備考2025屆高考數(shù)學一輪復習強化訓練第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第6講離散型隨機變量及其分布列數(shù)字特征

第6講離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征1.[命題點1]設X是一個離散型隨機變量，其分布列為X01P9a2－a3－8a則常數(shù)a的值為（A）A.13 B.23 C.13或23 D.－解析由分布列的性質(zhì)可知0≤9a2－2.[命題點2]已知ξ的分布列如表所示.ξ012P？??？其中，“！”處完全無法看清，盡管兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正確的個數(shù)是（CA.0 B.1 C.2 D.3解析設“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正確；③P（ξ＝0）＝a＝1－b2≤123.[命題點2/2024南昌市一模]某班打算購買班服，確定從A，B兩種款式中選出一種統(tǒng)一購買.現(xiàn)在全班50位同學贊成購買A，B款式的人數(shù)分別為20，30，為了盡量統(tǒng)一看法，打算在全班進行3輪宣揚，每輪宣揚從全班同學中隨機選出一位，介紹他贊成所選款式的理由.假設每輪宣揚后，贊成該同學所選款式的不會變更看法，不贊成該同學所選款式的同學會有5位變更看法，改成贊成該同學所選款式.（1）計算第2輪宣揚選到的同學贊成A款式的概率.（2）設經(jīng)過3輪宣揚后贊成A款式的人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學期望.解析（1）記第i輪宣揚選到的同學贊成A款式為事務Ai，第i輪宣揚選到的同學贊成B款式為事務Bi，i＝1，2，3.因為P（A1A2）＝2050×2550＝P（B1A2）＝3050×1550＝所以第2輪宣揚選到的同學贊成A款式的概率P（A2）＝P（A1A2）＋P（B1A2）＝15＋950＝（2）經(jīng)過3輪宣揚后贊成A款式的人數(shù)X的全部可能取值為5，15，25，35，則P（X＝5）＝P（B1B2B3）＝3050×3550×4050P（X＝15）＝P（A1B2B3）＋P（B1A2B3）＋P（B1B2A3）＝2050×2550×3050＋3050×1550×3050＋3050P（X＝25）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2A3）＋P（A1A2B3）＝3050×1550×2050＋2050×2550×2050＋2050P（X＝35）＝P（A1A2A3）＝2050×2550×3050所以X的分布列為X5152535P4239293所以E（X）＝5×42125＋15×39125＋25×29125＋35×34.[命題點3/2024南寧市第一次適應性測試]在某次現(xiàn)場聘請會上，某公司支配從甲和乙兩位應聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個問題中隨機抽取3個問題作答.假設甲能答對的問題有4個，乙每個問題能答對的概率為23（1）求甲在第一個問題答錯的狀況下，其次個和第三個問題均答對的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大.解析（1）記“甲第一個問題答錯”為事務A，“甲其次個和第三個問題均答對”為事務B，則P（A）＝26＝13，P（AB）＝13×45×∴甲在第一個問題答錯的條件下，其次個和第三個問題均答對的概率為P（B｜A）＝P（AB）P（（2）設甲答對的問題數(shù)為X，則X的全部可能取值為1，2，3.P（X＝1）＝C41C22C63＝15，P（X＝2）＝C42C21∴X的分布列為X123P131E（X）＝1×15＋2×35＋3×15D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15設乙答對的問題數(shù)為Y，則Y的全部可能取值為0，1，2，3.P（Y＝0）＝（1－23）3＝1P（Y＝1）＝C31×23×（1－23）P（Y＝2）＝C32×（23）2×（1－23P（Y＝3）＝（23）3＝8∴Y的分布列為Y0123P1248E（Y）＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8（另解：∵Y～B（3，23），∴E（Y）＝3