新教材同步備課2024春高中數學課時分層作業(yè)33直線與平面垂直的定義及判定定理新人教A版必修第二冊

課時分層作業(yè)(三十三)直線與平面垂直的定義及判定定理一、選擇題1．若直線a與平面α不垂直，則平面α內與直線a垂直的直線有()A．0條 B．1條C．多數條 D．不確定2．若直線l與平面α所成的角為π3，直線a在平面α內且與直線l異面，則直線l與直線aA．0，πC．π2，3．如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定4．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC與平面ABCD所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°5．(多選題)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()ABCD二、填空題6．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側棱，且PA，PB，PC兩兩垂直，已知PA＝2，PB＝3，PC＝4，則三棱錐P-ABC的體積是________．7．已知圓錐的底面半徑為1cm，側面積為2πcm2，則母線與底面所成角的大小為________．8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，與直線OM垂直的是________．三、解答題9．如圖，四邊形ABCD是圓柱的一個軸截面，點E是上底面圓周上的一點，已知AB＝BC＝5，AE＝3．(1)求證：DE⊥平面ABE；(2)求直線BE與平面ADE所成角的正切值．10．如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH11．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3．則下列關系確定成立的是()A．cosθ1cosθ2＝cosθ3B．cosθ1cosθ3＝cosθ2C．sinθ1sinθ2＝sinθ3D．sinθ1sinθ3＝sinθ212．(多選)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點，則下列推斷正確的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，當底面A1B1C1滿意條件________時，有AB1⊥BC1．(填上你認為正確的一種條件即可)14．如圖，∠ACB＝90°，平面ABC外有一點P，PC＝4cm，點P到角的兩邊CA，CB的距離PE，PF都等于23cm，求PC與平面ABC所成角的大?。?5．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若PD與平面ABCD所成的角為α，當α為多少度時，MN⊥平面PCD?課時分層作業(yè)(三十三)直線與平面垂直的定義及判定定理1．C[如圖，a不與α垂直，A是a上一點，C是a與α的交點，AB⊥α，又c?α，故AB⊥c，若c⊥b，AB∩b＝B，則c⊥平面ABC，且a?平面ABC，則有c⊥a，故這樣的直線有多數條．]2．D[如圖所示，設直線l與平面α的交點為A，過點A在α內作直線b∥a，則直線l與直線b所成的角即為直線l與直線α所成的角．而這兩條直線所成的角的取值范圍是0，π2，所以所成的角的最大值是π2．又由最小角定理知直線l與直線b所成的角的最小角即為直線l與平面α所成的角，所以最小值為π3．C[∵AB⊥α，l?α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l?β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.]4．C[如圖，連接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角，∵AC＝2，∴tan∠PCA＝PAAC∴∠PCA＝60°.]5．BD[對于A，由AB與CE所成角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，連接AC(圖略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故選BD.]6．4[因為BP⊥PC，BP⊥PA，且PC∩PA＝P，所以BP⊥平面PAC，所以V＝13Sh＝13S△7．π3[由圓錐側面積公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，設母線與底面所成角為θ，則cosθ＝rl＝128．平面AB1C，平面A1C1D[因為AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可證B1C⊥OM，AC∩B1C＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D.]9．解：(1)證明：四邊形ABCD是圓柱的一個軸截面，AB⊥平面ADE，因為ED?平面ADE，所以AB⊥ED，又E在底面圓上，AD為直徑，所以AE⊥DE，又AE∩AB＝A，所以DE⊥平面ABE.(2)因為AB⊥平面ADE，所以∠AEB為直線BE與平面ADE所成角，在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝3，所以tan∠AEB＝ABAE10．B[∵EG⊥平面α，PQ?平面α，∴EG⊥PQ.又EG⊥平面α，FH⊥平面α，∴EG∥FH，則EG與FH共面，為使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF.若EF⊥平面β，由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又∵EG與EF相交于點E，從而PQ⊥平面EGHF，則PQ⊥GH.]11．B[因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以cosθ1＝ABPB，cosθ2＝BCPB，cosθ3＝則有cosθ1cosθ3＝cosθ2．]12．ABC[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C正確；∵PC?平面PBC，∴AD⊥PC，故B正確；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正確．]13．A1C1⊥B1C1(答案不唯一)[如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)]14．解：如圖，過點P作PO⊥平面ABC于點O，連接CO，則CO為∠ACB的平分線，且∠PCO為PC與平面ABC所成的角，設其為θ.∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.連接OF，易知△CFO為直角三角形．又PC＝4，PF＝23，∴CF＝2，∴CO＝22.在Rt△PCO中，cosθ＝COPC＝215．解：(1)證明：取PD的中點E，連接NE，AE，如圖．又∵N是PC的中點，∴NE∥DC且NE＝12DC，又∵DC∥AB且DC＝AB,AM＝12∴AM∥CD且AM＝12CD∴NE∥AM，且NE＝AM，∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.∵AE?平面PAD，