),半徑為n=1,n=2,而|CiQ|=3=ri+r2,則兩圓相外切,
故選A.
2.圓%2+丁2—2%+尸=0和圓x1+y2+2x+Ey—4=0的公共弦所在的直線方
程是x—y+l=0,則()
A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8
C.E=-4,F=-8D.E=4,F=3
%2+y2_2x+/=0,
解析:選C.由題意聯(lián)立兩圓方程{99:八得4%+£>—4—尸
x£+y^+2x+Ey—4=0,
E-4-F
=0,則4=—1,=1,解得E=—4,R=-8.故選C.
3.已知圓A,圓3相切,圓心距為10cm,其中圓A的半徑為4cm,則圓
B的半徑為()
A.6cm或14cmB.10cm
C.14cmD.無(wú)解
解析:選A.當(dāng)兩圓外切時(shí),d=rAJ(-rB,即10=4+FB,所以「B=6cm;當(dāng)兩
圓內(nèi)切時(shí),rB-rA=10,則5B=10+4=14(cm).
4.圓4y+7=0與圓4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)
是()
A.1B.2
C.3D.4
解析:選D.兩圓的圓心距d=N(—2—2)2+(2+5),=-\y65,半徑n
=1,n=4,所以d>n+f2,所以兩圓相離,故有4條公切線,故選D.
5.已知直線丁=-x被圓M:x2+y2+Ey=o(E<o)截得的弦長(zhǎng)為2霹,且
圓N的方程為好十丁―2%—2y+l=0,則圓”與圓N的位置關(guān)系為()
A.相交B.外切
C.相離D.內(nèi)切
解析:選A.圓爐+產(chǎn)+與/心。)的圓心“0,一§,半徑為—號(hào).
£122
所以4=2+(-^-)2,解得E=—4.
所以圓M的圓心”(0,2),半徑為2.
圓N的圓心N(l,1),半徑為1.
因?yàn)?0—1)2+(2—1)2=y[2,且2—1V|MN|<2+1,所以兩
圓相交.
6.(多選)半徑為6的圓與x軸相切,且與圓3)2=1內(nèi)切,則此圓的
方程可以是()
A.(x—4)2+(y—6)2=6
B.(x+4)2+(y—6產(chǎn)=6
C.(x—4)2+(y—6產(chǎn)=36
D.(x+4)2+(y—6)2=36
解析:選CD.由題意可設(shè)圓的方程為(x—a)2+(y—6產(chǎn)=36,又由兩圓內(nèi)切,
得弋a(chǎn)*1+(6—3)2=5,所以/=16,所以。=±4,所求圓的方程為(x—4>+(y
—6戶=36或(x+4)2+(y—6戶=36.
7.兩圓交于點(diǎn)A(l,3)和3(m,1),兩圓的圓心都在直線x—y+4=0上,
貝I]m=.
3—1
解析:直線A3與兩圓圓心所在直線垂直,所以——Xl=-1,解得機(jī)=
1—m
3.
答案:3
8.已知兩圓(x+2)2+(y—2)2=1與(X—2)2+(>一5)2=戶(廠>1)相交,則實(shí)數(shù)「
的取值范圍是.
解析:因?yàn)閮蓤A的圓心距為d=5,又因?yàn)閮蓤A相交,所以彳所以
r+l>5,
4<r<6.
答案:(4,6)
9.若點(diǎn)A(Q,b)在圓f+Vud上,則圓(元—〃)2+y2=i與圓d+o—byMi
的位置關(guān)系是.
解析:因?yàn)辄c(diǎn)4。,力在圓V+上,所以〃2+62=4.
又圓一十?一?y二1的圓心Ci(O,b),半徑ri=l,
圓(%—〃)2+y2=1的圓心C2(Q,0),半徑及=1,
則圓心距d=|CC2|=yja2+b2=木=2=r\+n,
所以兩圓外切.
答案:外切
10.已知圓環(huán)^+產(chǎn)一2砂=0(〃>0)截直線工+尸0所得線段的長(zhǎng)度是2爽,
判斷圓M與圓N:(%—1)2+。一1)2=1的位置關(guān)系.
解:把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x1+(y—d)2=a2,
所以M(0,〃),n=a.
所以點(diǎn)M到直線x+y=0的距離d=g,
由題意可得,卜"十2=/,又Q>0,所以〃=2,
所以M0,2),n=2.又N(l,1),「2=1,
所以|m7|=啦,所以|ri—「2|<|MN|<ri+2
所以兩圓相交.
[B能力提升]
11.(多選)(2022?廈門高二期末)已知圓O:%2+,2=4和圓M:/+產(chǎn)+公一
2y+l=0相交于A,5兩點(diǎn),貝U()
A.圓。與圓M有兩條公切線
B.圓。與圓又關(guān)于直線AB對(duì)稱
C.線段A3的長(zhǎng)為手
D.若E,R分別是圓。和圓〃上的點(diǎn),則|£網(wǎng)的最大值為4+小
解析:選ABD.圓。:f+y2=4的圓心為(0,0),半徑廠=2,圓M:x2+y2
+4x-2y+l=0,即(x+2)2+(y—1)2=4,其圓心為(一2,1),半徑R=2.對(duì)于A,
因?yàn)閳A。與圓M相交,所以有兩條公切線,A正確;對(duì)于B,兩圓方程相減得
4x—2y+5=0,即直線A3的方程為4x—2y+5=0,易知圓心。(0,0)與圓心般(一
2,1)關(guān)于直線A3對(duì)稱,又兩圓半徑相等,所以B正確;對(duì)于C,由B的結(jié)論,
可知依3|=2\^?2—(號(hào)J=2\^3|=VT1,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若E,F
分別是圓。和圓M上的點(diǎn),則|EW的最大值為|“。|+葉7?=小+4,故D正確.故
選ABD.
12.已知M,N是圓A:x2+y2-2x=0與圓B:x2+y2+2x-4y=0的公共
點(diǎn),則△§網(wǎng)的面積為.
解析:由題意,可知圓B的圓心坐標(biāo)為(一1,2),半徑為小.聯(lián)立
金+y2-2%=0
<
97'可得直線MN的方程為%—y=0,所以5(—1,2)到直線
X+V+2x—4y=0,
MN的距離為?=乎,線段MN的長(zhǎng)度為2yj(小)2—[啕2=
也,所以的面積為3義X^/2.
答案:I3
13.已知點(diǎn)P(2,—2)和圓C:(x+1)2+(>一2)2=16,則P在圓C(填
內(nèi)”、“外”或“上”);以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
解析:由題知C(-1,2),圓C的半徑為4,所以\PC\=
7(2+1)2+(—2—2)2=5>4,所以尸在圓C外.設(shè)以尸為圓心且和圓C
內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(>+2)2=/,r>0,則|PC|+4=r,即r=9,所
以以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(y+2)2=81.
答案:外(x—2)2+(y+2)2=81
22
14.已知圓Ci:x+/-2x-6y-l=0^nC2:jr+y-10x-12y+45=0.
(1)求證:圓Cl和圓C2相交;
(2)求圓Ci和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).
解:(1)證明:將圓C1的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,為(X—1)2+。-3)2=11,
則圓G的圓心Ci(l,3),半徑.將圓。2的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,為(工
-5)2+。-6)2=16,則圓。2的圓心C2(5,6),半徑相=4.
兩圓圓心距d=|CQ|=5,n+n=\[li+4,|n—r2|=4—*\/Tl,
所以|ri—r2|<dOi+r2,所以圓Ci和Q相交.
(2)將圓。和圓C2的方程相減,得4x+3y—23=0,所以兩圓的公共弦所在
直線的方程為4x+3y—23=0.設(shè)圓心。2(5,6)到直線4x+3y—23=0的距離為di,
|20+
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