高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

考慮到高中學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)，并能初步運(yùn)用。

2、過(guò)程與方法：學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，提高創(chuàng)新能

力。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過(guò)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)，感受

數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

教學(xué)重點(diǎn)：一是學(xué)生初步對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解；二是數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其作用.

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解第二步遞推思想的實(shí)質(zhì)，特別是證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2第2章第三小節(jié)的內(nèi)容，

此前學(xué)生剛學(xué)習(xí)了合情推理，合情推理用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待證明。通過(guò)

本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，深化不等式、數(shù)列等知識(shí)，提高學(xué)

生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有重要作用。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)分為兩課時(shí)，此為第一課時(shí)。但考慮實(shí)驗(yàn)

班學(xué)生能力較強(qiáng)，本節(jié)還講了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。第二課時(shí)再練幾個(gè)高考題，練一下綜合應(yīng)

用。

教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的基本步驟，及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解第二步遞推思想的實(shí)質(zhì)，特別是證明不等式

我校進(jìn)行課堂教學(xué)改革已經(jīng)兩年多，大膽進(jìn)行“疑探展導(dǎo)練”教學(xué)。特別是我們探究

班是我校改革先鋒,改革比較有成效,學(xué)生也非常滿意，是學(xué)生能力得到很好地提升和鍛煉。

由于我組織授課的對(duì)象探究班的學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)，學(xué)生基礎(chǔ)較好。另外，

此前學(xué)生剛學(xué)習(xí)了合情推理，考慮到學(xué)生的接受能力比較強(qiáng)這一重要因素，在教學(xué)中我通過(guò)

創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、歸納的基礎(chǔ)上，自主探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律,

掌握數(shù)學(xué)方法，突出學(xué)生的主體地位.并且不僅要求學(xué)生掌握用數(shù)學(xué)歸納法基本步驟而且還

掌握初步應(yīng)用。

一、教材內(nèi)容解析

由于正整數(shù)無(wú)法窮盡的特點(diǎn)，有些關(guān)于正整數(shù)n的命題，難以對(duì)n進(jìn)行一一的驗(yàn)證，從

而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過(guò)有限的推理來(lái)證明無(wú)限的結(jié)論.這是數(shù)學(xué)歸納法

產(chǎn)生的根源.

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的重要方法。它的獨(dú)到之處便是運(yùn)用有限

個(gè)步驟就能證明無(wú)限多個(gè)對(duì)象，而實(shí)現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想。

設(shè)p(n)表示與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明主要有兩個(gè)步驟：(1)證明p(l)為真；(2)證

明若p(k)為真，則p(k+l)為真；有了這兩步的保證，就可實(shí)現(xiàn)以下的無(wú)窮動(dòng)態(tài)的遞推過(guò)程：

P⑴真P(2)真->P(3)M->...->P(k)真->P(k+1)真->...

因此得到對(duì)于任何正整數(shù)n,命題p(n)都為真.

數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，即驗(yàn)證由任

意一個(gè)整數(shù)n過(guò)渡到下一個(gè)整數(shù)n+1時(shí)命題是否成立.這兩個(gè)步驟都非常重要，缺一不可.第

一步確定了n=l時(shí)命題成立，n=l成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒(méi)有它遞推成了無(wú)源之水；第二

步確認(rèn)了一種遞推關(guān)系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的無(wú)

限傳遞到1以后的每一個(gè)正整數(shù)，從而完成證明.因些遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)限飛躍的關(guān)鍵，

沒(méi)有它我們就只能停留在對(duì)有限情況的把握上.

在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第一步中的起點(diǎn)1可以恰當(dāng)偏移(如取k=n0),那么由第二步，就

可證明命題對(duì)n=n0以后的每個(gè)正整數(shù)都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動(dòng)，如跳

躍式前進(jìn)等，但必須保證第一步中必須含有實(shí)現(xiàn)第二步遞推時(shí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)歸納法名為歸納法，實(shí)質(zhì)上與歸納法毫無(wú)邏輯聯(lián)系.按波利亞的說(shuō)法”這個(gè)名字是

隨便起的””歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現(xiàn)的手段，

是一種似真結(jié)構(gòu)；而數(shù)學(xué)歸納法是--種嚴(yán)格的證明方法，一種演繹法，它的實(shí)質(zhì)是“把無(wú)窮

的三段論納入唯一的公式中"(龐加萊)，它得到的結(jié)論是真實(shí)可靠的.在皮亞諾提出“自然數(shù)

公理”后，數(shù)學(xué)歸納法以歸納公理為理論基礎(chǔ)，得到了廣泛的確認(rèn)和應(yīng)用.而自然數(shù)中的“最

小數(shù)原理”，則從反面進(jìn)一步說(shuō)明了數(shù)學(xué)歸納法證題的可靠性.

數(shù)學(xué)歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關(guān)聯(lián).在數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

中，往往先通過(guò)對(duì)大量個(gè)別事實(shí)的觀察，通過(guò)歸納形成一般性的結(jié)論，最終利用數(shù)學(xué)歸納法

的證明解決問(wèn)題.因此可以說(shuō)論斷是以試驗(yàn)性的方式發(fā)現(xiàn)的，而論證就像是對(duì)歸納的一個(gè)數(shù)

學(xué)補(bǔ)充川，即“觀察”+“歸納”+“證明”="發(fā)現(xiàn)”.

二、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)，并能初步運(yùn)用。

2、過(guò)程與方法：學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，提高創(chuàng)新能

力。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過(guò)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)，感受

數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：一是學(xué)生初步對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解；二是數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其作用.

難點(diǎn)：正確理解第二步遞推思想的實(shí)質(zhì)，特別是證明不等式

四、難點(diǎn)突破：

由于中學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)缺乏理論基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題

的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問(wèn)題的提出、思考的過(guò)程，通過(guò)具體的事例、直觀

的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解。

(1)借助遞推數(shù)列

遞推數(shù)列通過(guò)相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系以及首項(xiàng)來(lái)確定數(shù)列，與數(shù)學(xué)歸納法的思想有著天然的聯(lián)

系.

(2)構(gòu)建直觀視頻模型

既有多米諾骨牌的形象又有數(shù)學(xué)的形式，加上命題式的推出符號(hào)更易理解若k則k+1

的遞推語(yǔ)句，整體上又具有流程圖的程序結(jié)構(gòu)，能較好地反映出數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，可以使

學(xué)生的思考有較形象直觀的載體.

用最少的步驟可概括為

第一步，P(1)真：

第二步以后各步都可歸納為一個(gè)命題的證明：P(k)真?P(k+1)真；即若P(k)真，則P(k+1)

真.

同以上兩步，就可證得對(duì)任意的正整數(shù)n,都有P(n)為真.

對(duì)于這種抽象概括，學(xué)生在數(shù)列的學(xué)習(xí)以及算法的學(xué)習(xí)中是有經(jīng)驗(yàn)的和能力的。

五、教學(xué)過(guò)程：

設(shè)置懸念，引入新課。

引例：在數(shù)列｛4“｝中，&=1,%+]=—%—,(〃wN*),計(jì)算a2,a3,&的值，猜測(cè)｛““｝的通項(xiàng)

1+4

公式.

學(xué)生熟悉的數(shù)列入手提出問(wèn)題，如何解決？

借助視頻描述數(shù)學(xué)歸納法(設(shè)計(jì)趣例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣)

觀看視頻，讓學(xué)生直觀感受多米諾骨牌效應(yīng)?？偨Y(jié)游戲特點(diǎn)。

思考1：所有骨牌都倒下需要滿足哪兩個(gè)條件？

(1)；(2)?

思考2：你認(rèn)為這些條件中缺少其中一個(gè)可以嗎?條件(2)的作用是什么？

學(xué)生自己思考2分鐘，然后討論3分鐘，然后學(xué)生代表小組發(fā)言。給小組加分!

教師引導(dǎo)，學(xué)生歸納：(師生共同總結(jié))

數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題可按下列步驟進(jìn)行

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n。時(shí)命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k>nO,keN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成

立。

格式：主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論：

(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n。(如n0=l或2等)時(shí)結(jié)論正確；驗(yàn)證初始條件

(2)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論正確，在假設(shè)之下，證明n=k+l時(shí)結(jié)論也正確；假設(shè)推理

(3)由(1)、(2)得出結(jié)論.點(diǎn)題

熱身練習(xí)：(讓學(xué)生自己自動(dòng)搶答，體現(xiàn)學(xué)生思維，給小組加分)

判斷下列證明的過(guò)程是否正確

1)已知a.=2n-l(nCN*),有一個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)令他感到苦惱的問(wèn)題：他能用數(shù)學(xué)歸納法

證明必能被2整除。你能幫他解釋這個(gè)問(wèn)題嗎？下面是他的證明過(guò)程

證明：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)ak—2k-l能被2整除

則當(dāng)n=k+l時(shí)，aM=2(k+1)-1=(2k-l)+2=ak+2,

所以當(dāng)n=k+l時(shí)ak”能被2整除

因此對(duì)于任意的nGN*,a?=2nT都能被2整除

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+2、???+2"T=2"-1

(nGN*)的過(guò)程如下：

①當(dāng)n=l時(shí)，左邊=2'T=1,右邊=2'T=1,等式成立；

②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，

9QL-1

即1+2+2+2+???+2=2-1

則當(dāng)n=k+l時(shí),

9QL-11/1-2^=2k+1-l

1+2+2+2+???+2+2=

1-2

所以n=k+l時(shí)等式成立

由此可知對(duì)任意自然數(shù)n,等式都成立

【拓展應(yīng)用】

在本階段教學(xué)中我選用了四道典型的題目，目的是初步明確數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)和用途,

并且掌握數(shù)學(xué)歸納法步驟。分別從證明等式，整除問(wèn)題，不等式問(wèn)題，證明幾何問(wèn)題四個(gè)方

面進(jìn)行鍛煉。

先讓學(xué)生自探3分鐘，提出自探要求：

①.用心思考，激情投入；

②.注意結(jié)合文本進(jìn)行獨(dú)立探究，將思考成果簡(jiǎn)單地標(biāo)注整理，做好小組討論的準(zhǔn)備；

③.獨(dú)立思考，不交談，看誰(shuí)先完成。

然后讓學(xué)生合探10分鐘，同時(shí)讓學(xué)生展示。例1、例4投影，例2、例3爬黑板。

提出展示要求：

①、小組長(zhǎng)認(rèn)真負(fù)責(zé)，確保人人參與，用最準(zhǔn)確精煉語(yǔ)言表達(dá)，用代表本組最高

智慧的解題方法或評(píng)價(jià)水平。

②、本組內(nèi)若有其它個(gè)別問(wèn)題，請(qǐng)一并解決。

③、激情投入，體驗(yàn)成功的快樂(lè)。

展示結(jié)束后，讓學(xué)生分組點(diǎn)評(píng)。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑。

1.證明等式問(wèn)題

例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+???+/=〃(〃+1)(2"+1)(neN*)

6

2.證明整除問(wèn)題

例2、求證:x3nT+x3n-2+i能被x2+x+1整除

3.證明不等式問(wèn)題

例3已知/(〃)=1+工+」+—+1，求證：/(2")>葉^(〃>1)

23n2

4.證明幾何問(wèn)題：

例4、平面內(nèi)有〃(應(yīng)2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，問(wèn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

/(〃)為多少?并證明了(〃)=電二D

【編題練習(xí)】先給學(xué)生2分鐘編題，然后征集。挑選出一兩個(gè)投影讓學(xué)生做。然后讓學(xué)生做,

做出后投影加分。

【當(dāng)堂檢測(cè)】這部分一是檢測(cè)效果，二是活躍課堂氣氛，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

【課堂小結(jié)】

知識(shí)總結(jié)

學(xué)情總結(jié)

這部分讓學(xué)科代表，分別從學(xué)生課堂表現(xiàn)和知識(shí)上去總結(jié)。體現(xiàn)學(xué)生“主人公”地位。

最后教師補(bǔ)充總結(jié)。

當(dāng)堂檢測(cè)

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)〃是正奇數(shù)時(shí)，能被x+y整除"，在第二步時(shí)，正

確的證法是()

A.假設(shè)”=A(AGN+),證明”=A+1命題成立

B.假設(shè)“=A(A是正奇數(shù))，證明〃=4+1命題成立

C.假設(shè)”=2A+1(&GN+),證明“=A+1命題成立

D.假設(shè)〃=4(左是正奇數(shù))，證明"=々+2命題成立

,111

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明"1+/+§+…+]%<〃(nGN*)"時(shí)，由n=k(k>l)不等

式成立，推證n=k+l時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()

k—1kkk

A.2K1B.2K-1C.2KD.2K+1

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明"/2+("+l)3+(〃+2)J2("GN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證"

=?+1時(shí)的情況，只需展開()

33333

A.(A+3)B.(k+2)C.(A+l)D.(?+1)+(4+2)

4、對(duì)于不等式荷+〃<"+l(“GN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如

下：

(1)當(dāng)”=1時(shí)，<i+],不等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃=&(AGN*)時(shí)，不等式成立，即4+1,貝!|當(dāng)"=A+1時(shí)，

y/Ck+lf+k+l=J后+34+2<J(左、+3左+2)+伏+2)=^l(k+2y

=(*+1)+1,

...當(dāng)“=4+1時(shí)，不等式成立，則上述證法()

A.過(guò)程全部正確

B."=1驗(yàn)得不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=k到"=?+1的推理不正確

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：A“=5"+2-3"T+l(〃eN*)能被8整除

6、已知/(〃)=1+,+!+…+工，求證：/(2,,)>^^(n>l)

23n2

課本節(jié)課每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和方式、方法的選擇都很引人入勝，大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生積

極性。引例中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從學(xué)生熟悉的問(wèn)題入手，學(xué)生已接受。并且以如何用“有

限”代替“無(wú)限”設(shè)置懸念，增加了學(xué)生的求知欲望。本節(jié)讓學(xué)生充分動(dòng)起來(lái)，以學(xué)生自探

為前提，以小組內(nèi)互學(xué)、對(duì)學(xué)為主主陣地，以展示、點(diǎn)評(píng)為激情，以質(zhì)疑、沖突為提高，讓

每一問(wèn)學(xué)生都以主人的姿態(tài)呈現(xiàn)給大家。

特別是四個(gè)例題，避開老師的一味說(shuō)教,通過(guò)小組討論，能給組內(nèi)學(xué)生隨時(shí)質(zhì)疑的空間；

通過(guò)互學(xué)讓每一位學(xué)生都能零距離學(xué)習(xí).通過(guò)選擇名人圖片的當(dāng)堂測(cè)試，學(xué)生眼前一亮。本

節(jié)起伏跌宕，高潮迭起，教學(xué)效果很好。

總之，本節(jié)課引導(dǎo)下，全體學(xué)生的潛力得到很大限度的挖掘，智力好的學(xué)生吃得飽，中

等水平的學(xué)生吸收得好，差的學(xué)生消化得了，學(xué)生人人學(xué)有所得。課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)師生

平等、教學(xué)民主的思想，師生信息交流暢通，情感交流融洽，合作和諧，配合默契，教與學(xué)

的氣氛達(dá)到最優(yōu)化，課堂教學(xué)效果達(dá)到最大化。教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快。

1、孟老師這節(jié)課教學(xué)思路清晰，結(jié)構(gòu)安排合理，時(shí)間安排恰當(dāng)。符合“課程標(biāo)準(zhǔn)”的規(guī)定

和學(xué)生的實(shí)際情況，能創(chuàng)造性的整合教材，目標(biāo)明確，要求具體，堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)等多種教

學(xué)方法，注重對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)，使每個(gè)學(xué)生有不同程度的收獲，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)成功的快樂(lè)，學(xué)生

有積極的情感反應(yīng)，課堂氛圍良好，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高。建議采取更為靈活有效的課堂活動(dòng)

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

2、孟老師非常優(yōu)秀地課上利用有效、實(shí)用的教學(xué)手段，增強(qiáng)了課堂的感染力，在提高學(xué)生

學(xué)習(xí)興趣方面起到很好的作用；教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生有感而發(fā)，突出所學(xué)

知識(shí)的鮮活性：恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境，充分體現(xiàn)本節(jié)課的教育作用；板書設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明扼要，讓學(xué)生

對(duì)本節(jié)課重要知識(shí)點(diǎn)一目了然。缺點(diǎn):對(duì)問(wèn)題的設(shè)定的層次性梯度更大些，教學(xué)效果會(huì)更好。

3、孟老師平時(shí)非常關(guān)注學(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀的形成，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，學(xué)生有積

極的情感反應(yīng)，有不同程度的收獲，能創(chuàng)造性地使用