2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題04面積定值問題(學(xué)生版+解析)

專題04面積定值問題一、知識導(dǎo)航二、典例精析如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，拋物線在線段BC上方部分取一點P，連接PB、PC，若△PBC面積為3，求點P坐標(biāo)．思路1：鉛垂法列方程解．根據(jù)B、C兩點坐標(biāo)得直線BC解析式：y=-x+3，設(shè)點P坐標(biāo)為，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，則點Q坐標(biāo)為（m，-m+3），，，分類討論去絕對值解方程即可得m的值．思路2：構(gòu)造等積變形同底等高三角形面積相等．取BC作水平寬可知水平寬為3，根據(jù)△PBC面積為3，可知鉛垂高為2，在y軸上取點Q使得CQ=2，過點Q作BC的平行線，交點即為滿足條件的P點．當(dāng)點Q坐標(biāo)為（0,5）時，PQ解析式為：y=-x+5，聯(lián)立方程：，解之即可．當(dāng)點Q坐標(biāo)為（0,1）時，PQ解析式為：y=-x+1，聯(lián)立方程：，解之即可．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點、．（1）求、滿足的關(guān)系式及的值．（2）如圖，當(dāng)時，在拋物線上是否存在點，使的面積為1？若存在，請求出符合條件的所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）點A坐標(biāo)為（-2,0），點B坐標(biāo)為（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考慮A、B水平距離為2，△PAB的面積為1，故對應(yīng)的鉛垂高為1．當(dāng)a=-1時，可得b=-1，拋物線解析式為y=-x2-x+2．取點C（0,3）作AB的平行線，其解析式為：y=x+3，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+3，解得x=-1，故點坐標(biāo)為（-1,2）取點D（0,1）作AB的平行線，其解析式為：y=x+1，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+1，解得，．點坐標(biāo)為、點坐標(biāo)為．三、中考真題演練1．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(2)點是函數(shù)圖象上的一動點，點，點，當(dāng)時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；4．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延寬線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．5．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線上的點A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點B，點M為y軸負(fù)半軸上一點，且，連接，．

(1)求點M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；7．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．①當(dāng)時，求的寬；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標(biāo)．專題04面積定值問題一、知識導(dǎo)航二、典例精析如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，拋物線在線段BC上方部分取一點P，連接PB、PC，若△PBC面積為3，求點P坐標(biāo)．思路1：鉛垂法列方程解．根據(jù)B、C兩點坐標(biāo)得直線BC解析式：y=-x+3，設(shè)點P坐標(biāo)為，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，則點Q坐標(biāo)為（m，-m+3），，，分類討論去絕對值解方程即可得m的值．思路2：構(gòu)造等積變形同底等高三角形面積相等．取BC作水平寬可知水平寬為3，根據(jù)△PBC面積為3，可知鉛垂高為2，在y軸上取點Q使得CQ=2，過點Q作BC的平行線，交點即為滿足條件的P點．當(dāng)點Q坐標(biāo)為（0,5）時，PQ解析式為：y=-x+5，聯(lián)立方程：，解之即可．當(dāng)點Q坐標(biāo)為（0,1）時，PQ解析式為：y=-x+1，聯(lián)立方程：，解之即可．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點、．（1）求、滿足的關(guān)系式及的值．（2）如圖，當(dāng)時，在拋物線上是否存在點，使的面積為1？若存在，請求出符合條件的所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）點A坐標(biāo)為（-2,0），點B坐標(biāo)為（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考慮A、B水平距離為2，△PAB的面積為1，故對應(yīng)的鉛垂高為1．當(dāng)a=-1時，可得b=-1，拋物線解析式為y=-x2-x+2．取點C（0,3）作AB的平行線，其解析式為：y=x+3，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+3，解得x=-1，故點坐標(biāo)為（-1,2）取點D（0,1）作AB的平行線，其解析式為：y=x+1，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+1，解得，．點坐標(biāo)為、點坐標(biāo)為．三、中考真題演練1．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當(dāng)時，求的寬；②當(dāng)點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出頂點坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)時，，的坐標(biāo)分別是，，再求出，時點Q的縱坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②先求出，易得P，Q的坐標(biāo)分別是，，然后分點G在點Q的上方與點G在點Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，∴，

∴，∴頂點M的坐標(biāo)是．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為，∴點A的坐標(biāo)是．當(dāng)時，，的坐標(biāo)分別是，．當(dāng)時，，即點Q的縱坐標(biāo)是2，當(dāng)時，，即點P的縱坐標(biāo)是1．∵，∴點G的縱坐標(biāo)是1，

∴．

②存在．理由如下：∵的面積為1，，∴．根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是，．如圖1，當(dāng)點G在點Q的上方時，，此時（在的范圍內(nèi)），

如圖2，當(dāng)點G在點Q的下方時，，此時（在的范圍內(nèi)）．

∴或．2．（2023·四川甘孜·中考真題）已知拋物線與x軸相交于，B兩點，與y軸相交于點．

(1)求b，c的值；(2)P為第一象限拋物線上一點，的面積與的面積相等，求直線的解析式；【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）得到，即可求解；【詳解】（1）由題意，得（2）由（1）得拋物線的解析式為．令，則，得．∴B點的坐標(biāo)為．，∴．∵，∴直線的解析式為．∵，∴可設(shè)直線的解析式為．∵在直線上，∴．∴．∴直線的解析式為．

3．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(2)點是函數(shù)圖象上的一動點，點，點，當(dāng)時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描點，連線畫出函數(shù)圖形，根據(jù)圖形寫出一條性質(zhì)即可；（2）利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴，根據(jù)題干中的表格數(shù)據(jù)，描點，連線，得到函數(shù)圖象，如下：由圖象可知：圖象關(guān)于軸對稱；故答案為：．（2）解：∵點，點，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時：，解得：，∴或，當(dāng)時：，解得：，∴；綜上：或或；4．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延寬線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，，，解得：，拋物線的解析式為：；（3）解：設(shè)點，直線的解析式為，，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時，，，，，在拋物線中，當(dāng)時，，，，，設(shè)點的坐標(biāo)為，，，，，，，解得：，點的坐標(biāo)為，．5．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【詳解】（1）解：將點，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設(shè)的解析式為，將點代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延寬至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線上的點A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點B，點M為y軸負(fù)半軸上一點，且，連接，．

(1)求點M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；【分析】（1）根據(jù)點M在y軸負(fù)半軸且可得點M的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）過點P作軸于點F，交線段AC于點E，用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，則，，故，先求得，從而得到，解出p的值，從而得出點P的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵點M在y軸負(fù)半軸且，∴將，代入，得解得∴拋物線的解析式為（2）解：過點P作軸于點F，交線段AC于點E，

設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線AC的解析式為設(shè)點P的橫坐標(biāo)為則，，∴∵，∴，解得，∴7．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．①當(dāng)時，求的寬；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法求得，即可解答；（2）①求出點，點的坐標(biāo)，即可得到直線的解析式為，設(shè)，則，求得的解析式，列方程求出點的坐標(biāo)，最后根據(jù)列方程，即可求出的寬；②過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，根據(jù)，解得，