第04講 利用幾何法解決空間角和距離19種常見(jiàn)考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見(jiàn)考法歸類學(xué)會(huì)利用幾何法求空間角及空間距離．1、異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).注：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．2、直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4、點(diǎn)到平面的距離已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離。即：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離）結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短.1、求異面直線所成的角的方法和步驟(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求①平移：經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角．②證明：證明所作的角是異面直線所成的角．③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．2、求直線與平面所成的角的方法和步驟（1）垂線法求線面角：①先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.（2）平移法求線面角是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線面角問(wèn)題時(shí)，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動(dòng)位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件關(guān)聯(lián)起來(lái)，以便將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)求解.（3）等體積法求線面角通過(guò)換底求體積求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖,已知平面α與斜線AP,PO⊥α,則P0線面角為∠PAO,，要求線面角，關(guān)鍵是求垂線段PO的長(zhǎng)度，而垂線段PO的長(zhǎng)度可看作點(diǎn)P到平面α的距離，在平面α內(nèi)找一個(gè)三角形(點(diǎn)A是其中一個(gè)頂點(diǎn))與點(diǎn)P構(gòu)成三棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長(zhǎng)度，從而達(dá)到簡(jiǎn)便求解線面角的目的.3、求二面角的平面角的方法和步驟（1）求二面角大小的步驟是：①作：找出這個(gè)平面角；②證：證明這個(gè)角是二面角的平面角；③求：將作出的角放在三角形中，解這個(gè)三角形，計(jì)算出平面角的大小．（2）確定二面角的平面角的方法①定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線．如：“三線合一型”、“全等型”②三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）----最常用自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角③等體積法利用三棱錐等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d，如圖，點(diǎn)A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角A-PB-C的正弦值為.③垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。④射影面積法已知平面內(nèi)的平面圖形的面積為，它在平面內(nèi)的射影的面積為，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.4、求解點(diǎn)面距的方法和步驟（1）定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度；（2）等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離；（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．考點(diǎn)一：直接平移法求異面直線所成的角例1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中,分別為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，且為的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：中位線平移法求異面直線所成的角例2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，，底面是菱形，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．變式1．（2023春·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于__________.變式2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，所有側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線OP與BM所成角為_(kāi)__________變式3．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長(zhǎng)為1，且平面平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式4．（2023春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，是側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)證明平面.(2)求異面直線與所成的角；變式5．（2023春·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．考點(diǎn)三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角例3．（2023春·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，M、N分別是、AC的中點(diǎn)，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式1．（2023春·江西南昌·高一南昌十中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)四：補(bǔ)形法求異面直線所成的角例4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且.

(1)證明：；(2)求異面直線、所成角的余弦值.變式2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：通過(guò)證線面垂直證異面直線所成的角為90°例5．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線和所成角的大?。?/p>

）A．一定為 B．一定為 C．一定為D．與P的位置有關(guān)變式1．（2023秋·河南鶴壁·高一鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）三棱錐中，，是斜邊的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：①異面直線與所成的角為90°；②直線平面；③平面平面；④點(diǎn)到平面的距離是.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．變式3．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．直線與直線相交B．與共面C．與是異面直線但不垂直D．平面垂直于平面考點(diǎn)六：由異面直線所成的角求其他量例6．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，與和所成的角均為，則下面說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·高一單元測(cè)試）在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．若，且與所成的角為，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．1或 D．或變式2．（2023春·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，，，分別為，的中點(diǎn)，若與所成的角為40°，則與所成角的大小為（

）A．20° B．70°C．20°或70° D．40°或140°變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七：垂線法求直線與平面所成的角例7．（2023春·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.變式1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點(diǎn)，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023·高一單元測(cè)試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿足黃金比例，即比值約為，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值約為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則直線與對(duì)角面所成角的大小是（

）A． B． C． D．變式4．（2023春·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.變式6．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長(zhǎng)為的菱形，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式7．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)八：等體積法求直線與平面所成的角例8．（2023春·北京朝陽(yáng)·高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．變式2．（2023春·浙江杭州·高一?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．(1)求證：平面PCD；(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值；考點(diǎn)九：平移法求直線與平面所成的角例9．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)是6的等邊三角形和矩形.現(xiàn)以為軸將面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐，是等邊三角形的中心，，分別是，的中點(diǎn)，且，面，交于.(1)求證面(2)求和面所成角的正弦值.變式1．（2023春·天津和平·高一天津一中?？计谥校┤鐖D，已知平面ABC，，，，，，點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.考點(diǎn)十：由線面角求其他量例10．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點(diǎn)，平面.

(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.變式1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，三棱臺(tái)中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問(wèn)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？變式2．（2023春·高一單元測(cè)試）如圖，在中，O是的中點(diǎn)，.將沿折起，使B點(diǎn)移至圖中點(diǎn)位置．(1)求證：平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，試問(wèn)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論，并求的長(zhǎng)．變式3．（2023春·吉林延邊·高一延邊第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：是直角三角形；(2)若，且直線與平面所成角的正切值為，①求的長(zhǎng)；②求直線與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)十一：定義法求二面角的平面角例11．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角平面角的大小.變式1．（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.變式2．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．變式3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面平面，平面平面是菱形，．

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．考點(diǎn)十二：三垂線法求二面角的平面角例12．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．變式1．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱柱中，，D為AC邊的中點(diǎn)，

(1)求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求三棱錐D-的體積；(3)求二面角的大小.變式2．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，側(cè)面底面是正三角形，是底面的中心，是線段上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)//平面時(shí)，求證：平面；(2)求二面角的余弦值．變式3．（2023春·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．考點(diǎn)十三：等體積法求二面角的平面角例13．（2023春·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，平面.

(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的正切值.變式1．（2023·高一單元測(cè)試）已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折至．(1)若，證明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大?。键c(diǎn)十四：垂面法求二面角例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．變式1．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個(gè)二面角的大小是______．變式2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，垂直于于垂直于于，則二面角的大小為_(kāi)_．變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面，，且，，，，為垂足.（1）試判斷直線與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)，若二面角的大小為，且，求平面與平面所成的銳二面角的大小.考點(diǎn)十五：射影面積法求二面角例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_(kāi)______.變式1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)證明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．變式2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形平鋪在水平面上，先將矩形沿折起，使二面角為30°，再將正方形沿折起，使二面角為30°，則平面與平面所成的銳二面角的正切值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十六：由二面角大小求其他量例16．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．變式1．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小為.變式2．（2023春·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過(guò)程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，且，分別為，的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)，連接．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．考點(diǎn)十七：直接法求點(diǎn)面距例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，則點(diǎn)到上底面的距離為（

）A．4 B．2 C． D．3變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，，，，，，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為（

）A． B． C．2 D．變式2．（2023春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十八：轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)面距例18．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱柱中，是棱長(zhǎng)為的正四面體，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)十九：等體積法求點(diǎn)面距例19．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在棱長(zhǎng)為的正方體中，是上一點(diǎn)，且平面.

(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求點(diǎn)到平面的距離．變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，，，，點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，繞OB所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為，.

(1)求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)O到平面ABD的距離.變式2．（2023春·廣東江門(mén)·高一江門(mén)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．變式3．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過(guò)點(diǎn)作一平面與垂直，分別交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．1．【多選】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.一、單選題1．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)為平面外的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記異面直線與所成角為，直線PM與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝（

）A．3 B．4C．5 D．63．（2023秋·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽(yáng)馬”是底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面的一條斜線和這個(gè)平面所成的角的范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、為線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿足，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）平面；（3）二面角的大小為定值；（4）四面體的體積為定值.A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2019秋·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)?？计谥校┮阎襟w棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，四邊形ABCD為矩形，，PC與平面所成的角為，則該四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．9．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面與平面所成二面角的平面角為，球與平面相切于點(diǎn)，則過(guò)球心與平面均成的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條二、多選題10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，E是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．平面截四棱錐的外接球所得截面的面