期末檢測(cè)卷-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

期末檢測(cè)卷-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版（2019）必修第二冊(cè)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在正方體中與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直2．（

）A． B．C． D．3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．一個(gè)人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個(gè)人中靶的概率是B．一個(gè)同學(xué)做擲硬幣試驗(yàn)，擲了6次，一定有3次正面向上C．某地發(fā)行彩票，其回報(bào)率為47%，有人花了100元錢(qián)買(mǎi)彩票，一定會(huì)有47元的回報(bào)D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率4．已知向量，，則向量在向量上的投影數(shù)量是（

）A． B． C． D．5．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（

）A．， B．，C．， D．，6．在中，，，，則角的值為（

）A． B．或 C． D．7．如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值為（

）A．50 B．80 C．86 D．1108．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線長(zhǎng)為2，軸截面為，若為底面圓周上異于的一點(diǎn)，且二面角的大小為，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若與都是單位向量，則B．零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的C．若與是平行向量，則D．若或，則10．已知直線，，和平面，，則下列命題不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，，則11．供電部門(mén)對(duì)某社區(qū)100位居民6月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關(guān)這100位居民，下列說(shuō)法正確的是（

）A．6月份人均用電量人數(shù)最多的一組有40人B．6月份人均用電量在內(nèi)的有30人C．6月份人均用電量不低于20度的有50人D．在這100位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，且與互相獨(dú)立，則.13．已知向量滿足，，，則．14．鎮(zhèn)江西津渡的云臺(tái)閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺(tái)閣旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺(tái)閣的高度為米.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知向量，．(1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；(2)若向量，且，求向量，夾角的余弦值．16．已知的內(nèi)角為A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大小：(2)若，求的面積．17．某市為了創(chuàng)建文明城市，共建美好家園，隨機(jī)選取了100名市民，就該城市創(chuàng)建的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將這100人的問(wèn)卷根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)；(3)已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評(píng)分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.18．如圖，已知三棱柱中，與交于點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且平面.求證：

(1)；(2)平面平面.19．三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角，，所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，記的面積為，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為(1)若．求證：①；②為等邊三角形．(2)若，求證：．參考答案：1．B【分析】將正方體的平面展開(kāi)圖，還原為正方體，即可得答案.【詳解】由題意可將展開(kāi)圖還原為如圖的正方體，故.故選：B2．D【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故選：D.3．D【分析】利用概率的定義和估計(jì)方法逐個(gè)選項(xiàng)分析求解即可.【詳解】對(duì)于A，可得中靶的結(jié)果是頻率，不是概率；故錯(cuò)誤，對(duì)于B，C，太過(guò)絕對(duì)，故錯(cuò)誤，對(duì)于D，符合概率的估算方法，故正確．故選：D.4．C【分析】代入投影數(shù)量公式，即可求解.【詳解】向量在向量上的投影數(shù)量是．故選：C5．C【分析】根據(jù)平面基底的定義確定每個(gè)選項(xiàng)是否平行是否可以作為基底判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量，為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，顯然無(wú)解，可以作為一個(gè)基底；對(duì)于B中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得無(wú)解，所以和可以作為基底；對(duì)于C中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對(duì)于D中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得無(wú)解，所以和可以作為基底．故選:C．6．C【分析】根據(jù)題意利用正弦定理分析求解.【詳解】由正弦定理，可得，且，可知角的值為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意利用平向量基本定理將用表示出來(lái)，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，所以，，所以.故選：B8．A【分析】記為的中點(diǎn)，即可求出、，取的中點(diǎn)，連接，從而得到二面角的平面角為，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解.【詳解】如圖所示，記為的中點(diǎn)，則垂直于底面，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，連接，顯然有，即二面角的平面角為，即，又，，，則，的面積為.故選：A.9．BD【分析】根據(jù)單位向量、零向量、相等向量和共線向量的定義判斷.【詳解】單位向量與的方向不一定相同，故A錯(cuò)；零向量的長(zhǎng)度為零，方向任意，故B正確；若，的模長(zhǎng)不一定相等，故C錯(cuò)；若或，則的方向相同或相反，所以，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)線面平行、面面垂直、線面垂直的判定判斷A、B、C三個(gè)選項(xiàng)，D選項(xiàng)中的不滿足面面平行的條件，故兩平面相交或平行.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)線面平行的判定，若，，，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定，若，，則，故B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的判定，若，，，，，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，，，則平面與相交或平行，故D錯(cuò)誤；故答案為：ACD.11．ACD【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖，對(duì)選項(xiàng)逐一計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】A：根據(jù)頻率分布直方圖知，6月份人均用電量人數(shù)最多的一組是，有（人），故A正確；B：6月份人均用電量在內(nèi)的人數(shù)為，故B錯(cuò)誤；C：6月份人均用電量不低于20度的頻率是，有（人），故C正確；D：用電量在內(nèi)的有（人），所以在這位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為，故D正確．故選：ACD12．/【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率乘法公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且與相互獨(dú)立，由.故答案為：.13．/【分析】由平方結(jié)合數(shù)量積的定義即可求出．【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以．故答案為：?4．【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示,然后分別中利用余弦定理表示,因?yàn)?所以,求出h即可【詳解】設(shè)在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因?yàn)?所以，即，.故答案為：15．(1)；(2).【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出投影向量的坐標(biāo).（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求出，再求出向量夾角的余弦.【詳解】（1）由，，得，，由，得，即，則，所以向量在向量上的投影向量為，其坐標(biāo)為．（2）依題意，，由，得，解得，則，，，，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）由和余弦定理結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1），由正弦定理得，即，得，即，又，所以，即，又，所以；（2）由，得，由余弦定理得，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以為直角三角形，，又，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，所以.由余弦定理得，又，所以，由，解得，所以，故.17．(1)；(2)中位數(shù)，平均數(shù)77(3).【分析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和為1求得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法求解；（3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解.【詳解】（1）依題意，得，解得；（2）因?yàn)椋?，所以中位?shù)在間，設(shè)為，則，解得.平均數(shù).（3）依題意，因?yàn)闈M意度評(píng)分值在的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，按照分層抽樣的方法在其中隨機(jī)抽取5人，則抽中男生3人，女生2人，依次分別記為，，，，，對(duì)這5人依次進(jìn)行座談，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，設(shè)“前2人均為男生”為事件，其包含的基本事件有：，，，共3個(gè)，所以.18．(1)證明見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）得為的中點(diǎn)，再證明，最后根據(jù)面面平行的判斷定理即可證明.【詳解】（1）由題意，因?yàn)槠矫?，且平面又因?yàn)槠矫嫫矫妫杂删€面平行的性質(zhì)得.（2）由（1）可知，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以為的中點(diǎn)，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，即，又因?yàn)?所以，所以四邊形為平行四邊形，所以,又因?yàn)槠矫?平面，所以平面，又平面，，平面,平面，所以平面平面.19．(1)①證明見(jiàn)解析，②證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】①先根據(jù)表示出三角形得面積，再在中，由余弦定理相加，再化簡(jiǎn)整理，即可得證；②先利用作差法證明，并求出取等號(hào)的條件，再結(jié)合即可得證；（2）根據(jù)（1）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理即可得證.【詳解】