線性代數(shù)與概率統(tǒng)計 課件 3.1數(shù)學期望3.2方差

第三章隨機變量的數(shù)字特征主講教師：王佳新數(shù)學期望第一節(jié)一離散型隨機變量的數(shù)學期望二連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望三數(shù)學期望的性質(zhì)離散型隨機變量的數(shù)學期望一年齡X1819202122人數(shù)16841解平均年齡可以反映某一人群的代表性年齡水平，對我校某專業(yè)20名學生年齡(X)進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表所示。求其平均年齡？引例忽略了人數(shù)的比重20x

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1

19.920 20 20 20 20

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1年齡X1819202122人數(shù)6841nx

xk

pk

k

1數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學期望一定義1設離散型隨機變量X的分布律為若級數(shù)絕對收斂，的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)

.則稱級數(shù)即Notea)隨機變量的期望由其分布唯一確定。b)數(shù)學期望刻畫了隨機變量取值的“平均數(shù)”。X ~

b(1,

p),

求E(

X

).（0-1）分布例1解因X的分布律為故X的數(shù)學期望為

0

(1

p)

1

p

pE(

X

)

xk

pkk

01Note服從（0-1）分布的隨機變量的期望為p。設X ~

(

)，求E(

X

).泊松分布例2解X的分布律為(k

0,1,2,

,

0)k!

k

e

P{X

k}

則X的數(shù)學期望為

e

e

e

k

1

k

e

k

0 k

0k

1(k

1)!k!E(

X

)

xk

pk

kNote服從泊松分布的隨機變量的期望為λ。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望二定義2設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂,則稱積分的值為隨機變量

X的數(shù)學期望，記為E(X)，即設X ~

U

(a,b)，求E(

X

).均勻分布例3解X的概率密度為0,其他X的數(shù)學期望為即數(shù)學期望位于區(qū)間（a,b）的中心。Note服從均勻分布的隨機變量的期望即為區(qū)間中點。則

xde1

1

0000

0

e dx

e dxx

e

dxxf

(x)dx

E(

X

)

x

x

x

e

x

x

x設X ~

E(

)

(

0),

求E(

X

).指數(shù)分布例4解由題知，X

的概率密度為x

0x

0f(x)=0，

e

xNote服從指數(shù)分布的隨機變量的期望為參數(shù)λ則

t

e

1

2

2111edx2

2e 2

dt2

e 2

dt2

2

(

x

)2

t

2

t

2

t

2

E(

X

)

xf(x)dx

x

(

t

)

dt

0

x

記t=設X ~

N

(

,

2

)

(

0),

求E(

X

).

正態(tài)分布例5解由題知，X的概率密度為1e2

22

(

x

)2,

x

Rf(x)=Note正態(tài)分布的第1個參數(shù)即其期望.數(shù)學期望的性質(zhì)三設C是常數(shù)，則有E(C)=C1設X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)2設X,Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)3E(XY)=E(X)E(Y)設X,Y是相互獨立的隨機變量，則有4小結(jié)四數(shù)學期望是一個實數(shù)，而非變量，它是一種加權(quán)平均，不同一般的平均值，它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值。11數(shù)學期望的性質(zhì)E(CX)=CE(X)E(C)=CE(X+Y)=E(X)+E(Y)X和Y相互獨立→E(XY)=E(X)E(Y)1234方差第二節(jié)引例有甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別記為X1

和

X2，其分布律如下（單位：s）：X1

2

1012pk0.030.070.80.070.03X

2

2

1012pk0.10.20.40.20.15k

1E(X1)

xkpk

2

0.03

(

1)

0.07

0

0.8

1

0.07

2

0.03

0

2

0.1

(

1)

0.2

0

0.4

1

0.2

2

0.1

0k

1E(X2)

xkpk5一、方差的定義則此例表明，E(X1)=E(X2)，從期望無法判斷二者的優(yōu)劣.A此時需引進新的隨機變量[X-E(X)]2，記D(X)=E[X-E(X)]2則有D(X1)<D(X2)，故甲品牌的手表要優(yōu)于乙.BNote:定義設X是一個隨機變量，

存在，記為D(X)或VarD(X)，即稱為標準差或均方差。Note:方差實際上是隨機變量X函數(shù)的期望.A方差反映了隨機變量取值的分散程度.B一、方差的定義1、利用定義計算二、方差的計算對于離散型隨機變量1對于連續(xù)型隨機變量22、利用公式計算X的分布律為

P{X

0}

1

p,

P{X

1}

p.E(

X

)

p.又

E(

X

2

)

02

(1

p)

12

p

p,則

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

p

p2

p(1

p).且設隨機變量X~

b(1,

p)分布,

求D(

X

).0-1分布例1解Note：泊松分布的隨機變量的期望與方差相同.E(

X

2

)

E[

X

(

X

1)

X

]

E[

X

(

X

1)]

E(

X

)故=

2

且

E(

X

)

.又D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

.設X~

(

)(

0)，

求D(

X

).泊松分布例2解,

k

0,1,2,

,

0.k!

k

e

P{X

k}

a

b

.2且

E(

X

)又

E(

X

)

x

ab

a1dx

1

(a2

ab

b2

)2 b 23.12)222(aa

b

(b

a)2ab

b )

(2

13故

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2設X~

U

(a,

b)，求D(

X

)..均勻分布例3解1, a

x

b,0,

其他.f

(x)

b

aX的概率密度為則

E(

X

)

1

，且02

2

dx

x

eE(

X )

x222

1 1

.

2

2

2D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

故設X~

E(

)(

0)，求D(

X

).指數(shù)分布例4解f(x)

e

x

,

x

0,0,

其他.X的概率密度為且

E(

X

)

，故2

D(

X

)

x

f(x)dx

2

Note：正態(tài)分布的兩個參數(shù)分別為其期望和方差．設X~

N

(

,

2

)

(

0),

求D(

X

)