高中數學必修四三角函數練習1

2015年01月07日必修四三角函數組卷1

2015年01月07日必修四三角函數組卷1

選擇題（共16小題）

1.（2014?甘肅一模）在aABC中，a、b、c分別為NA、ZB,NC的對邊，三邊a、b、c成等差數列，且

則cosA-cosC的值為（）

AD

-土MB.&C.炯-土炯

丫2GMo）

2.（2006?奉賢區(qū)一模）函數f（x）=\，則集合｛Xlf（f（x））=0｝元素的個數有（）

4sinx（0<x4兀）

A.、2個B.3個C.4個D.5個

3.（2005?安徽）在AABC中，已知tanA強sinC,給出以下四個論斷：

2

①tanA?cotB=l,

②lVsinA+sinB?&,

③siJA+cosbf,

(4)cos2A+cos2B=sin2C,

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

TTJT

4.(1999?廣東)若sina〉tana〉cota(--),則ae()

A-(-1-4)(-=，0)c(0,2)D.(2L2L)

「2)

2444

5.已知sine+cos。」，06（―,n）,則tan。的值是（）

52

A._4B._3C.4D.3

3434

6.若a是銳角，且滿足sin（a），，則cosa的值為（）

63

A.2A/6+1B.2^6-1C.2V3+1D.2M-1

6644

7.在RtZiABC中，ZC=90°,那么sinAcos2(45。-至)-sinAos^()

222

A-有最大值工和最小值為0B,有最大Q,但無最小值

44

C.既無最大值，也無最小值D.有最大』，但無最小值

2

8.若a,b,c是AABC的三邊，直線ax+by+c=0與圓x?+y2=l相離，則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

〉〈

9.(2011?安徽模擬)對Va,bGR,運算"軟、"9"定義為：a0b=Jfa(，a八b),a十b=Ifa(a,、b)、，則_下列各

[b(a<b)[b(a>b)

式中恒成立的是()

①(sinx?cosx)+(sinx?cosx)=sinx+cosx.

②(2*8x2)-(2x?x2)=2X-x2,

③(sinx⑥cosx)?(sinx?cosx)=sinx?cosx.

④(2x?x2)-(2x0x2)=2X-x2.

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

x」+CQSX+X_2—0

10.(2012?綿陽二模)若實數x,y滿足方程組<則cos(x+2y)=()

8y3-2cos32yl>3=0

A.0B.1C.1D.1

32

11.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是()

A?.AA]B..?

sinA+cosA=-AB?BC>0

5

C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,0=3^3?B=30°

12.函數f(x)=&si：x+cosx(04x6)的最大值為()

sinx+yi-sinx

A.1B.V2c.MD.2

13.已知△ABC,若對任意keR,<IBA+kCBl^|AC|.則4ABC一定是（)

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

14.已知。為AABC內一點，若對任意keR有I贏+（k-1）而-1<前以布-前1,則AABC一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

15.如果e是第二象限角，且滿足co晶一sin-^Wl二sind，那么￡（）

A.是第一象限角

B.是第三象限角

C.可能是第?象限角，也可能是第三象限角

D.是第二象限角

16.計算cos20°sin50°sinl70°=（）

A.1B.1C.1D.1

36816

二.填空題（共14小題）

17.（2012?廣東模擬）如圖，點A,B,C是圓O上的點，且AB=2,BC=V6>ZCAB=120°,則/AOB對應的

劣弧長為.

18.（2012?道里區(qū)三模）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且acosB-bcosA=］c，當tan（A

-B）取最大值時，角C的值為.

19.（2011?安徽）設f（x）=asin2x+bcos2x,a,bGR,abwO若f（x）<lf（—）-切x€R恒成立,則

6

①f=0.

12

②if（Z2L）i<if（21）I.

105

③f（x）既不是奇函數也不是偶函數.

@f（x）的單調遞增區(qū)間是［kn+工，kn+空］（kGZ）.

63

⑤存在經過點（a,b）的直線于函數f（x）的圖象不相交.

以上結論正確的是寫出正確結論的編號）.

20.（2011?漣源市模擬）在AABC中，給出下列四個命題:

①若sin2A=sin2B,則AABC為等腰三角形；

②若sinA=cosB,則aABC是直角三角形：

③若cosA?cosB?cosC<0,則4ABC是鈍角三角形；

④若cos（A-B）?cos（B-C）?cos（C-A）=1,則4ABC是等邊三角形.

以上命題正確的是（填命題序號）.

21.（2010?重慶）如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C,各段弧所在的圓經過同-點P（點

P不在C上）且半徑相等.設第i段弧所對的圓心角為四（i=l,2,3）,則

22.（2010?延慶縣一模）直線y=2x+l和圓x2+y2=l交于點A,B兩點，以x軸的正方向為始邊，OA為終邊（O是

坐標原點）的角為a,OB為終邊的角為仇則sin（a+p）=.

23.（2007?北京）2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的.弦圖

是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積

為25,直角三角形中較小的銳角為。，那么COS29的值等于.

24.若工<入<工，則函數y=tan2xtan”的最大值為

42

25.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上,CD_LAB于點D,且AD=3DB,設NCOD=6,貝lj,tan6=

“L...sin(x+y)sin(x-y)

26.實數x,y滿足tanx=x,tany=y,Q1月.Ixlwlyl,nil則-------------------------=

x+yx-y

27.L2知a,p,y￡R,則|sina-sinB|+〃|sinB-sinY|+1|sinY-sina|的耳文大值為------------

28.已知a、B為一個鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中錯誤的是

?tanatanp<1；②sina+sinB<42；

③cosa+cosB>l；?Itan(a+B)〈tan.士邑.

29.下面這道填空題印刷原因造成在橫線內容無法認清，現知結論，請在橫線上，寫原題的一個條件，題目：已知

ct>B均為銳角，且sina-sinB=一，則cos(Q-p)=-^..

30.設a,b均為大于1的自然數，函數f(x)=a(b+sinx),g(x)=b+cosx,若存在實數m,使得f(m)=g(m),

貝lja+b=.

2015年01月07日必修四三角函數組卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共16小題）

1.（2014?甘肅一模）在aABC中，a、b、c分別為NA、ZB./C的對邊，三邊a、b、c成等差數列，且

則cosA-cosC的值為（）

A.±V2B.&c.炯D.+炳

考點：三角函數的化簡求值；等差數列的性質.

專題：計算題；壓軸題.

分析：通過a、b、c成等差數列以及正弦定理得到關系式，利用和差化積，二倍角公式以及三角形的內角和，推

出cosAl￡=2sin￡,求出sin9二￡利用和差化積化簡cosA-cosC,代入B,即可求出結果.

222

解答：解：由于a,b,c成等差數列，所以有：2b=a+c；

據正弦定理有：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC；代入2b=a+c,

化簡，得：

2sinB=sinA+sinC=2sin-^i^cos—^=2sin-兀-BA-C

------cos-

22~1~

=2cos^cos^_^=4sin”o里

2222

cosA2￡2sinB,

22

sM-=±^1-4sin2-^=±Vl-2(1-cosB)=±V2cosB~1

cosA-cosC=-2sinMsinA_2=±2Cos|Ay2cosB-1

=±V2(1+cosB)(2cosB-l)

=±V4cosB_2+4coS2B_2cosB

士42cosB_2+4cos2B

=±A/2COS45°-2+4COS2450=

2+2

=士炳；

故選D.

點評：本題考查和差化積公式的應用，二倍角以及同角三角函數的基本關系式的應用，考查計算能力.

?2（4A）

2.（2006?奉賢區(qū)一模）函數f（x）''飛'，則集合｛xlf（f（x））=0｝元素的個數有（）

4sinx（0<x《冗）

A.、2個B.3個C.4個D.5個

考點：三角函數的化簡求值.

專題：計算題；壓軸題；分類討論.

分析：根據分段函數f(x)解析式，我們結合集合元素要滿足的性質f[f(x)]=0,易通過分類討論求了所有滿足

條件的x的值，進而確定集合中元素的個數.

解答：解：當xVO時，f(x)=0可得x=0

當OVxMrt時,若f(x)=4sinx=0,則sinx=0,則x=n

當xWO時，若f(x)=x2=n,貝IJX=-5/3^"，

TT

當OVxVrt時，若f(x)=4sinx=n,則sinx^—

4

mu—.兀TT.兀

,則x=arcsin——?兀-arcsin—

又；f[f（x）]=0

/.f（X）=0,或f（X）=Tt

??x="JT，x=0,或X=QJ?CSjn—，或冗—3rcsin—，或x=n

44

故選：D

點評:本題考查的知識點是集合中元素的個數及分段函數的函數值，其中根據分段函數的解析式，利用分類討論

的思想構造關于x的方程是解答本題的關鍵

3.（2005?安徽）在AABC中，已知ta世安sinC,給出以下四個論斷:

2

①tanA?colB=l,

②l<sinA+sinBV&,

③si/A+cos2BT,

@cos2A+cos2B=sin2C>

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

考點：三角函數的化簡求值；同角三角函數基本關系的運用.

專題：計算題；壓軸題.

分析：先利用同角三角函數的基本關系和二倍角公式化簡整理題設等式求得cos巡=返進而求得A+B=90。進而求

22

得①tanA?cotB=tanA?tanA等式不一定成立，排除：②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數的性質求得其范

圍符合，②正確；

③si/A+cc^BuZsin2A不一定等于1,排除③；④利用同角三角函數的基本關系可知

cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=l,進而根據090。可知sinC=l,進而可知二者相等.④正確.

解答：格〃??+A+B?廠

解：.tan-smC

2

.A+B

-------j^=2sin坦cos^

A+B22

COb2

整理求得cos(A+B)=0

.,.A+B=90°.

.??tanA?cotB=tanA”anA不一定等于1,①不正確.

sinA+sinB=sinA+cosA=V2sin(A+45°)

45°<A+45°<135°,

返Vsin（A+45。）<1,

2_

1<sinA+sinB<V2>

所以②正確

cos2A+cos-B=cos2A+sin2A=l.

sin2C=sin2900=l,

所以cos2A+cos2B=sin2C.

所以④正確.

sin2A+cos2B=sin~A+sin2A=2sin2A=l不?定成立，故③不正確.

綜上知②④正確

故選B.

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值.考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力.

4.(1999?廣東)若sina〉tanCl〉cota(--<Q<—)，則a€(

A.(子,喘)B.(一全o)C.(°,?D.

考點:弦切互化；任意角的三角函數的定義；同角三角函數基本關系的運用.

專題:計算題；壓軸題.

分析:先根據sina>出口_,整理求得sina<0,判斷出a的范圍，進而根據tana>cota轉化成正弦和余弦，可推

cosa

斷典L>-1,進而根據正切函數的單調性求得a的范圍，最后綜合答案可得.

cosa

解答:解：Vsina>sinCI-,-2L<a<2L

cosa22

cosasina-sina>0,即sina(cosa-1)>0

Vcosa-l<0

TT

sina<0,--<a<0

2

*.*tana>cota

?sinCI>cosQ-

cosasina

JT

V--<a<0

2

.?.sina>_]

cosCI

即tana>-1

.、兀

..a>一-

4

綜合得-_2L<a<0

4

故選B

點評:本題主要考查了弦切互化的問題.解題的關鍵是通過弦切的互化找的解決問題的突破口.

5.已知sinS+cose」，0G(―,n),則tan。的值是()

52

A.4B.3C.4D.3

3434

考點：三角函數的恒等變換及化簡求值.

專題：計算題；壓軸題.

分析：利用萬能公式把tan2代入題設等式，求得tan■生的值，進而利用正切的二倍角公式求得答案.

22

解答：a1_2

解：設tanix(x>0),則-解出X=2,

21+x21+x25

??,tan6=乙2xc4

1-X23

故選A；

點評：本題主要考查了三角函數的恒等變換及化簡求值.考查了考生對三角函數基礎公式的熟練應用.

6.若a是銳角，且滿足sin(a-—)」，則cosa的值為()

63

A.2V6+1B.2^6-1C.2V3+1D.2V3-1

-6-6~~4-4~

考點:兩角和與差的余弦函數.

專題:計算題；壓軸題.

分析:先根據a是銳角，且滿足sin(a-—)」求出cos(a)的值，再由

636

cosa=cos[(a-尚)哼]根據兩角和與差的余弦公式得到最后答案.

解答:解：山a是銳角，且sin(a-—)J可得cos(a)匚選，

6363

-穴_2氓-1

cosa=cos[(a.--i^-]=cos(a-cos-^-sin(a-sin-

66666~66~

故選B.

點評:本題主要考查兩角和與差的余弦公式、同角三角函數的基本關系.

7.在Rt^ABC中，ZC=90",那么sinAcos?(45°-0)-sinAos^()

222

A，有最大值工和最小值為0B，有最大值工，但無最小值

44

C.既無最大值，也無最小值D-有最大工，但無最小值

2

考點：二倍角的正弦.

專題：計算題；壓軸題.

分析：先根據二倍角公式將sinAcos?(45。-?)-sin良。色化簡，然后再由RtZsABC中，/C=90。，確定A的范

222

圍，進而根據正弦函數的性質可得到答案.

解答：布漢???卜2'AA

W：?smAcos(45-—)-sm—cos-=-

222

.l+cos(90°-B)1..l+sinB1.

=sinAA-------------------------------sinA=sinAA--sinAA

2222

_sinAcosA_sin2A

~24~

VRtAABC中，ZC=90°0°<A<90°0°<2A<180°

...期四有最大值工但無最小值

44

故選B.

點評：本題主要考查二倍角公式的應用和正弦函數的性質.考查基礎知識的綜合應用.

8.若a,b,c是AABC的三邊，直線ax+by+c=0與圓x?+y2=l相離，則AABC一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

考點：三角形的形狀判斷；直線與圓的位置關系.

專題：計算題；壓軸題.

分析：先根據ax+by+c=0與圓x2+y2=l相離，可得到圓心到直線ax+by+c=0的距離大于半徑1,進而可得到

II2,,2.2

?/叵L->1,即c2>a?+b2,可得到cosC=￡-^———<0.從而可判斷角C為鈍角，故三角形的形狀

序港2ab

可判定.

解答：

解：由已知得，d=I—~——>1，

2,,2_2

.2、2,.2.ca+bC/n

?.c>a+b，??cosC----------------<0，

2ab

故4ABC是鈍角三角形.

故選C.

點評：本題主要考查三角形形狀的判定、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系.考查基礎知識的綜合運用.

((a)b)(a(<b)

9.(2011?安徽模擬)對Va,beR,運算"⑥"、定義為：a@b=Jaa十b二，，a、、，則下列各

[b(a<b)[b(a>b)

式中恒成立的是()

①(sinx?cosx)+(sinx?cosx)=sinx+cosx,

②(2、(g)x2)-(2x?x2)=2X-x2,

③(sinx?cosx)?(sinx?cosx)=sinx?cosx,

④(2x?x2)-(2x0x2)=2X-x2.

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

考點：三角函數中的恒等變換應用；有理數指數塞的運算性質.

專題：壓軸題；新定義.

分析：結合新定義，驗算①②③④，即可判斷正確選項.

解答：解：由題意可知:①(sinx?cosx)+(sinx?cosx)=sinx+cosx.③(sinx?cosx)?(sinx?cosx)=sinx*cosx,

加法與乘法滿足交換律，正確；

②(2、(g)x2)-(2x?x2)=2X-x2,@(2x?x2)-(2、g)x2)=2、-x2不恒成立，

故選C.

點評：本題是基礎題，考查新定義的應用，考查發(fā)現問題解決問題的能力，?？碱}型.

x」+cosx+x-2—0

10.(2012?綿陽二模)若實數x,y滿足方程組｛則cos(x+2y)=()

8y~~2cos^y+2y+3=0

A.0B.1C.j.D.1

32

考點：兩角和與差的余弦函數.

專題：計算題；壓軸題.

分析：將方程組中的第二個方程第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后設t=-2y,變形后與第一個方程

完全相同，可得出t=x,進而得到x與y的關系式x=-2y,即x+2y=0,代入所求的式子中，利用特殊角的

三角函數值化簡即可求出值.

3

解答：(x+COsx+x-2=00

解：｛,

8y-2cos^y+2y+3=0(2)

山②化簡得：8y3-(l+cos2y)+2y+3=0,

整理得：-8y3+cos2y-2y-2=0,即(-2y)3+cos(-2y)+(-2y)-2=0,

設t=-2y,則有t3-cost+t-2=0,

與方程①對比得：t=x,即x=-2y,

/.x+2y=0,

則cos(x+2y)=1.

故選D

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，利用了換元的思想，靈活變換第二個方程

是解本題的關鍵.

11.下列條件中，^ABC是銳角三角形的是()

A..AA1B??'—?

smA+cosA=-AB?BC>0

5

C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,c=3\fs<B=30°

考點：三角函數值的符號.

專題：證明題；壓軸題.

分析：將各個選項中的條件進行等價轉化，結合三角函數在各個象限的符號，考查三角形是否為銳角三角形.

解答：解：由sinA+cosA」，得2sinAcosA=-&<0,；.A為鈍角，故選項A不滿足條件.

525

由標?前>0,得以?前<0,.?.cosvEl前><0.；.B為鈍角，故選項B不滿足條件.

山tanA+tanB+tanC>0,得tan(A+B)?(1-tanAtanB)+tanC>0.

即tanC[-(1-tanAtanB)+l]>0,BPtanAtanBtanOO,

故有A、B、C都為銳角，故選項C滿足條件.

由b-c,得sincH3,.?(上或空，故選項D不滿足條件.

sinBsinC233

點評：銳角的三角函數都是正數；鈍角的余弦和正切是負數，只有正弦是正數；體現了轉化的數學思想.

12.函數f(x)=亞呼+cosx(0<x<n)的最大值為()

sinx+^/1-sinx

A.1B.&C.V3D.2

考點：三角函數的化簡求值.

專題:綜合題；壓軸題.

分析:要使f(x)=/耳上萼=(0<x<n)取得最大值，由于分母為正，則需分子最大，分母最小即可.

sinx+^/1-sinx

解答:解：要使f(x)n?。?竺L(0<x<n)取得最大值，由于分母為正，則需分子最大，分母最小即可

sinx+^/1-sinx

令y=>/^sinx+cosx,貝Uy'=\/^cosx-sinx,當y'>0時，為增函數，tanx<2,(0<x<n),即sinxV近,

cosx

3

>2上或sinx>0,cosx<0；當tanx>J，時，為減函數；當sinx」后，(△后時，y=J，sinx+cosx有最

cosx—

333

大值=7^；x=0,■和x=n時有極值1,和-1,則y=J^sinx+cosx的值域[-1,V3].

令尸sinx+=l-sinx，41-sinx=t，

.12A

二廠-V+t+k-(t-^)+］

?..(E區(qū)1,../=()或1時，函數取得最小值1,函數的值域為“，3.

4

當sinxHIcosxU后時，分子取料，分母取不到1,所以排除C,D.

33

t=0時，sinx=l,cosx=0,分子V^sinx+cosx取得最大值為f(x)=J^si/x+co：x(Q<X<H)取得

sinx+^/1-sinx

最大值后；

t=l時;sinx=0,cosx=l,分子J^sinx+cosx取得最大值為Lf(x)='，2=i】：+—］、=(O<X<R)取得最

sinx+^/1-sinx

大值1;

綜上知，f(x)=植駕上萼=(0<x<n)的最大值為我.

sinx+A/1-sinx

點評：本題考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，考查二次函數的最值，屬于中檔題.

13.已知AABC,若對任意k€R,有I箴+k連巨|菽|，則4ABC一定是()

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

考點：三角形的形狀判斷.

專題：計算題；壓軸題.

分析：一一

圖中BC'的長度就是IBA+kCBI，要使不等式成立，則IACI必須是BC'的最小值，即AC垂直BC,故角C

為直角.

解答?—

解：當k為任意實數時，那么kCB的方向有可能向左，也可能向右.長度也是不確定的，

圖中BC'的長度就是I就+k在I，可以看出，當BC'垂直CB時，I箴+k連I有最小值，要使不等式成立，

則IACI必須是BC'的最小值，即AC垂直BC,故角C為直角，

故選A.

c

點評：本題考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，判斷三角形的形狀的方法，判斷IACI必須是BC'的

最小值，是

解題的關鍵.

14.已知。為aABC內一點，若對任意k6R有1位+(k-1)而-kiSzliX-iG，則AABC一定是()

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

考點：三角形的形狀判斷.

專題：計算題；壓軸題.

分析：根據題意畫出圖形，在邊BC上任取一點E,連接AE,根據已知不等式左邊絕對值里的幾何意義可得k

逐前，再利用向量的減法運算法則化簡，根據垂線段最短可得AC與EC垂直，進而確定出三角形為直角

三角形.

解答：解：從幾何圖形考慮：

IBA-k前以以I的幾何意義表示：在BC上任取一點E,可得kBC=BE，

AIBA-kBCI=IBA-BEHIEAI>ICAh

又點E不論在任何位置都有不等式成立，

二由垂線段最短可得ACEC,即/C=90。，

則^ABC??定是直角三角形.

故選A

點評：本題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有平面向量的加減法的法則，以及其幾何意義，判斷出AC1BC

是解題的關鍵.

15.如果e是第二象限角，且滿足coJ-siq=vr7而不，那么()

A.是第一象限角

B.是第三象限角

C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D.是第二象限角

考點：半角的三角函數.

專題：計算題：壓軸題.

分析:先根據e的范圍確定且的范圍，再由cos-1-_sin-1"Rl—sinJ可確定cos-1■與sin-1"的大小關系,

2

進而確定且的象限.

2

解答:解：是第二象限角，工+2k兀＜8＜兀+2k兀二三k兀＜且＜工+1￡兀&口）

2422

當k為偶數時，且在第一象限；當k為奇數時，且在第三象限；

22

..r——\.ee_7_ie_.8e_.e

fsin--sin

?A/1-sin?（sin--cos—）-|cos—~~THcos^~T

、乙乙乙乙乙乙

.e、.e

,?cos-^-^sin—

.?.且是第三象限角

2

故選B.

點評:本題主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函數的基本關系.屬基礎題.

16.計算cos20°sin50°sinl70°=（）

A.1B.1C.1D.1

36816

考點：二倍角的正弦.

專題：計算題：壓軸題.

分析：先將三角函數式看成分母為1的分式，再分子、分母同乘以8sin20。，湊出連續(xù)的二倍角正弦公式，從而化

簡三角函數式.

解答：健.cc?！癱。cc。..8sin200cos200cos400cos800_sinl6ci01

峰.cos20cos40cos80-3~\＜?~o-"

8sin2A08sin2OuAo8

故答案為-1.

8

故選C.

點評：本題考查湊公式的能力及考查二倍角的正弦公式.解答關鍵是配個分母后逆用二倍角公式，屬于基礎題.

二.填空題（共14小題）

17.（2012?廣東模擬）如圖，點A,B,C是圓O上的點，且AB=2,BC=V6＞ZCAB=120°,則NAOB對應的

劣弧長為返冗.

-2-

考點：弧長公式.

專題：計算題；壓軸題.

分析:利用正弦定理求出NACB的大小，然后再求NAOB,最后求出/AOB對應的劣弧長.

解答:

解：由正弦定理可知:ABBC2娓

sinZACB=sinZCAB(sinZACB=sinl200

sinZACB=^-？ZAOB=2LOB=V2

22

/AOB對應的劣弧長：返冗

_2

故答案為：返冗

2

點評：本題考查弧長公式，考查計算能力，是基礎題.

18.(2012?道里區(qū)三模)在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且acosB-bcosA=］c，當tan(A

-B)取最大值時，角C的值為二.

—2-

考點：兩角和與差的正切函數；正弦定理的應用.

專題：壓軸題；三角函數的求值.

分析：利用正弦定理及誘導公式化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切后得到

tanA=3tanB,利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan(A-B),將tanA=3tanB代入，利用基本不等式變形,

求出tan(A-B)取得最大值時tanA與tanB的值，進而確定出A與B的度數，即可此時得到C的度數.

解J?解：利用正弦定理化簡已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA」sinC」sin(A+B)」(sinAcosB+cosAsinB),

222

整理得：sinAcosB=3cosAsinB,

兩邊除以cosAcosB得：tanA=3tanB,

則tan(A-B)叫2t0=———，

2

1+tanAtanBl+3tanB3tanB+^

tanB

,:A、B是三角形內角，且tanA與tanB同號，

:.A、B都是銳角，EPtanA>0,tanB>0,

.,.3tanB+-J—>273.當且僅當3tanB=~l—,即tanB。^時取等號，

tanBtanB3

/.tanA=3tanB=^/3?

:.A^2L,B-2L,

36

貝I」C』.

2

故答案為：2L

2

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，正弦定理，同角三角函數間的基本關系，誘導公式，以及基本不

等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.

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