山西省運(yùn)城市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考A卷試題含解析

Page192024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三月考（10月）數(shù)學(xué)（A卷）試題學(xué)校：__________姓名：__________班級：__________考號：__________一、單選題1.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】因為全稱命題的否定是特稱命題，干脆寫出命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“”的否定是“”.故選：C.2.已知集合，，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A.3 B.4C.5 D.6【答案】C【解析】分析】用列舉法表示集合，從而可求出.【詳解】解：，則共5個元素，故選:C3.設(shè)，則滿意的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，，即可求出滿意題意的解的個數(shù)．【詳解】因為，所以，而，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，或或；當(dāng)時，，即滿意的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為5．故選：D．4.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為()A.[－，1] B.[－，1)C.(－，0) D.(－，0]【答案】C【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個不同的零點(diǎn)，等價于函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象有三個不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由二次函數(shù)的學(xué)問可知，當(dāng)x=時，拋物線取最低點(diǎn)為-，函數(shù)y=m的圖象為水平的直線，由圖象可知當(dāng)m∈（-，0）時，兩函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，即原函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用5.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】由題意可得，又因為，所以四邊形為菱形，且，即可得答案.【詳解】解：由得，，由為外接圓的圓心，所以，結(jié)合向量加法幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故選：A.6.已知函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得：解得故選7.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分類探討，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求出最值解決恒成立問題.【詳解】函數(shù)，①當(dāng)，即時，滿意；②當(dāng)，即時，若，則有，令，則有，若，易知在上單調(diào)遞增，不愿定都滿意，∴，即，，由，解得，由，解得，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則有，解得，所以時，滿意；③當(dāng)，即時，若，則有，即，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，所以，即，所以不滿意恒成立；綜上，若，的取值范圍是.故選：A8.若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根等價于關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根.令，利用導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性，畫出圖象，由圖可解.【詳解】當(dāng)時，不成立，則，所以關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根等價于關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根.令，則當(dāng)或時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又時，時.則的圖象如下所示：由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，即關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根.故選：D二、多選題9.（多選）設(shè)函數(shù)，，則關(guān)于的說法正確的是（）A.最小正周期為B.最小正周期為C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】正弦型函數(shù)的周期可代入公式去求，奇偶性的推斷，可以運(yùn)用誘導(dǎo)公式看是否能轉(zhuǎn)化為或形式來判定.【詳解】，最小正周期,解除B，選A;由可知函數(shù)為偶函數(shù)，解除C，選D故選:AD.10.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論確定正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B.是周期為的周期函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線軸對稱 D.為偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】由，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得是周期為以及關(guān)于直線軸對稱，結(jié)合周期，對稱中心和對稱軸可推斷出為偶函數(shù)【詳解】因為，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以是周期為的周期函數(shù)，且它的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱和關(guān)于直線軸對稱，所以為偶函數(shù).故選：AD.11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.對隨意的，的周期都不行能是B.存在，使得的圖象關(guān)于直線對稱C.對隨意的，D.對隨意的，在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性的定義以及誘導(dǎo)公式可推斷A；利用誘導(dǎo)公式計算是否成立可推斷B；先利用二倍角公式化簡，再換元構(gòu)造新函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性及最值可推斷C，對化簡后的函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)推斷在上的單調(diào)性可推斷D，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于A，，所以的周期都不行能是，故選項A正確；對于B，若的圖象關(guān)于直線對稱，則，而，所以不存在，使得的圖象關(guān)于直線對稱，故選項B不正確；對于C，留意到，令，則，令，則，，易知的最大值為，因此，故選項C正確；對于D，因為，所以，當(dāng)時，，，所以，故，在上單調(diào)遞減，故選項D正確，故選：ACD.12.已知函數(shù)，若的最小正周期為，且對隨意，均有，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.函數(shù)在區(qū)間上確定不存在零點(diǎn)D.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則【答案】BD【解析】【分析】先化簡，再由函數(shù)的最小正周期確定的值，由可知在處取得最小值，從而得到與幫助角的關(guān)系，進(jìn)而可推斷選項A，B的正誤；由在處取得最小值以及函數(shù)的最小正周期，可確定函數(shù)在）以及，上的正負(fù)以及單調(diào)性，從而得出函數(shù)以及的單調(diào)性，即可推斷選項C，D的正誤．【詳解】，其中，，依題意可得，于是，其中，．因為，即在處取得最小值，所以，所以．當(dāng)時，，因此，，解得．故A選項錯誤；因為，所以，解得，故B選項正確；由于在處取得最小值，且周期為，所以當(dāng)時，，因此，因此在區(qū)間上有多數(shù)個零點(diǎn)，故C選項錯誤；由于在處取得最小值，且周期為，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，于是當(dāng)時，單調(diào)遞減，而當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，于是當(dāng)時，y單調(diào)遞增，故，即，故D選項正確．故選：BD【點(diǎn)睛】解決三角函數(shù)綜合問題的一般步驟：（1）將化為的形式；（2）構(gòu)造；（3）和角公式逆用，得（其中，）；（4）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)探討的圖象與性質(zhì)．三、填空題13.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的實部與虛部的和為___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，因此，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為.故答案為：.14..在正方形中，，分別是邊上的動點(diǎn)，當(dāng)時，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)可得向量的坐標(biāo)，依據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算以及模長的坐標(biāo)運(yùn)算即可利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值.【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，，，即，而，當(dāng)時，最小為，當(dāng)或時，最大為2，所以取值范圍為.故答案為：15.在中，邊，滿意，，則邊的最小值為______．【答案】．【解析】【分析】首先利用基本不等式得，然后，然后即可得出答案.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由余弦定理可得，，則邊的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是余弦定理及利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)為定義域為的偶函數(shù)，且滿意，當(dāng)時，.若函數(shù)在區(qū)間上的全部零點(diǎn)之和為__________．【答案】【解析】【分析】將在上的零點(diǎn)之和轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；依據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式可推斷出圖象關(guān)于對稱且周期為；由可知關(guān)于中心對稱；作出與的圖象，依據(jù)交點(diǎn)個數(shù)和交點(diǎn)關(guān)于對稱可求得結(jié)果.【詳解】，圖象關(guān)于對稱，且，為偶函數(shù)，，是周期為的周期函數(shù)；在上的零點(diǎn)之和等價于與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；又，圖象關(guān)于中心對稱；作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有個交點(diǎn)，并且關(guān)于中心對稱，交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為，即全部零點(diǎn)之和為.故答案為：.四、解答題17.已知正項數(shù)列滿意：，其中為的前項和.（1）求數(shù)列通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意，可依據(jù)數(shù)列通項與前項和的關(guān)系進(jìn)行整理化簡，可以發(fā)覺數(shù)列是以首項為3，公差為2的等差數(shù)列，從而依據(jù)等差數(shù)列的通項公式即求得數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，依據(jù)其特點(diǎn)，利用裂項相消求和法進(jìn)行即可.試題解析：（Ⅰ）令，得，且，解得.當(dāng)時，，即，整理得，，，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，.點(diǎn)睛：此題主要考查數(shù)列中求通項公式與前項和公式的運(yùn)算，其中涉及到數(shù)列通項與前項和的關(guān)系式，還裂項相消求和法的應(yīng)用，屬于中檔題型，也是?？伎键c(diǎn).裂項相消求和法是數(shù)列求和問題中一種重要的方法，實質(zhì)上是把一個數(shù)列的每一項分裂為兩項的差，從而達(dá)到求和時相鄰兩項相互抵消而求出和的目的.18.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆用二倍角余弦公式即可得結(jié)果；（2）由三角恒等式求出，再依據(jù)兩角差的正弦公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，所以.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）確定函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時推斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的概念可得的值，依據(jù)可得的值，進(jìn)而得結(jié)果；（2）設(shè)，用作差法分析可得可得，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證明；（3）將奇偶性和單調(diào)性相結(jié)合列出不等式組，解出即可【詳解】（1）∵，∴，即，∴.∴，又，，∴.（2）對區(qū)間上得隨意兩個值，，且，，∵，∴，，，，∴，∴，∴在區(qū)間上是增函數(shù).（3）∵，∴，，解得，∴實數(shù)得取值范圍為.20.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．【解析】【詳解】（Ⅰ）因為，故最小正周期為（Ⅱ）因為，所以．于是，當(dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，取得最小值．點(diǎn)睛：本題主要考查了兩角和的正弦公式，幫助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，嫻熟駕馭公式是解答本題的關(guān)鍵.21.在數(shù)列中，已知前n項和為，，，．（1）求的通項公式及的表達(dá)式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和的表達(dá)式．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件累加求出的通項公式，得出是等差數(shù)列，進(jìn)而求出前n項和.（2）求出數(shù)列的通項公式，錯位相減得出數(shù)列的前n項和的表達(dá)式．【小問1詳解】由題意，在數(shù)列中，，∴，解得：，即，∴，，，…，，累加得，，∴，∵，符合上式，∴，∴的是以首項為，公差的等差數(shù)列.∴即：．【小問2詳解】由題意及（1）得，在等差數(shù)列中，，在數(shù)列中，，∴，，∴解得：．22.△