二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（學(xué)案含解析）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

15二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

中考命我覺明

考點課標要求考查角度

二次函數(shù)的通過對實際問題情境的分析確常以選擇題、填空題的形式考查二次函

1意義和函數(shù)定二次函數(shù)的表達式，并體會二數(shù)的意義和函數(shù)解析式的求法，部分地

表達式次函數(shù)的意義.市以解答題的形式考查.

①會用描點法畫出二次函數(shù)的

常以選擇題、填空題的形式考查二次函

圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)

二次函數(shù)的數(shù)圖象的頂點、對稱軸、最值、拋物線

2的性質(zhì)；

圖象和性質(zhì)的平移等基礎(chǔ)知識，以解答題、探究題

②會根據(jù)公式確定圖象的頂點、

的形式考查二次函數(shù)綜合能力.

開口方向和對稱軸.

f---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\

知聚點h二次圖數(shù)的有關(guān)慨念

<_________________________________________________________________/

(----------------------------------------X

知疚點梳理

1.二次函數(shù)的概念：

一般地，如果丁二加+加什。(a,b,c是常數(shù)，QWO),那么y叫做x的二次函數(shù).

y=aj?+bx+c(〃，b,c是常數(shù)，0)叫做二次函數(shù)的一般式.

2.二次函數(shù)的解析式：

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：y=加+Zzx+c(〃，b,c是常數(shù)，aWO)

(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(〃，h,%是常數(shù)，-W0)

(3)兩根式(交點式)：當(dāng)拋物線嚴加+灰+。與x軸有交點時，即對應(yīng)二次方程以2+法+/0

有實根xi和必存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式a^+bx+c=a(x-x\)(x-X2),二次函數(shù)

y=ax^+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x\)(x-xi).如果沒有交點，則不能這樣表示.

3.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)若已知拋物線上三點坐標，可設(shè)二次函數(shù)表達式為>=加+匕龍+c.

(2)若已知拋物線上頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程，則可設(shè)頂點式：y^a(x-h)2+k,其中對稱軸

為x=h,頂點坐標為(/i,k).

(3)若已知拋物線與x軸的交點坐標或交點的橫坐標，則可采用兩根式(交點式)：y=a(x

—X1)(X—X2),其中與x軸的交點坐標為(xi，0),(X2,0).

翼曳用題

【例1】下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是()

A.y=3x-1B.y=a>i?+bx+c

,21

C.s=2f--2t+lD.y=x~——

x

【考點】二次函數(shù)的定義.

【解析】解：根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如廣加+bx+c(存0)判定即可.

A.y=3x-l是一次函數(shù)；B.y=af+fer+c不一定是幾次函數(shù)；

C.s=2兒2打1符合二次函數(shù)定義；D.y=￡+J■不符合二次函數(shù)定義.

x

故答案為：C.

【例2】(4分)(2019?甘肅慶陽)將二次函數(shù)4x+5化成y=a(x—/ip+A的形式

為.

【答案】y=(x-2)2+l.

【分析】將二次函數(shù)y=f—4尤+5按照配方法化成y=a(x—好+左的形式即可.

【解答】y—x2—4x+5—(x—2)2+l.

(----------------------------------------------------------------------------------------------------\

知猊就2：二次施數(shù)的圈象和嵯質(zhì)

知疚點神理

<___________________________/

1.二次函數(shù)的圖象：

二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于x=-2對稱的曲線，這條曲線叫拋物線.

2a

h

(1)二次函數(shù)產(chǎn)加+樂+°(。0)的圖象是拋物線，拋物線的對稱軸是直線%=-2,頂點

2a

是(-2,4ac-b2).當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)時0時，拋物線

2a4a

開口向下，函數(shù)有最大值.

（2）拋物線y=a。一/?）2+左與>=浸形狀相同，位置不同，把拋物線>="2向上（下）向

左（右）平移，可以得到拋物線y=a（無-4）2+k.

2.二次函數(shù)圖象的畫法：

五點法：

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出

對稱軸；

（2）求拋物線丫=加+尿+。與坐標軸的交點：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,8及拋物線與y軸的交點C,再找到點

C的對稱。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)

的圖象.

3.二次函數(shù)的性質(zhì)：

二次函數(shù)丫=皿2+匕尤+。（a,b,c是常數(shù)，aWO）中，a、b、c的含義：

a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上，a<。時，拋物線開口向下；

b

b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為％=----;

2a

。表示拋物線與y軸的交點坐標：（0,c）.

--------------------------\

典魚用題

【例3】（3分）（2021?江西5/23）在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a/與一次函數(shù)

y=6x+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象可能是（）

【考點】一次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=o?與一次函數(shù)y=6尤+c的圖象，即可得出。>0、6>0、c<0,

由此即可得出：二次函數(shù)y=a?-bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=_a_<0,與y軸的交

2a

點在了軸負半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b>0,c<0,

...二次函數(shù)yuo？-bx+c的圖象開口向上，對稱軸尸__L<0,與y軸的交點在y軸負半

2a

軸.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖

象經(jīng)過的象限，找出。>0、。>0、c<0是解題的關(guān)鍵.

【例4】（4分）（2021?上海3/25）將函數(shù)yR/+bx+c（（#0）的圖象向下平移兩個單位，以下

錯誤的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變

C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，對稱軸不變，。不變，拋物線的增減性不變.

【解答】解：A、將函數(shù)尸五+法+外”邦）的圖象向下平移兩個單位，。不變，開口方向不變，

故不符合題意.

B、將函數(shù)yuaf+fcv+cG#。）的圖象向下平移兩個單位，頂點的橫坐標不變，對稱軸不變，故

不符合題意.

C、將函數(shù)yuad+bx+cQ力0）的圖象向下平移兩個單位，拋物線的性質(zhì)不變，自變量x不變，

則y隨x的變化情況不變，故不符合題意.

D、將函數(shù)嚴加+灰+。（存0）的圖象向下平移兩個單位，與y軸的交點也向下平移兩個單位，

故符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意：拋物線平移后

的形狀不變，開口方向不變，頂點坐標改變.

[例5]（3分）（2021?包頭10/26）已知二次函數(shù)產(chǎn)辦龍+。（辦0）的圖象經(jīng)過第一象限的點

（1,心,則一次函數(shù)尸的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)尸混-法+。（存0）的圖象經(jīng)過第一象限的點（1,?）,可以判斷6<0

和ac異號.再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：：點（1,%）在第一象限.

：.-b>0.

：.b<0.

;二次函數(shù)廣加-公+°3和）的圖象經(jīng)過第一象限的點（1,-b）.

-b=a-b+c.

a+c=O.

ac<0.

???一次函數(shù)產(chǎn)版的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知

識.關(guān)鍵在于判斷氏-農(nóng)的正負性.

【例6】（4分）（2021?福建10/25）二次函數(shù)廠以2-2ox+c（a>0）的圖象過A（-3,%）,B

（T,竺），C（2,券），D（4,yD四個點，下列說法一定正確的是（）

A.若yi>2>0,則y3y4>0B.若yiy4>0，則y2y3>0

C.若y2y4<0，則以,3<。D.若y3y4<0，則yiy2<0

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

【分析】觀察圖像可知，乃>以>”>/，再結(jié)合題目一一判斷即可.

觀察圖像可知，，以>%>丫2>”，

若％”>0,則y3y4>0或y3y4<0，選項A不符合題意，

若州丫4>0,則y2y3>0或y2y3<0，選項B不符合題意，

若y2y4<0，則力>3<0，選項C符合題意，

若y3y4<0，則以”<0或%>2>0，選項D不符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題，

屬于中考?？碱}型.

【例7】（3分）（2021?山西10/23）拋物線的函數(shù)表達式為y=3（x-2）2+l,若將x軸向上平移

2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數(shù)

表達式為（）

A.y=3（x+l）2+3B.y=3（x-5）2+3C.y=3（^-5）2-lD.y=3（尤+1）2-1

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換

【分析】此題可以轉(zhuǎn)化為求將拋物線“向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度”

后所得拋物線解析式，將拋物線直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而

得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意知，將拋物線y=3（x-2）2+l向下平移2個單位長度，再向右平移3個

單位長度后所得拋物線解析式為：j=3（x-5）2-l.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【例8】（3分）（2021?通遼10/26）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,動點尸，。同時

從點A出發(fā)，點P沿A-B-C的路徑運動，點Q沿A-O-C的路徑運動，點P,Q的運

動速度相同，當(dāng)點P到達點C時，點。也隨之停止運動，連接尸Q.設(shè)點尸的運動路程為

x,P02為戶則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

【考點】動點問題的函數(shù)圖象

【分析】在RtA4P。中，利用勾股定理可求出尸。的長度，分0WxW3、3WxW4及4WxW

7三種情況找出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，對照四個選項即可得出結(jié)論.

【解答】解：在Rt2\AP。中，ZQAP=90°,AP=AQ=x,

."02=2*.

當(dāng)0Wx<3時，AP=AQ=x,

2。2=2/；

當(dāng)3WxW4時，DP=x-3,AP=x,

；.y=9=32+32=18；

當(dāng)4WxW7時，CP=7-x,CQ=1-x,

：.y=Pe2=CP2+C22=2r-28x+98.

故選：C.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象以及勾股定理，分0WxW3、3WxW4及4WxW7

三種情況找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【例9】(12分)(2021?安徽22/23)已知拋物線y=o?-2x+l(a#0)的對稱軸為直線x

=1.

(1)求。的值；

(2)若點M(xi,yi),N(%2,”)都在此拋物線上，且-1<X2<2.比較yi與

”的大小，并說明理由；

(3)設(shè)直線y=〃z(m>0)與拋物線y=G?-2x+l交于點4、B,與拋物線y=3(x-1)2

交于點C,D,求線段A3與線段CO的長度之比.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】(1)根據(jù)公式，對稱軸為直線萬=--^，代入數(shù)據(jù)即可；

2a

(2)結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論；

(3)分別聯(lián)立直線y=%與兩拋物線的解析式，表示出A,B,C,。的坐標，再表示出線

段AB和線段C。的長度，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知，拋物線y=--2x+l(aWO)的對稱軸尤=_二==1,

2aa

?*ci~~1.

(2)由(1)可知，拋物線的解析式為：y=x2-2x+l=(x-1)2

Vtz=l>0,

???當(dāng)x>l時，y隨工的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，

?I-l<xi<0,1<%2<2,

AKI-xi<2,0<x2-1<1,

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)拋物線開口向上時，距離對稱軸越遠，值越大，

?'?yi>y2.

(3)聯(lián)立(m>0)與-2x+l=(x-1)2,可得A(1+,m),B(l-y[m，

?'?AB—,

聯(lián)立y=m(m>0)與y=3(x-1)2,可得C(l+

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題等，題目難度適中,

數(shù)形結(jié)合思想及求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點需要聯(lián)立方程是解題基礎(chǔ).

知識點3：二次函數(shù)的最值

知疚點梳理

二次函數(shù)的最值：

(1)如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)

(2)如果自變量的取值范圍是無那么，首先要看-幺是否在自變量取值范圍

XlWx《X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=—2時，y最值=生￡二或；若不在此范圍內(nèi)，則需

2a’最值44

要考慮函數(shù)在尤iWxW尤2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨彳的增大而增大，則當(dāng)

1二九2時，y最大uavB+bxz+c,當(dāng)x三ri時，y最小UQXJ+ZZXI+C；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大

2

而減小，貝!I當(dāng)x=x\時，y最大=ax\+bx{+c，當(dāng)x=X2時，y最小=ax2-^bx^c.

要型用題

【例10](5分)(2021?安徽14/23)設(shè)拋物線y=/+(a+1)x+a,其中a為實數(shù).

(1)若拋物線經(jīng)過點(-1,"Z),則"2=；

(2)將拋物線y=/+(?+1)x+a向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值

是.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次

函數(shù)的最值.

【分析】(1)把點(-1,他)，直接代入拋物線解析式，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)“上加下減”可得出平移后的拋物線解析式，再利用配方法配方，可表達頂點的

縱坐標，再求最大值.

【解答】解：(1)點(-1,加)代入拋物線解析式y(tǒng)=/+(a+1)x+a,

得(-1)?+(<7+1)X(-1)+a=m,解得m=0.

故答案為：0.

(2)y=x1+(o+l)x+a向上平移2個單位可得，y=x2+(a+1)x+a+2,

?,y=(x++2，

拋物線頂點的縱坐標〃=—L(a—1尸+2，

：.n的最大值為2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象頂點坐標等內(nèi)容，題目比較簡單.

【例11】(10分)(2021?重慶B卷25/26)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+6x-4

(aWO)與無軸交于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點C關(guān)于直線/對稱，點尸為直線AD下方拋物

線上一動點，連接B4,PD,求面積的最大值.

(3)在(2)的條件下，將拋物線產(chǎn)辦2+6尸4(aWO)沿射線AD平移4無個單位，得到新的

拋物線yi，點E為點P的對應(yīng)點，點尸為V的對稱軸上任意一點，在力上確定一點G,使

得以點。，E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標，并

任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.

備用圖

【考點】二次函數(shù)綜合題

【分析】(1)直接代入點A,8坐標即可；

(2)作「￡〃》軸交直線A。于E,通過鉛垂高表示出△APD的面積即可求出最大面積；

(3)通過平移距離為4無，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，得出平移后

的拋物線關(guān)系式和E的坐標，從而平行四邊形中，已知線段。E,分。E為邊還是對角線，

通過點的平移得出G的橫坐標即可.

【解答】解：(1)將A(-1,0),B(4,0)代入y=a*+陵-4得

{a—￡7—4=0

6a+45-4=0'

[b=-3

(2)當(dāng)x=0時，產(chǎn)-4,

???點C(0,-4),

???點。與點。關(guān)于直線/對稱，

：.D(3,-4),

VA(-1,0),

?,?直線AO的函數(shù)關(guān)系式為：尸-獷1,

設(shè)P(/n,m2-3m-4),

作PE//y軸交直線AD于E,

PE=-m-l-(m2-3m_4)=-m2+2m+3?

S4APD=~XPEx4=2(—m2+2m+3)=—2m2+4m+6，

當(dāng)機=--------=1時，SAAPD最大為=8.

2x(-2)

...沿AD方向平移4犯，實際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位,

VP(1,-6),

：.E(5,-10),

拋物線y=/-3x-4平移后yi^-llx+20,

拋物線力的對稱軸為：直線x=〃，

2

當(dāng)。E為平行四邊形的邊時：

若。平移到對稱軸上歹點，則G的橫坐標為巨，

2

代入yi=fTlx+20得y=——，

若E平移到對稱軸上尸點，則G的橫坐標為Z,

2

代入yi=x2-llx+20得y=——,

若。石為平行四邊形的對角線時，

若E平移到對稱軸上尸點，則G平移到。點,

???G的橫坐標為9,

2

代入yi=x2-llx+20得y=——，

4

，G§,勺或G（（-祟或G（早

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，鉛垂高求三角形的面積，

以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是沿AD平移40轉(zhuǎn)化為右

平移4個單位，再向下平移4個單位，屬于中考壓軸題.

鞏固訓(xùn)綜

-___________________________

1.（3分）（2021?西藏10/27）將拋物線y=（x-1尸+2向左平移3個單位長度，再向下平移

4個單位長度所得到的拋物線的解析式為（）

A.y=X2—8A-+22B.y=X2—8JC+14C.y-X1+A-X+10D.y—X1+4x+2

2.（3分）（2021?呼和浩特10/24）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與無軸交

于兩點（九0）,（〃,0）,且過4（0,6）,3（3,a）兩點3,。是實數(shù)），若0＜根＜〃＜2,則曲的

取值范圍是（）

41198149

A.0<ab<—B.0<ab<—C.0<ab<—D.0<ab<—

881616

3.（3分）（2021?包頭20/26）已知拋物線y=f-2龍-3與x軸交于A,B兩點（點A在點

3的左側(cè)）與y軸交于點C,點￡）（4,y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)

BE+DE的值最小時，/VICE的面積為.

4.（12分）（2021?呼和浩特24/24）已知拋物線y=。無？+依+>0）.

（1）通過配方可以將其化成頂點式為，根據(jù)該拋物線在對稱

軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當(dāng)頂點在x軸（填上方或下方），即4M-公

0（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；

（2）若拋物線上存在兩點4（占，%）,B（X2,%），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在

x軸下方，請你結(jié)合A、3兩點在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論

的正確性給以說明；（為了便于說明，不妨設(shè)玉〈尤2且都不等于頂點的橫坐標；另如果需要

借助圖象輔助說明，可自己畫出簡單示意圖）

（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當(dāng)a>0,（a+c）（a+b+c）<0時，

（b-c）2>4a（a+t>+c）.

5.（13分）（2021?呼倫貝爾?興安盟26/26）如圖，直線y=x+2與拋物線>=62+法+6（。/0）

相交于點A（g,｝和點3（4,〃?）.拋物線與x軸的交點分別為H、K（點”在點K的左

側(cè)）.點尸在線段上運動（不與點A、3重合），過點歹作直線尸軸于點尸，交拋

物線于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接AC,是否存在點尸，使△剛C是直角三角形？若存在，求出點尸的坐

標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2,過點C作CEL至于點E,當(dāng)△C。'的周長最大時，過點廠作任意直線/,

把△。所沿直線I翻折180。,翻折后點C的對應(yīng)點記為點Q,求出當(dāng)△CEB的周長最大時，

點F的坐標，并直接寫出翻折過程中線段KQ的最大值和最小值.

6.（12分）（2021?通遼26/26）如圖，拋物線y=辦?+法+3交x軸于4（3,0）,3（—1,0）兩點，

交y軸于點C,動點尸在拋物線的對稱軸上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)以P,B,C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及APBC的周長；

（3）若點。是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點。，使得以A,C,P,。為頂

點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明理

7.（14分）（2021?赤峰25/26）如圖，拋物線y=-x1+bx+c軸交于（-3,0）>2（1,0）兩點，

與y軸交于點C,對稱軸/與x軸交于點F,直線m//AC,點E是直線AC上方拋物線上一

動點，過點E作EHL%,垂足為交AC于點G,連接AE、EC、CH、AH.

（1）拋物線的解析式為;

（2）當(dāng)四邊形甌石面積最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接即，點P是無軸上一動點，在拋物線上是否存在點。，使得

以尸、E、P、。為頂點，以EF為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點Q

的坐標；若不存在，說明理由.

8.（3分）（2021?陜西8/26）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)

值：

x…-2013???

y…6-4-6-4

下列客選項中，正確的是（、

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點

C.這個函數(shù)的最小值小于-6

D.當(dāng)x>l時，y的值隨x值的增大而增大

9.（4分）（2021?廣東12/25）把拋物線y=2丁+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個

單位長度，得到的拋物線的解析式為.

10.（12分）（2021?云南23/23）已知拋物線y=-2/+bx+c經(jīng)過點（0,-2）,當(dāng)時，y

隨x的增大而增大，當(dāng)龍>-4時，y隨x的增大而減小.設(shè)r是拋物線y=-2f+bx+c與x

軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，m二9二?

r+60r-1

（1）求6、c的值；

（2）求證：/_2/+1=60/；

（3）以下結(jié)論：m<l,m=l,m>l,你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結(jié)論.

11.（10分）（2021?天津24/25）在平面直角坐標系中，。為原點，△OAB是等腰直角三角

7

形，ZOBA=90°,BO=BA,頂點A（4,0）,點5在第一象限，矩形OCDE的頂點口一^,

0）,點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限，射線DC經(jīng)過點3.

（I）如圖①，求點3的坐標；

（II）將矩形OCDE沿尤軸向右平移，得到矩形OCOE,點O,C,D,E的對應(yīng)點分

別為O',c,D',E'.設(shè)OO'=t,矩形OC'OE與△043重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)點￡在兀軸正半軸上，且矩形OCZ7F與△OAB重疊部分為四邊形時，DE

與08相交于點尸，試用含有f的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍；

C(O,-1),頂點為D.

(I)當(dāng)。=1時，求該拋物線的頂點坐標；

(II)當(dāng)。>0時，點E(O,l+a),若DE=2垃DC,求該拋物線的解析式；

(III)當(dāng)a<-1時，點/(0,1-々)，過點C作直線/平行于x軸，M(m,0)是x軸上的動點，

N(m+3,-l)是直線/上的動點.當(dāng)。為何值時，+的最小值為2丁正，并求此時點M,

N的坐標.

13.(10分)(2021?上海24/25)已知拋物線>=爾+。(。工0)經(jīng)過點尸(3,0)、2(1,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點A在直線尸。上，過點A作軸于點6,以鉆為斜邊在其左側(cè)作等腰直角

三角形ABC.

①當(dāng)。與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標.

5-

4-?

3-

2-

1.

III________I1111A

-3-2-1C12345x

-I-

14.（12分）（2021?新疆23/23）已知拋物線y=<^-2"+3（a/0）.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）把拋物線沿y軸向下平移31al個單位，若拋物線的頂點落在x軸上，求。的值；

（3）設(shè)點P（a，X）,。（2,%）在拋物線上，若%>%，求。的取值范圍.

15.（6分）（2021?北京26/28）在平面直角坐標系xOy中，點（A,m）和點（3,n）在拋

物線>=依2+區(qū)（a>0）上.

（1）若加=3,”=15,求該拋物線的對稱軸；

（2）已知點（-1,yi）,（2,>2），（4,>3）在該拋物線上.若比較yi,yi,J3

的大小，并說明理由.

16.（14分）（2021?福建25/25）已知拋物線y=辦?+bx+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P（0,l）,求a+6的最小值；

（2）已知點￡（-2,1）,￡（2,-1）,月（2,1）中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/:>=履+1與拋物線交于M,N兩點，點A在直線y=-l上，且4￡4N=90。，

過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和/于點3,C.求證：△MA8與△M8C的面積

相等.

17.（10分）（2021?廣東25/25）已知二次函數(shù)y=〃/+云+。的圖象過點（-1,0）,且對任意

實數(shù)x,都有4x-12釉犬+6x+c2%2-8^+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與無軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點M是（1）中

二次函數(shù)圖象上的動點.問在x軸上是否存在點N,使得以A、C、M、N為頂點的四邊

形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

18.（13分）（2021?山西23/23）綜合與探究

如圖，拋物線y=；d+2x-6與x軸交于A,3兩點（點A在點5的左側(cè)），與y軸交于點

C,連接AC,BC.

（1）求A、B,C三點的坐標并直接寫出直線AC,3c的函數(shù)表達式.

（2）點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作3c的平行線/,交線段AC于點

D.

①試探究：在直線/上是否存在點E,使得以點。，C,B,E為頂點的四邊形為菱形，

若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點與直線AC交于點N.當(dāng)5^=5。"時，請直

接寫出DM的長.

19.(10分)(2021?吉林26/26)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=爐+bx+c的圖

71

象經(jīng)過點A(0,--)，點3(1,—).

44

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)-2別；2時，求二次函數(shù)>=/+云+。的最大值和最小值；

(3)點尸為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標為加，過點P作尸?！ㄈ咻S，點Q的橫坐標

為-2根+1.已知點尸與點。不重合，且線段尸。的長度隨加的增大而減小.

①求機的取值范圍；

②當(dāng)PQ,,7時，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y=f+6x+c(-2,x<g)的圖象交點個數(shù)及對

應(yīng)的加的取值范圍.

20.(12分)(2021?西藏27/27)在平面直角坐標系中，拋物線y=+笈+c與彳軸交于人，

3兩點.與y軸交于點C.且點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,5).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖(甲).若點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點.當(dāng)點P到直線3c的距離最大時，

求點P的坐標；

(3)圖(乙)中，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使

得以3,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

1.(3分)(2021?西藏10/27)將拋物線y=(x-+2向左平移3個單位長度，再向下平移

4個單位長度所得到的拋物線的解析式為()

A.y=X2—8x+22B.y=X2—8x+14C.y=x2+4x+10D.y=X2+4x+2

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解答即可.

【解答】解:將拋物線、=3-1)2+2向左平移3個單位長度所得拋物線解析式為：

y=(x-l+3)2+2,BPy=(x+2)2+2；

再向下平移4個單位為：y=(x+2)2+2-4,y=(x+2)2-2=x2+4x+2-

故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此

題的關(guān)鍵.

2.(3分)(2021?呼和浩特10/24)已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交

于兩點(肛0),(",0),且過A(0,6),8(3,a)兩點S，。是實數(shù))，若則成的

取值范圍是()

41,198149

A.0<ctb<-B?0<ctb<—C.0<ab<—D.0<cib<—

881616

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與X軸的交點

【分析】方法1、由二次項系數(shù)為1的拋物線判斷出拋物線的開口向上，開口大小一定，進

而判斷出仍>0,再根據(jù)完全平方公式判斷出。=6，且拋物線與X軸只有一個交點時，是必

3Q

的最大值的分界點，進而求出機=〃=心，進而求出a=6==，即可得出結(jié)論.

24

3939

方法2、先表不出》=〃附，a=(3—tn)(3—ri),進而得出ab=[—Qw—)2H—][—("—)2H—],

2424

再判斷出0<-(加_；)20<_("_:)2+",即可得出結(jié)論.

244244

【解答】解法1：函數(shù)是一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)，

，此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，

拋物線與x軸交于兩點(見0),(〃,0),且0<相<〃<2,

.,.<7>0,b>0,

:.ab>0,

(a-b)2=a2+b2-lab..0(a=b時取等號)，

即a2+ZA.ZR?(當(dāng)4=6時取等號)，

.,.當(dāng)a=6時，詔才有可能最大，

二次函數(shù)過4(0,6),3(3,0兩點，

.?.點A,3關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即拋物線的對稱軸為直線x=L5,

拋物線與x軸交于兩點⑴,0),5,0),S.0<m<n<2,

拋物線的頂點越接近尤軸，ab的值越大，

即當(dāng)拋物線與無軸只有一個交點時，是成最大值的分界點，

3

當(dāng)拋物線與無軸只有一個交點時，此時機=〃=一，

2

QQ

???拋物線的解析式為y=(%-1)2=/一3%+；

24

,9

:.a=b=一,

4

八781

/.0<ab<—,

16

故選：C.

解法2：-二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,份和(3,〃)兩點，

b=mn,a=(3—m)(3—ri),

/.ab=mn(3—m)(3—ri)=(3m—m2)(3〃—n2)=[—(m—^-)2+'][一(〃—-1)2+1

0<m<n<3,

c/3、299c,3、299

0<-(m--y+-?-,0<-(n--y

244244

m<n,

?，*ab不能取——，

16

八81

/.0<mn<——,

16

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，完全平方的非負性，判斷出a=b以及拋物線與

九軸只有一個交點時，他最大這個分界點是解本題的關(guān)鍵.

3.(3分)(2021?包頭20/26)已知拋物線y=--2元-3與x軸交于A,B兩點(點A在點

3的左側(cè))與y軸交于點C,點0(4,y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)

5E+OE的值最小時，/XACE的面積為4.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；軸對稱-

最短路線問題

【分析】解方程/-2%-3=0得4-1,0)，3(3,0),則拋物線的對稱軸為直線x=l,再確定

C(0,-3),￡)(4,5),連接位)交直線x=l于E,交y軸于R點，如圖，利用兩點之間線段最

短可判斷此時龐+DE的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線4)的解析式為y=x+l,

則尸(0,1),然后根據(jù)三角形面積公式計算.

【解答】解：當(dāng)y=0時，X2-2X-3=0,解得占=-1,%=3,則4(一1,0)，3(3,0),

拋物線的對稱軸為直線x=l,

當(dāng)x=0時，>=/-2尤一3=—3,則CQ-3),

當(dāng)x=4時,y=x2-2x-3=5,則0(4,5),

BE+DE=EA+DE=AD,

???此時BE+DE的值最小，

設(shè)直線AD的解析式為丁=丘+〃，

f-k-j-h—0[k—]

把A(TO),0(4,5)代入得，，，二，解得，,，

[4k+b=5[b=1

直線AD的解析式為y=x+\,

當(dāng)x=l時，y=x+l=2,貝i」E(l,2),

當(dāng)x=0時，y=x+l=l,則尸(0,1),

^AACE=^AACF+^AECF=—x4xl+—x4xl=4.

故答案為4.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=aY+bx+c(a,b,c是常數(shù)，

。w0)與無軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和

最短路徑問題.

4.(12分)(2021?呼和浩特24/24)已知拋物線y=依?+履+〃(。＞0).

kA-nh-k2

(1)通過配方可以將其化成頂點式為y=a(尤+白族+絲產(chǎn)，根據(jù)該拋物線在對稱

軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當(dāng)頂點在云軸—(填上方或下方)，即4功-左2

0(填大于或小于)時，該拋物線與x軸必有兩個交點；

(2)若拋物線上存在兩點A(%,%),B(X2,%)，分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在

x軸下方，請你結(jié)合A、5兩點在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論

的正確性給以說明；(為了便于說明，不妨設(shè)為＜三且都不等于頂點的橫坐標；另如果需要

借助圖象輔助說明，可自己畫出簡單示意圖)

(3)利用二次函數(shù)(1)(2)結(jié)論，求證：當(dāng)。＞0,(a+c)(a+6+c)＜0時，

(b-c)2＞4a(a+b+c).

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征;二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)的三種形式；

拋物線與x軸的交點

【分析】(1)先提公因式。，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；

(2)若設(shè)占＜%且不等于頂點橫坐標則A,3兩點位置可能有以下三種情況：①當(dāng)A,3

都在對稱軸左側(cè)時，②當(dāng)A,3都在對稱軸右側(cè)時，③當(dāng)A,3在對稱軸兩側(cè)時，根據(jù)二

次函數(shù)性質(zhì)可得答案；

(3)令y=62+(6-c)尤+(q+b+c),根據(jù)點的特殊性得，y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)

在兩點(-l,2a+2c),(0,a+6+c)分別位于x軸兩側(cè)，然后根據(jù)(1)(2)可得答案.

【解答】解:(1)

y=ax2+kx+h=a(x2+—x)+//=a[x2+—x+(—)2—(--)2]+h=a(x+—)2——+h=a(x+—)2——

aa2a2a2a4a2a4a

，頂點式為：y=g+F)2+,當(dāng)頂點在x軸下方時，即4a〃-公＜。(填大于或小