新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章3圓與圓的位置關(guān)系培優(yōu)練習(xí)題

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的

1.邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算：圓與圓的位置

位置關(guān)系.

關(guān)系的判斷.

2.能用圓和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)

2.直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算：兩圓相交及相

題，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思

切的問(wèn)題.

想.

知識(shí)點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系

1.代數(shù)法

通過(guò)兩圓方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

,相交;

萬(wàn)］4一元二次方程/=0今內(nèi)切或外切;

圓。萬(wàn)程JL＜。今內(nèi)含或外離w.

2.幾何法

若兩圓的半徑分別為ri,n,圓心距為d,則兩圓有以下位置關(guān)系:

位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示

兩圓外離d>n+n

0

兩圓內(nèi)含d<\n—n\

兩圓相交2\r\—ro\<d<n-\-n

兩圓內(nèi)切d=\n-r2\

1

兩圓外切d=r\-\-n

幽11已知圓Ci：x1-\-y2—2mx-\-4y+m2—5=Q,圓Ci：x2-\-y2+2x—2my

+m2-3=O,問(wèn)：機(jī)為何值時(shí)，⑴圓G與圓C2外切？⑵圓G與圓C2內(nèi)含?

【解】對(duì)于圓Cl,圓C2的方程，

配方得方:(x-m)2+(y+2)2=9,

C2:(x+l)2+(y—m)2=4.

⑴如果圓。與圓Q外切，

則有4(、+1)(—2—m)2=3+2,

即m2+3m—10=0,

解得m=—5或m=,2.

故當(dāng)機(jī)=—5或2時(shí)，圓G與圓C2外切.

(2)如果圓G與圓C2內(nèi)含，

貝U有\(zhòng)l(m+1)2+(—2—m)2<3—2,

即(加+l)2+(m+2)2<l,整理得m2+3m+2<0,

解得一2(加<—1.

故當(dāng)一2<m<—1時(shí)，圓Ci與圓。2內(nèi)含.

胭題技巧------------------------------

幾何法判斷兩圓位置關(guān)系的步驟

(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)求出兩圓的圓心距d和半徑n,n.

(3)根據(jù)d與|n―拉|,n+n的大小關(guān)系作出判斷.

?跟蹤訓(xùn)練

1.圓。1：%2+,2-2%=0與圓。2：%2+y2-4y=0的位置關(guān)系是()

A.外離B.相交C.外切D.內(nèi)切

解析：選B.圓。1:f+y2—2x=0與圓。2：f+y2—4y=0,故圓心坐標(biāo)與半

徑分別為01(1,0),。2(0,2),n=1,9=2,|01。2|=小,n—n=l,n+r2=

3,1<^5<3,所以兩圓相交.

2.圓A：/+尸=1與圓球》2一版+尸―5=0的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.3C.2D.1

解析：選D.因?yàn)閳A3:(x—2)2+>2=9,其圓心為3(2,0),半徑為3,圓A

的圓心為A（0,0）,半徑為1,所以圓心距為|A3|=2,半徑之差為2,所以兩圓

內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn).

《關(guān)鍵能力日限E3%

考點(diǎn)一兩圓相切問(wèn)題

距1已知以C（4,—3）為圓心的圓與圓（9：x2+y2=l相切，求圓C的方程.

【解】設(shè)圓C的半徑為葉又圓心距小=7（4—0）2+（—3—0）2=5,

所以當(dāng)圓。與圓。外切時(shí)，r+1=5,廠=4,當(dāng)圓。與圓。內(nèi)切時(shí)，r—1=5,r

=6,所以圓。的方程為（x—4）2+0+3）2=16或（x—4）2+（y+3）2=36.

胭題技巧---------------------------------

處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟

;電江「而瓦質(zhì)灌蕩兔隹而而居而萬(wàn)虛宴不訪1

定性若只是相切，則必須分兩圓內(nèi)切或兩圓外切，

:兩種情況討論

［轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩：

蛀仍，圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值，

［（內(nèi)切時(shí)）或兩圓半徑之和（外切時(shí)）的

:問(wèn)題:

《跟蹤訓(xùn)練若圓x2+j?2=m與圓x2+y2+6x—8^—11=0內(nèi)切，則m=

解析：圓一十產(chǎn)二根的圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑,

圓x2+y2+6x—8y—11=0的圓心坐標(biāo)為（一3,4）,半徑rz=6.因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，

且圓心距d—5,

所以|6一|=5,

解得m=1或m=121.

答案：1或121

考點(diǎn)二兩圓相交問(wèn)題

-3］已知圓Ci：x2+y2+2x—6y+l=0,圓C?：j?+y2—4x+2y_11=0,

求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).

【解】設(shè)兩圓交點(diǎn)為A,B,則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足方程組

'x2+y2+2x-6y+l=0,①

<

f+y2—4x+2y—11=0.②

①一②，得3x—4y+6=0.

因?yàn)锳,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，所以3x—4y+6=0即為兩圓公共弦所

在直線的方程.

易知圓Ci的圓心為Ci(—1,3),半徑廠=3.

1-1X3-4X3+619

又點(diǎn)Ci到直線A3的距離d=-J/,、1=與.

\3-+(-4)。

所以以司=2爐工^=2X小2—闿=y,

24

即兩圓的公共弦長(zhǎng)為W.

胭題技巧---------------------------------

(1)兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程

若圓Ci:f+V+Dix+Eiy+RiMO與圓。2：蘆十丁十力4十及丁十八二。相交，

則兩圓公共弦所在直線的方程為(Di—?)x+(Ei—E2)y+B—仍=0.

(2)公共弦長(zhǎng)的求法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出

弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)

成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.

《跟蹤訓(xùn)練若圓X2+^2=4與圓九2+,2+2〃>-6=0(4>0)的公共弦長(zhǎng)為

2小，則。=.

解析：兩圓的公共弦所在的直線方程為分一1=0(。>0),

圓/+>2=4的圓心為(0,0),半徑為2,圓心到公共弦所在直線的距離d=

I-H_1

a，

所以=2。，4—gj,解得a=L

答案：1

課堂鞏固日自1測(cè)

1.圓(x+3)2+(y—2)2=1和圓(x—3)2+(y+6)2=144的位置關(guān)系是()

A.相切B.內(nèi)含C.相交D.外離

解析：選B.因?yàn)閮蓤A的圓心距d=d~(3+3)―2+~(—6—2)~=10<12—1

=11,所以兩圓內(nèi)含.

2.已知圓”的圓心坐標(biāo)為(2,0),圓/與圓。：f+y2=l外切，則圓M

的方程為()

A.(X-2)2+/=2B.(x-2)2+y2=l

C.f+(y—1/=1D.x2+(y-2)2=l

解析：選B.兩圓圓心距2,圓M的半徑為2—1=1,所以圓M的方程為(x

—2)2+y2=1.

3.已知圓x1+y2—4x+6y=0和圓x1+y2-6x=0交于A,B兩點(diǎn)，則公共

弦A3的垂直平分線的方程為()

A.尤+y+3=0B.2x—y—5=0

C.3x-y-9=0D.4x—3y+7=0

解析：選C.由題意知公共弦A3的垂直平分線即為兩圓圓心連線所在直線.兩

-3—0

圓的圓心分別為(2,—3),(3,0),所以所求直線的斜率左=不~丁=3,故所求

Z—3

直線方程為3%—y—9=0.

4.已知以C(3,4)為圓心的圓與圓f+y2=l外切，求圓C的方程.

解：設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為(x—3)2+(>一4)2=/.

由題意得兩圓圓心距d=~\j(3—0)2+(4—0)2=5,

因?yàn)閮蓤A外切，所以圓心距等于兩圓半徑之和，即5=廠+1,解得廠=4.

故圓C的方程為(x—3)2+0—4尸=16.

課后達(dá)標(biāo)一檢測(cè)

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.圓Ci：d+yul和02：d+產(chǎn)―6y+5=0的位置關(guān)系為()

A.外切B.內(nèi)切

C.相離D.內(nèi)含

解析：選A.方程x2+y2—6y+5=0化為x1+(y—3)2=4,所以兩圓的圓心為

Ci(O,0),。2(0,3),半徑為n=1,n=2,而|CiQ|=3=ri+r2,則兩圓相外切，

故選A.

2.圓％2+丁2—2%+尸=0和圓x1+y2+2x+Ey—4=0的公共弦所在的直線方

程是x—y+l=0,則()

A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8D.E=4,F=3

%2+y2_2x+/=0,

解析：選C.由題意聯(lián)立兩圓方程｛99:八得4%+￡>—4—尸

x￡+y^+2x+Ey—4=0,

E-4-F

=0,則4=—1,=1，解得E=—4,R=-8.故選C.

3.已知圓A,圓3相切，圓心距為10cm,其中圓A的半徑為4cm,則圓

B的半徑為（）

A.6cm或14cmB.10cm

C.14cmD.無(wú)解

解析：選A.當(dāng)兩圓外切時(shí)，d=rAJ（-rB,即10=4+FB,所以「B=6cm;當(dāng)兩

圓內(nèi)切時(shí)，rB-rA=10,則5B=10+4=14(cm).

4.圓4y+7=0與圓4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)

是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選D.兩圓的圓心距d=N（—2—2）2+（2+5）,=-\y65,半徑n

=1,n=4,所以d>n+f2,所以兩圓相離，故有4條公切線，故選D.

5.已知直線丁=-x被圓M：x2+y2+Ey=o（E<o）截得的弦長(zhǎng)為2霹，且

圓N的方程為好十丁―2%—2y+l=0,則圓”與圓N的位置關(guān)系為（）

A.相交B.外切

C.相離D.內(nèi)切

解析：選A.圓爐+產(chǎn)+與/心。）的圓心“0,一§,半徑為—號(hào).

￡122

所以4=2+(-^-)2,解得E=—4.

所以圓M的圓心”(0,2),半徑為2.

圓N的圓心N(l,1),半徑為1.

因?yàn)?0—1)2+(2—1)2=y[2,且2—1V|MN|<2+1,所以兩

圓相交.

6.(多選)半徑為6的圓與x軸相切，且與圓3)2=1內(nèi)切，則此圓的

方程可以是()

A.(x—4)2+(y—6)2=6

B.(x+4)2+(y—6產(chǎn)=6

C.(x—4)2+(y—6產(chǎn)=36

D.(x+4)2+(y—6)2=36

解析：選CD.由題意可設(shè)圓的方程為(x—a)2+(y—6產(chǎn)=36,又由兩圓內(nèi)切，

得弋a(chǎn)*1+(6—3)2=5,所以/=16,所以。=±4,所求圓的方程為(x—4>+(y

—6戶=36或(x+4)2+(y—6戶=36.

7.兩圓交于點(diǎn)A(l,3)和3(m，1),兩圓的圓心都在直線x—y+4=0上，

貝I]m=.

3—1

解析：直線A3與兩圓圓心所在直線垂直，所以——Xl=-1,解得機(jī)=

1—m

3.

答案：3

8.已知兩圓(x+2)2+(y—2)2=1與(X—2)2+(>一5)2=戶(廠>1)相交，則實(shí)數(shù)「

的取值范圍是.

解析：因?yàn)閮蓤A的圓心距為d=5,又因?yàn)閮蓤A相交，所以彳所以

r+l>5,

4<r<6.

答案：(4,6)

9.若點(diǎn)A(Q,b)在圓f+Vud上，則圓(元—〃)2+y2=i與圓d+o—byMi

的位置關(guān)系是.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)4。，力在圓V+上，所以〃2+62=4.

又圓一十?一?y二1的圓心Ci(O,b),半徑ri=l,

圓(%—〃)2+y2=1的圓心C2(Q,0),半徑及=1,

則圓心距d=|CC2|=yja2+b2=木=2=r\+n,

所以兩圓外切.

答案：外切

10.已知圓環(huán)^+產(chǎn)一2砂=0(〃>0)截直線工+尸0所得線段的長(zhǎng)度是2爽,

判斷圓M與圓N：(%—1)2+。一1)2=1的位置關(guān)系.

解：把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x1+(y—d)2=a2,

所以M(0,〃)，n=a.

所以點(diǎn)M到直線x+y=0的距離d=g,

由題意可得，卜"十2=/,又Q>0,所以〃=2,

所以M0,2),n=2.又N(l,1),「2=1,

所以|m7|=啦，所以|ri—「2|<|MN|<ri+2

所以兩圓相交.

[B能力提升]

11.(多選)(2022?廈門高二期末)已知圓O：%2+,2=4和圓M：/+產(chǎn)+公一

2y+l=0相交于A,5兩點(diǎn)，貝U()

A.圓。與圓M有兩條公切線

B.圓。與圓又關(guān)于直線AB對(duì)稱

C.線段A3的長(zhǎng)為手

D.若E,R分別是圓。和圓〃上的點(diǎn)，則|￡網(wǎng)的最大值為4+小

解析：選ABD.圓。：f+y2=4的圓心為(0,0),半徑廠=2,圓M:x2+y2

+4x-2y+l=0,即(x+2)2+(y—1)2=4,其圓心為(一2,1),半徑R=2.對(duì)于A,

因?yàn)閳A。與圓M相交，所以有兩條公切線，A正確；對(duì)于B,兩圓方程相減得

4x—2y+5=0,即直線A3的方程為4x—2y+5=0,易知圓心。(0,0)與圓心般(一

2,1)關(guān)于直線A3對(duì)稱，又兩圓半徑相等，所以B正確；對(duì)于C,由B的結(jié)論，

可知依3|=2\^?2—(號(hào)J=2\^3|=VT1,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若E,F

分別是圓。和圓M上的點(diǎn)，則|EW的最大值為|“。|+葉7?=小+4,故D正確.故

選ABD.

12.已知M,N是圓A：x2+y2-2x=0與圓B：x2+y2+2x-4y=0的公共

點(diǎn)，則△§網(wǎng)的面積為.

解析：由題意，可知圓B的圓心坐標(biāo)為(一1,2),半徑為小.聯(lián)立

金+y2-2%=0

<

97'可得直線MN的方程為％—y=0,所以5(—1,2)到直線

X+V+2x—4y=0,

MN的距離為?=乎,線段MN的長(zhǎng)度為2yj(小)2—［啕2=

也，所以的面積為3義X^/2.

答案：I3

13.已知點(diǎn)P(2,—2)和圓C：(x+1)2+(>一2)2=16,則P在圓C(填

內(nèi)”、“外”或“上”)；以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

解析：由題知C(-1,2),圓C的半徑為4,所以\PC\=

7(2+1)2+(—2—2)2=5>4,所以尸在圓C外.設(shè)以尸為圓心且和圓C

內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(>+2)2=/，r>0,則|PC|+4=r,即r=9,所

以以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(y+2)2=81.

答案：外(x—2)2+(y+2)2=81

22

14.已知圓Ci：x+/-2x-6y-l=0^nC2：jr+y-10x-12y+45=0.

(1)求證：圓Cl和圓C2相交；

(2)求圓Ci和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).

解：(1)證明：將圓C1的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，為(X—1)2+。-3)2=11,

則圓G的圓心Ci(l,3),半徑.將圓。2的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，為(工

-5)2+。-6)2=16,則圓。2的圓心C2(5,6),半徑相=4.

兩圓圓心距d=|CQ|=5,n+n=\[li+4,|n—r2|=4—*\/Tl,

所以|ri—r2|<dOi+r2,所以圓Ci和Q相交.

(2)將圓。和圓C2的方程相減，得4x+3y—23=0,所以兩圓的公共弦所在

直線的方程為4x+3y—23=0.設(shè)圓心。2(5,6)到直線4x+3y—23=0的距離為di,

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