吉林省吉林市蛟河市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．已知各項都為正的等差數(shù)列中，，若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．3．袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．4．已知，則（）A．2 B． C． D．35．已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a7．中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或8．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.954412．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對于都有，且周期為2，當(dāng)時，，則________________________.14．已知，則______，______.15．已知數(shù)列滿足，則________．16．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個月（按30天計算）共織布390尺．”則每天增加的數(shù)量為____尺，設(shè)該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點，求證：為的中點.18．（12分）在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.19．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計年的銷售量.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項和．22．（10分）已知橢圓的長軸長為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點，是橢圓上在第一象限的一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問與面積之差是否為定值？說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】試題分析：設(shè)公差為或（舍），故選A.考點：等差數(shù)列及其性質(zhì).3、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復(fù)試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題．4、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．5、C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.6、A【解析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.7、A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點在x軸上時有：②當(dāng)焦點在y軸上時有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．8、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題9、B【解析】

求出復(fù)數(shù)，得出其對應(yīng)點的坐標(biāo)，確定所在象限．【詳解】由題意,對應(yīng)點坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷；再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.11、C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用，且周期為2，可得，得.【詳解】∵，且周期為2，∴，又當(dāng)時，，∴，故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．15、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當(dāng)時不滿足上式，∴故答案為：【點睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算，分類討論的能力，屬于中檔題.16、52【解析】

設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為，

，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為平面與交于點，所以平面.因為分別為的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.18、（1）證明見解析（2）45°【解析】

（1）設(shè)的中點為，連接，設(shè)的中點為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導(dǎo)出，從而平面，則，即，進(jìn)而平面，推導(dǎo)四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】（1）∵是的中點，∴.設(shè)的中點為，連接.設(shè)的中點為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點.易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，顯然平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進(jìn)行求解.19、（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預(yù)計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應(yīng)矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預(yù)計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個季度的銷售量為（萬臺），由此預(yù)測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，由此可知，的解集為（2）當(dāng)時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當(dāng)時，，且，不恒成立，不符合題意.當(dāng)時，，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數(shù)列是正項數(shù)列，得到，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式；（Ⅱ），根據(jù)新定義和對數(shù)的運算分類討論數(shù)列的通項公式，并求前2020項和．【詳解】（