2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題突破第09講直角三角形的性質(zhì)與判定含解析新版浙教版

Page1第9講直角三角形的性質(zhì)和判定考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)【學(xué)問(wèn)點(diǎn)睛】直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余；斜邊上的中線=?斜邊長(zhǎng)30°角所對(duì)的直角邊=?斜邊長(zhǎng)直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用常結(jié)合相關(guān)性質(zhì)有：直角三角形垂直的意義；平行線的性質(zhì)；等腰三角形等邊對(duì)等角；角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和與外角和定理；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；ABCDRtABCD留意事項(xiàng)：如右圖，當(dāng)Rt△斜邊上的中線的條件出現(xiàn)時(shí)，常見(jiàn)考察方向有：①CD=?AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD，即△ACD、△BCD均為等腰三角形；【類題訓(xùn)練】1．已知，在直角△ABC中，∠C為直角，∠B是∠A的2倍，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．50° C．70° D．90°【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，依據(jù)直角三角形兩銳角互余可得x+2x＝90°，解方程即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∵∠C為直角，∴∠A+∠B＝90°，∴x+2x＝90°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，故選：A．2．如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，依據(jù)同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴∠BAC+∠EDF＝180°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故與∠E相等的角有3個(gè)，故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列結(jié)論中，不愿定成立的是（）A．∠A與∠1互余 B．∠B與∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2【分析】A、B依據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推斷；C、依據(jù)同角的余角來(lái)找等量關(guān)系；D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B兩種狀況來(lái)探討．【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A與∠1互余，正確；B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B與∠2互余，正確；C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠A＝∠2，正確；D、當(dāng)∠A＝∠B時(shí)，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分線，也是斜邊上的高與中線，所以∠1＝∠2，正確；當(dāng)∠A≠∠B時(shí)，∠1≠∠2，錯(cuò)誤；故選：D．4．一個(gè)直角三角形斜邊上的中線為5，斜邊上的高為4，則此三角形的面積為（）A．40 B．30 C．20 D．10【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)先求出斜邊長(zhǎng)，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵直角三角形斜邊上的中線為5，∴斜邊長(zhǎng)＝10，∵斜邊上的高為4，∴此三角形的面積＝×10×4＝20，故選：C．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且∠B＝30°，AD＝4，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則D，E之間的最小距離為（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出CD＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則DE為D，E之間的最小距離，由角平分線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∵AD＝4，∴CD＝AD＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則DE為D，E之間的最小距離，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝2，故選：C．6．如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)，則下滑過(guò)程中OP的長(zhǎng)度變更狀況是（）A．慢慢變大 B．不斷變小 C．不變 D．先變大再變小【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得OP＝AB，即可解答．【解答】解：∵P是AB的中點(diǎn)，∠AOB＝90°，∴OP＝AB，∵木桿AB的長(zhǎng)固定，∴OP的長(zhǎng)度不變，故選：C．7．如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，設(shè)∠DFE＝α，則∠C的度數(shù)可表示為（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α【分析】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BEA＝90°，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF＝DF，BF＝EF，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2∠C＝α，∴∠C＝90°﹣，故選：D．8．如圖，在等邊△ABC中，AB＝10，P為BC上隨意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若，則PD的長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．【分析】依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝60°，則∠BPD＝∠CPE＝30°，依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PC＝2CE，PE＝CE，可得PC＝4，則BP＝6，再依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝10，∵PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．∴∠BPD＝∠CPE＝30°，PC＝2CE，PE＝CE，PB＝2BD，PD＝BD，∴CE＝2，∴PC＝4，∴BP＝6，∴BD＝3，∴PD＝3．故選：D．9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，則∠B＝°，∠C＝°．【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠B+∠C＝90°，解二元一次方程組即可求出∠B和∠C的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°①，又∵∠B﹣∠C＝14°②，①+②得2∠B＝104°，解得∠B＝52°，∴∠C＝90°﹣52°＝38°，故答案為：52，38．10．如圖，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則三角形MCD的面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，垂足為E，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得CM＝DM＝AB＝5，從而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可以求出CE的長(zhǎng)，然后在Rt△CEM中，利用勾股定理求出EM的長(zhǎng)，最終利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，垂足為E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝5，DM＝AB＝5，∴CM＝DM，∵M(jìn)E⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝3，在Rt△CEM中，EM＝＝＝4，∴△CDM的面積＝CD?EM＝×6×4＝12，故答案為：12．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一個(gè)銳角為60°，AB＝10．若點(diǎn)Q在直線AB上（不與點(diǎn)A、B重合），當(dāng)∠QCB＝30°時(shí)，CQ的長(zhǎng)為．【分析】分∠ABC＝60°、∠ABC＝30°兩種狀況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，則BC＝AB＝5，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，∵∠QCB＝30°，∴∠BQC＝180°﹣∠ABC﹣∠QCB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴CQ⊥AB，則CQ＝BCcos30°＝5×＝；當(dāng)點(diǎn)Q（Q′）在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠Q′CB＝30°，∠ABC＝60°，∴CQ'＝2CQ＝5．（2）當(dāng)∠ABC＝30°時(shí)，如圖，∵∠QCB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ACQ＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△QAC為等邊三角形．∴CQ＝AC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝×10＝5．∴CQ＝5．綜上，PC的長(zhǎng)為：5或或5．故答案為：5或或5．12．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DE于點(diǎn)F．（1）求證：CF平分∠DCE；（2）求∠DFC的度數(shù)．【分析】（1）由已知的一副三角板可知：△ABC是等腰直角三角形，則∠3＝∠B＝45°，由平行線所截得內(nèi)錯(cuò)角相等得：∠1＝∠3＝45°，所以∠2＝45°，從而得出結(jié)論；（2）依據(jù)外角定理可得：∠DFC＝∠E+∠2．【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠3＝∠B＝45°，∵CF∥AB，∴∠3＝∠1＝45°，∵∠DCB＝90°，∴∠2＝∠DCB﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，∴∠1＝∠2，∴CF平分∠DCE；（2）在△EFC中，∠E＝60°，∴∠DFC＝∠E+∠2＝60°+45°＝105°．13．已知：如圖，△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的AC的平行線分別交AB于E，交BC于F．（1）求證：EF＝AE+CF；（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周長(zhǎng)．【分析】（1）依據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EAD＝∠DAC，依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠EDA，等量代換得到∠EAD＝∠EDA，求得EA＝ED，同理，F(xiàn)D＝FC，于是得到結(jié)論；（2）依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到BA＝2BC＝6，依據(jù)三角形的周長(zhǎng)公司即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵ED∥AC，∴∠DAC＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，同理，F(xiàn)D＝FC，∴ED+DF＝EA+FC，即EF＝AE+CF；（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BA＝2BC＝6，∴△BEF的周長(zhǎng)＝BE+ED+DF+BF＝BE+EA+BF+FC＝BA+BC＝9．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上，PD始終保持與PA相等，DE⊥PD交BC于點(diǎn)E．（1）求證：點(diǎn)E在BD的垂直平分線上；（2）若∠DEB＝α，①求∠CPD的度數(shù)；（用含α的式子表示）②當(dāng)α＝110°時(shí)，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出∠B＝∠EDB，進(jìn)而得出ED＝EB，據(jù)此即可得解；（2）①依據(jù)四邊形內(nèi)角和及鄰補(bǔ)角的定義求解即可；②依據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A，∵DE⊥PD，∴∠PDE＝90°，∴∠EDB＝90°﹣∠PDA，∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB，∴點(diǎn)E在BD的垂直平分線上；（2）解：①∵∠PDE＝∠C＝90°，∴∠CPD+∠CED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠DEB+∠CED＝180°，∴∠CPD＝∠DEB，∵∠DEB＝α，∴∠CPD＝α；②∵α＝110°，∠CPD＝α，∴∠CPD＝110°，∵∠A＝∠ADP，∠A+∠ADP＝∠CPD，∴∠A＝55°．15．如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，點(diǎn)D，E分別是BC，MN的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接DM，DN．依據(jù)直角三角形的中線得到DM＝DN，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）依據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：如圖，連接DM，DN，∵BN、CM分別是△ABC的兩條高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，∵E為MN的中點(diǎn)，∴DE⊥MN；（2）解：∵BC＝26，∴DM＝BC＝13，∵點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，MN＝10，∴ME＝5，由勾股定理得：DE＝＝12．考點(diǎn)二直角三角形的判定【學(xué)問(wèn)點(diǎn)睛】直角三角形判定的方法：①有一個(gè)角為直角的△是直角三角形；②有兩個(gè)內(nèi)角互余的△是直角三角形③一邊上的中線=這邊長(zhǎng)度的一半的△是直角三角形；④30°角所對(duì)的邊長(zhǎng)=30°角臨邊的一半的△是直角三角形⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形留意事項(xiàng)：①上面直角三角形判定方法中，在綜合問(wèn)題中，第③條須要利用等邊對(duì)等角與內(nèi)角和證明之后才能用，選擇填空可以干脆應(yīng)用；②常見(jiàn)利用角度證明直角三角形的類型有：∠A＋∠B=90°；∠A＋∠B=∠C；∠A=?∠B=?∠C；∠A：∠B：∠C=a：b：c且a+b=c；【類題訓(xùn)練】1．在△ABC中，滿足下列條件：①∠A＝60°；②∠A＝∠C﹣∠B；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④∠A＝90°﹣∠C．其中，判定△ABC是直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】依據(jù)給出條件，推斷是否有一個(gè)角是直角即可．【解答】解：①：只知道一個(gè)角的度數(shù)不能判定△ABC是直角三角形；②：∠A＝∠C﹣∠B，則∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，可以判定△ABC是直角三角形；③：∠A：∠B：∠C＝1：1：2，則∠C＝90°，可以判定△ABC是直角三角形；④：∠A＝90°﹣∠C，則∠A+∠C＝90°，∠B＝90°，可以判定△ABC是直角三角形．故選：C．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，則AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，則AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，則∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，則∠BAC＝90°【分析】依據(jù)直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判定可求解．【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，∵∠BAP＝∠B，∴∠CAP＝∠C，∴AP＝PC，只有當(dāng)∠B＝30°時(shí)，AC＝PC，故錯(cuò)誤；B．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP+∠CAP＝90°，∵∠BAP＝∠C，∴∠C+∠CAP＝90°，∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，即AP⊥BC，故正確；C．∵AP⊥BC，PB＝PC，∴AP垂直平分BC，而∠BAC不愿定等于90°，故錯(cuò)誤；D．依據(jù)PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，無(wú)法證明∠BAC＝90°，故錯(cuò)誤，故選：B．3．如圖，在由25個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫Rt△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【解答】解：依據(jù)題意可得以AB為邊畫直角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共8個(gè)．故選：D．4．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON＝40°，（1）當(dāng)∠A＝時(shí)，△AOP為直角三角形；（2）當(dāng)∠A滿足時(shí)，△AOP為鈍角三角形．【分析】（1）分∠A＝90°和∠OPA＝90°兩種狀況進(jìn)行探討，即可求出答案；（2）分∠A為鈍角和∠OPA為鈍角兩種狀況進(jìn)行探討，即可求出答案．【解答】解：（1）當(dāng)∠A＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形，當(dāng)∠OPA＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形，∵∠AON＝40°，∴此時(shí)，∠A＝90°﹣∠AON＝90°﹣40°＝50°，綜上所述，當(dāng)∠A＝90°或50°時(shí)，△AOP為直角三角形，故答案為：90°或50°；（2）當(dāng)90°＜∠A＜180°時(shí)，△AOP為鈍角三角形，當(dāng)90°＜∠OPA＜180°時(shí)，△AOP為鈍角三角形，∵∠AON＝40°，∴此時(shí)，0°＜∠A＜50°，綜上所述，當(dāng)90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°時(shí)，△AOP為鈍角三角形，故答案為：90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°．5．如圖，已知D是線段BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．【分析】依據(jù)平角的概念求出∠ACB＝90°，依據(jù)對(duì)頂角相等、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B，∵∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠AOE＝90°，∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．6．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度數(shù)．（2）若CD⊥AB于點(diǎn)D，∠CDF＝75°，求證：△CFD是直角三角形．【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠ACE的度數(shù)．（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)，即可得到∠DCF的度數(shù)，進(jìn)而得出∠CFD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝45°；（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，又∵∠CDF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，∴△CFD是直角三角形．7．假如三角形中隨意兩個(gè)內(nèi)角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，試推斷△ABC是否是“準(zhǔn)直角三角形”，并說(shuō)明理由；（2）假如△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，那么△ABC是；（從下列四個(gè)選項(xiàng)中選擇，填寫符合條件的序號(hào)）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．①若DE∥BC交AB于點(diǎn)E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“準(zhǔn)直角三角形”是（填寫序號(hào)），并說(shuō)明理由；②在直線AB上取一點(diǎn)F，當(dāng)△BFD是“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，求出∠DFB的度數(shù)．【分析】（1）求出∠C的度數(shù)，依據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義推斷即可；（2）依據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義，再結(jié)合三角形內(nèi)角和推斷即可；（3）①依據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義推斷，將其他角度表示出來(lái)即可；②留意分類探討，由（2）得“準(zhǔn)直角三角形”是鈍角三角形，則可以鈍角為依據(jù)進(jìn)行分類探討，另外，同時(shí)留意是哪個(gè)角的兩倍，再進(jìn)行分類探討．【解答】解：（1）是，理由如下∠A＝100°，∠B＝70°，則∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°，則2∠C+∠B＝90°∴△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”；（2）若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形“，則可設(shè)2∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°，∴△ABC為鈍角三角形．故答案為：③．（3）①∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°，∴△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不滿足“準(zhǔn)直角三角形”條件，∵∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠BED＝100°，△BED不滿足“準(zhǔn)直角三角形”條件，∵∠DBC＝40°，∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不滿足“準(zhǔn)直角三角形”條件，故答案為：④．②由（2）△BFD確定為鈍角三角形，當(dāng)∠ADB為鈍角時(shí)，若2∠BFD+∠FBD＝90°，由①得△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”，∴當(dāng)F與A重合時(shí)，△BFD為“準(zhǔn)直角三角形”，此時(shí)∠DFB＝∠DAB＝25°；若2∠FBD+∠BFD＝90°，∵∠FBD＝40°，∴∠DFB＝10°；當(dāng)∠BFD為鈍角時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)在線段AB上，若2∠FDB+∠FBD＝90°時(shí)，∠FDB＝25°，∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°；若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°，∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°；當(dāng)∠DBF為鈍角時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，∵∠FBD＝140°，∴∠BFD+∠BDF＝40°，若2∠BDF+∠DFB＝90°，則∠BDF＝50°，與題設(shè)沖突，舍去；綜上，∠DFB的度數(shù)為130°或者115°或者25°或者10°．【綜合練習(xí)】1．如圖，公路AC，BC相互垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)，若測(cè)得AB的長(zhǎng)為2.8km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（）A．1.5km B．2.8km C．1.4km D．1.9km【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出CM＝AB，再代入求出答案即可．【解答】解：∵公路AC，BC相互垂直，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB，∵AB＝2.8km，∴CM＝1.4km，故選：C．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且AE＝BE，連接CD交BE于點(diǎn)F，若∠A＝25°，則∠DFE的度數(shù)（）A．65° B．70o C．75o D．80o【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得CD＝AD，即可求解∠ACD＝25°，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可求得∠BEC＝50°，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵D為AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝25°，∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝25°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°，∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°，故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD＝BC，AE＝AC，則∠DCE的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．48°【分析】設(shè)∠DCE＝x，∠ACD＝y(tǒng)，則∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，依據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)∠DCE＝x，∠ACD＝y(tǒng)，則∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．故選：C．4．如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)Rt△ABC，∠C＝90°，并畫出了兩銳角的角平分線AD，BE及其交點(diǎn)F．小明發(fā)覺(jué)，無(wú)論怎樣變動(dòng)Rt△ABC的形態(tài)和大小，∠AFB的度數(shù)是定值．這個(gè)定值為．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，∴∠FAB+∠FBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．故答案為：135°．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求得∠DAC的度數(shù)，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解CD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求解△ABC的面積．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠ACB＝∠ABC＝15°，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝30°，∵AB＝AC＝10，∴CD＝AC＝5，∴△ABC的面積為：．故答案為：25．6．由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OK的長(zhǎng)為．【分析】由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝…＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，…OK＝OJ＝（）10OA＝（）10×16＝．故答案為：．7．如圖，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連接AE，DE，DC．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度數(shù)．【分析】（1）由SAS證明△ABE≌△CBD即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠BAE，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠BED＝45°，由∠CAE＝30°，得出∠BAE＝45°﹣30°＝15°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出所求結(jié)果．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝180°﹣90°＝90°，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CBD，∴∠B