高中數(shù)學競賽（強基計劃）歷年真題練習 15 導數(shù)與極限 （學生版+解析版）

【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】

專題15導數(shù)與極限真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2018?全國?高三競賽）一個人以勻速6,去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車

25加時，交通燈由紅變綠，汽車以l/n/s,的加速度勻加速開走，那么（）.

A.人可在7s內(nèi)追上汽車B.人可在10s內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車，其間最近距離為D.人追不上汽車，其間最近距離為7m

2.（2022?全國?高三專題練習）設E（x）是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可

能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.￡（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞f2（X）sin（￡（X））

二、填空題

3.（2021?上海?統(tǒng)考模擬預測），吧加+2++〃=

4.（2019?全國?高三競賽）函數(shù)丫=半44（￡€1，17的最大值是_____

1+cosaI\2））

5.（2018?全國?高三競賽）對0＜x＜l,若復數(shù)z=4+對應的點有"個在單位圓

上，則"=.

6.（2018?全國?高三競賽）拋一顆色子三次，所得點數(shù)分別為小、〃、心則函數(shù)

y=；機/-三f一度+1在［1,+?＞）上為增函數(shù)的概率為.

7.（2018?全國?高三競賽）已知函數(shù)f（x）=d（sinx+cosx）,其中，xe一生產(chǎn)，歿工

過點，。）作函數(shù)“X）圖像的切線，令各切點的橫坐標構成數(shù)列｛七｝.則數(shù)列

｛x?｝的所有項之和S的值為.

8.（2021?全國?高三競賽）若數(shù)列｛%｝是首項不為零的等差數(shù)列，則

lim，〃+1++4〃;

“Tg4+出++4

9.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）設To,?,則函數(shù)『irxcosx的最大值為

10.（2022?浙江?高二競賽）已知函數(shù)）'=6"+^在（°，〃°））處的切線方程為

3r

y=--->則a+b=.

11.（2019?全國?高三競賽）已知過點（0,2）的直線/與曲線C:y=x+g（x>0）交于兩不

同的點M、M則曲線C在M、N處切線交點的軌跡為.

12.（2019?全國?高三競賽）設則當y="與y=10g〃X兩個函數(shù)圖像相切時，

Inina=.

13.（2019?全國?高三競賽）設函數(shù)“x）=xlog2X+（a-x）log2（a-x）的圖像關于直線

x二對稱.則對滿足=1的任意實數(shù)x;e（O,l）（l</<4）,s=fxjog?x,的最小值為

2/=1i=l

14.（2019?全國?高三競賽）滿足（1+工]=[1+—|的整數(shù)n=__________.

Vn）I2014；

15.（2018?全國?高三競賽）己知函數(shù)/（x）的導函數(shù)連續(xù)，且"0）=0,.[（0）=4.記

曲線y=/（x）與P&0）最近的點為Q、,f（s））.則!如：=.

16.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）己知直線丫=辦+2與三次曲線y=x3-or有三個不

同交點，則。的取值范圍為.

17.（2021?浙江?高三競賽）若玉In玉=x?In,x,<x2,I=工百+々+2J-）,keZ,

則《=.

三、解答題

18.（2021?全國?高三競賽）已知三次函數(shù)/（外=-丁+以2+"+。（。力,。€/?）,滿足對任

意xe[-2,2]都有|/（x）區(qū)2,求以。、c的所有可能直

19.（2023?全國?高三專題練習）求下列極限：

（1）limX2ln[14--|-x；

xe|_vx）

J--L

⑵阿FT。「;

x->0

(3)「In(l+x+x2)+ln(l-x+*2)

iosecx-cos%

2（）.（2019?全國?高三競賽）已知〃x）=W!3D,g（x）=S.求最大的正整數(shù)鼠使得

XX+1

對任意的正數(shù)*存在實數(shù)a、當滿足—l<a<b<c,且〃c）=/（a）=g（3.

21.（2022?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃）已知函數(shù)了（力=2/+3依2+6（3-a）x+2022m

若〃X）是區(qū)間［-2,2］上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍.

22.（2019?全國?高三競賽）在銳角△ABC中，證明:

11111

(sinA+sinB+sin----+----71—十—十—

sinBsinCABC

23.（2018?全國?高三競賽）已知實數(shù)x、>滿足2'+二=4'+4'.試求U=8'+8v的取值

范圍.

24.（2019?全國?高三競賽）已知函數(shù)““二幺一勿少與g（x）=—f-1,的圖像有兩條公

切線，且由這四個切點組成的四邊形的周長為6,求實數(shù)a的值.

25.（2023?全國?高三專題練習）實數(shù)”,4c和正數(shù)X使得“力=》3+/+6x+c有三個

實數(shù)根為,馬，玉.且滿足：（1）（2）X3>|（X,+X2）,求2優(yōu)+27：-9一的最

幺71'

大值.

26.（2023?全國?高三專題練習）設函數(shù)/（萬人/一人+以:一?之,

⑴若"0）=0，=（“為常數(shù)），求/（x）的解析式；

⑵在（1）條件下，若當X20時，/（x）Z0,求。的取值范圍.

27.（2019?江蘇?高三校聯(lián)考競賽）證明：對任意xG（—8,0）U（0,+8）,

lz.....^5-1...1,I2<111>/5+1

max{(),ln|x|}...——y=-ln|x|4--^=lnx-14--in-,--且--等號成立的充要條件是

2yl52V522

2

］4

28.（2018?全國?高三競賽）己知正實數(shù)〃、。滿足部+341a2+2b2<\5.求a+A的

取值范圍.

r+1I2

29.（2018?全國?高三競賽）已知函數(shù)〃x）=7r;.記函數(shù)〃x）的值

域為A,且實數(shù)。、b、ciA.證明：abc+4>ab+bc+ca.

30.（2018?全國?高三競賽）記區(qū)表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù).證明:

（1）方程H+xi+w的解為整數(shù)；

（2）方程［?。?/=/+12］有非整數(shù)解.

【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】

專題15導數(shù)與極限真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2018?全國?高三競賽）一個人以勻速6%/s去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車

25加時，交通燈由紅變綠，汽車以l/n/s,的加速度勻加速開走，那么（）.

A.人可在7s內(nèi)追上汽車B.人可在10s內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車，其間最近距離為5mD.人追不上汽車，其間最近距離為7m

【答案】D

t詳解】如圖，設汽車在點C開始運動，此時人通過點A.經(jīng)過f秒后，汽車到達。點,

有路程8=

.4CBD

人此時追到點B,有路程AB=vt.

1119

依題意兩者的距離是5=/^7+8-48=25+5。/-5=5/-6/+25=5。-6）-+727.

可見，人不能追上汽車，他與汽車最近距離是在汽車開動6s后的瞬間，兩者距離為7m.

2.（2022?全國?高三專題練習）設E（x）是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可

能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（f（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.￡（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

【答案】A

t分析】根據(jù)各選項的期望，分別判斷y=x+lnx、yZinx、尸x+sinx、y=/sinx

在定義域內(nèi)是否存在下凹區(qū)間即可.

【詳解】A：由y=x+lnx且定義域為（0,+℃）,則y'=l+4，y"=-＜0,即V為上凸

XX

函數(shù),有J+Inxq々+lnw+所以E（X+lnX）＜E（X）+ln（E（X））：

B：由y=flnx且定義域為（0,+8）,則y'=2xlnx+x,y〃=21nx+3,顯然（—,+8）上

Z＞0,即V在（/,+8）為下凹函數(shù)，、.斗；巧E”＞（土產(chǎn)）2皿gi,所以存在

E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））；

C：由y=x+sinx,則y'=l+cosx,y"=-sinx,顯然在［（2Z-1）冬,2fcr］,^eZ±/＞0,

即J在［（22-1）肛2Z乃］,%eZ為下凹函數(shù)，有*+注+.+如々＞土也+sin士也，

222

所以存在E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））：

兀

D：由yu/sinx,PPJy'=2xsinx+x1cosx,y"=（2-f）sinx+4xcosx,顯然存在（0,萬）

k/＞0,即y在（O,馬為下凹函數(shù)，有三包1士寶則&＞（±±三）*出土出，所以

2222

存在E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：利用函數(shù)二階導數(shù)的幾何意義判斷各選項對應函數(shù)定義域內(nèi)是否

存在下凹區(qū)間即可.

二、填空題

3.（2021?上海?統(tǒng)考模擬預測）1而/*=______

?3杵。1+2++n

【答案】272

【分析】把分子分母都放在根號下，再同時除以/即可.

lim2〃+1.辰刁亦

［詳解］如川+2++〃一=產(chǎn)=也「1=2垃

V2后+二

故答案為：20

4.（2。19?全國?高三競賽）函數(shù)尸喉箸卜（嗚［的最大值是一

【答案】『石-11

【詳解】設x=cosa|aw.則x?0,l).

12

由金.\-X-X

得

令y'=o.解得工=苴』（舍去負根）.

2

故答案為，吟n

5.(2018?全國?高三競賽)對0<x<l,若復數(shù)z=4+對應的點有"個在單位圓

上，貝！］〃=.

【答案】1

【詳解】由點在單位圓上有x+sinx=l(O<x<l).

作函數(shù)9(x)=x+sinx-l(xe(0,l).

由e'(x)=1-cosx>0(xG(0,1)),知尹(尤)為嚴格遞增函數(shù).

又9(0)=—”0,9(l)=sinl〉0,故方程x+sinr=l在(0,1)內(nèi)恰有一個實根.

因此，/2=1.

6.(2018?全國?高三競賽)拋一顆色子三次，所得點數(shù)分別為陽、及、P.則函數(shù)

y=|〃涓-］X?-內(nèi)+1在［1,+?)上為增函數(shù)的概率為.

【答案喘

【詳解】注意到，/(X)=g〃V-］x2-pX+l

在［1,+8)上為增函數(shù)等價于/'(x)=2/nv2-nx—p>0

在上恒成立，等價于:⑴>0,即2%>“+p.

當，"=2時，n+p<3,有3種；當機=3時，n+p<5,有10種；

當機=4時，n+p<7,有21種；當機=5時，〃+049,有30種；

當m=6時，n+p<\\,有35種.

?,pi|.3+10+21+30+3511

故所求概r率?為------1----=—.

7.(2018?全國?高三競賽)已知函數(shù)〃x)=/(sinx+cosx),其中，xe----六,一.

過點作函數(shù)/(x)圖像的切線，令各切點的橫坐標構成數(shù)列｛七｝.則數(shù)列

｛%?｝的所有項之和S的值為.

【答案】1006乃

【詳解】設切點坐標為(為,/卜皿,+82)).

則切線方程為y-e'1'（si啄+coM））=2e*cos%-（x-為）.

將點M,0的坐標代入切線方程得

x"）

-e（sinx0+cosx（））=2e/cosx（）?玉）

冗

=taru：（）+1=2x（）-=tanx（）=2

令y=tanx,y2=2

則這兩個函數(shù)的圖像均關于點oj對稱，其交點的橫坐標也關于X=］對稱成對出現(xiàn),

方程tanx=2（x-縱xe-丑尸,皆刊的根，即所作的所有切線的切點橫坐標構成

的數(shù)列｛玉｝的項也關于a對稱成對出現(xiàn)，在卜絲產(chǎn),空|包）內(nèi)共構成1006對，每對

的和均為〃.因此，數(shù)列｛七｝的所有項的和5=1006萬.

8.（2021?全國?高三競賽）若數(shù)列｛4｝是首項不為零的等差數(shù)列，則

lim"的+4+2++出〃=

184+%++an

【答案】1或3##3或1.

【詳解】設數(shù)列｛〃.｝的前〃項和為S”，則

lim"〃+i+〃“+2++^n=_]+]淅^2IL,

“T84+。2++4"T8S““T0°Stl

若｛叫為常數(shù)列，則則2F=T+2=1;

2q+2（21）xd

若｛??｝不為常數(shù)列，則1而注劣=-l+lim^=-l+lim'2——=3,

I7”T8Y”一＞00V8（/7—1I

”"a.+^——"

'2

故答案為：1或3.

9.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）設則函數(shù)y=sir?xcosx的最大值為

【答案】平

【詳解】y=sin2xcosx=-cos3x4-cosx,

令r=COSX￡（0,l）,所以y=-/+E,

y'=-3t2+1,

時，y<o,

上減,

+-/J+方在（OJ（O））處的切線方程為

10.（2022?浙江?高二競賽）已知函數(shù)丫="”

yjX+1

3Y

y=,則a+Z?=

【答案】-1

13

【詳解】由函數(shù)的解析式可得y'=-ae-M--（x+Ip,

]3

則）1。-r-r解得a*'

4x

當x=0時，j=-y=o,即切點坐標為（0,0）,

故e"+意+武°,解得匹2

...。+Z?=-1.

故答案為：-1.

11.（2019?全國?高三競賽）已知過點（0,2）的直線/與曲線C:y=x+g（x>0）交于兩不

同的點M、N.則曲線C在M、N處切線交點的軌跡為.

【答案】x=i,i<y<2.

【詳解】設N（w，%）,點M、N處的切線為《、12,交點坐標為網(wǎng)年,3）,

直線/的方程為，=丘+2.

y=X__1

由，/=>（4一1）工2+2x—1=0=A=4+4（Z—1）>0=A>0.

y=kx+2

21

而X[+々=--->0,=--->00<左<1.

\—kl—k

1.112

易知4的方程為y-y=12XH--,

2

同理，仁》1-Xd---.

i%

故占*々，牛=jg-=1.

又"=；<2-11

+2+-kxp+2=2-k=>\<yp<2.

1％X〉

故所求交點的軌跡為x=i,i<y<2.

故答案為x=l,l<y<2.

12.（2019?全國?高三競賽）設a>l.則當）>="與y=】Og〃X兩個函數(shù)圖像相切時,

InIna=

【答案】-1

【詳解】因為兩個函數(shù)互為反函數(shù)，且關于直線y=x對稱,

所以，相切時切點在y=x上.

設切點為（％,%）.則

X。3，①

a"Ina=1.②

將式①代入式②得=即In*=l.③

再將式①代入式③得1叫=1=%=e.

故Ina=—=>Inlntz=-1.

e

13.（2019?全國?高三競賽）設函數(shù)〃力=月唱］+（"小唱（。-力的圖像關于直線

144

X=：對稱.則對滿足=1的任意實數(shù)X,.6（0,1）（14i<4）,s=>0崎玉的最小值為

21=1J=I

【答案】-2

【詳解】由題意，知定義區(qū)間（0,。）的中點為于是，?=1.

則/（x）=xlog2x+（l-x）log2（l-x）

n/'（x）=log2

令尸（x）=0,得x=

由對任意的Xd0，』有尸（X）<o,及對任意的Xe弓，1）有了'（X）>o

知/（5?=舊）=-1

記％+W=XG（0,l）

則七+匕=1-X€(O,1)①

由五+區(qū)=1,得21。82三+二10g,2=/(五)2一1

XXXXXX\x)

即x1log2^I+x2log2x2>-x+xlog2x.

類似地，由式①I*巾Og2$+X4log2x4>-(1-X)+(1-x)log2(1-X).

兩式相加得fxJogM>-l+/(x)>-2.

i=l

當X|=占=w=匕=；時，上式等號成立.

故Smin=-2-

故答案為-2

14.(2019?全國?高三競賽)滿足。+!廠=。+—!一『4的整數(shù)n=__________

II2014；

【答案】-2015

【詳解】注意到，對任意的有441n(l+x)4x

則/(x)=h+ij(x>0)與g(x)=(l+；|(x>0)的導函數(shù)分別為

故〃x)在區(qū)間(0,”)上遞減，g(x)在區(qū)間(0,y)上遞增.

且對任意的xw(0,+°o)有〃x)>e>g(x)-

n/有(1+*'

從而,對任意的m、>e>\1+—

Im

因此，滿足(1+：J,=(1+”的整數(shù)n必為負數(shù).

記〃=-%(Z:GZ+),

故1=2014,?=-A:=-2015.

故答案為-2015

15.(2018?全國?高三競賽)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)f'(x)連續(xù)，且/(0)=0,/(0)=。.記

曲線y=f(x)與尸。,0)最近的點為。(5,“$)).則limy=.

1

【答案】

【詳解】記y=PQ2=（x-y+f⑺.則/=2（x-?）+2/（x）/'（x）.

由已知得2（sT）+2〃s）/（s）=0.

則［=i_f（s）［（s）=/，（，）①

記lim-=A.而lim￡^=/"（O）=a,故舊/'（s）=".

10tSTOsJ'/sf

1q1

對式①兩邊取極限得A=1-"A=A=^—-=>lim-=—

1+礦20f1+（7

16.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）已知直線y=or+2與三次曲線y=*3-以有三個不

同交點，則。的取值范圍為.

【答案】（|收）

【詳解】依題意得：如+2=》3一儀,即*3=2以+2有三個不同解，

考慮y=2ax+2與y=d相切于尸（知兒）.

結合圖象可知：”你引，

故答案為：（|，+8）.

17.（2021?浙江?高三競賽）若xJnX|,x,<x2,上=^|（西+々+2喜號），kwZ,

貝lj左二.

【答案】3

【詳解】解析:由題意知設￡=&=>「=產(chǎn),>=產(chǎn)111/=2產(chǎn)hu,

問題轉化為:若片加乙=fjm々,求k=g（1+ti+2串2）=|&+%f，

即？=產(chǎn)Inf與y=a的圖象的兩個公共點的橫坐標設為求4+：2的范圍;

，所以上=3.

故答案為：3.

三、解答題

18.(2021?全國?高三競賽)已知三次函數(shù)/(xlM-x'+a^+^+cm.^ceR),滿足對任

意x?-2,2］都有|/(x)區(qū)2,求久b、c的所有可能值.

【答案】a=c=O,b=3.

【詳解】由題意得：

-24/(2)=-8+4a+26+c42,①

-2</(-2)=8+4?-2&+c<2,0

-2</(I)=-1+a+h+c<2,(3)

-2</(-I)=\+a-h+c<2,④

由①—②,③-④得：

I14--16+40“44,咋f3<*-<5,3所以

將6=3代入①，②，③，④得：

0<4t7+c<4,

-4<4a+c<0,f4。+c=0,

<=><n〃=c=0.

-4<?+c<0,+c=0,

0<?+c<4,

下面證明/(x)=r'+3x符合題意，

由f\x)=-3x2+3=-3(X4-1)(X-1),

令r(x)>0=—l<x<"(x)<0=x<-1或X>1,

所以/（X）在卜2,—1],[1,2]單調(diào)遞減;在[-1,1]單調(diào)遞增,

且2）=2,/（-1）=一2,/（1）=2，〃2）=-2,

所以/（X）=-x3+3x符合題意，

a、b、c的所有可能值為a=c=0,/2=3.

19.（2023?全國?高三專題練習）求下列極限：

（l）limx2ln[1+~|-x；

XT81IXJ

⑵觸擊eJ

⑶limW+x+xAWi+x）

5secx-cosx

【答案】（1）-；

⑵。

（3）1

【分析】（1）先將題給代數(shù)式轉化為苧型分式，再利用洛必達法則即可求得其值;

（2）先將題給代數(shù)式轉化為藝型分式，再利用洛必達法則即可求得其值；

00

（3）利用已知重要極限和洛必達法則即可求得其值.

【詳解】（1）令/=1,則

X

limx2ln|1+—|-x=lim+

r—k-v,IvIJ''*

由洛必達法則可得,

lim她上￡_L_i

=lim_Ltl_二iiT=Hm7、

/->0廣m

一()2t2r(l+r)-。20+，)2

則limx2Inf1+—=--

x)J2

(2)令,=*，

則lim—、'=limr50e-/=lim二

XTOx/->+oo/->+<?e'

產(chǎn)SO產(chǎn)

由洛必達法則可得，lim二=lim”.

SO/49501

繼續(xù)用洛必達法則可得，lim=—=L=Iim券=0.

則lim^-e>=0

DX(M)

(、)In(l+x+x2)+ln(l-x+x2)ln^l+x2)-x2ln(l+x2+x4

zsecx-cosx―黑a”丫…secx-cosx

oW人LU〉人

又〃.0時，ln(l+〃)?〃,

則lim"""")=11m爐+d

z°secx-cosxsecx-cosx

由洛必達法則可得,

x24-%4i.2x+4x3x2+4x~

lim—=hm-------------------；~；=lim-----------彳——=1.

i->°secx-cosxsecxtanx-1-sinx)sinxsec-x+l

.In(l+x4-x2)4-ln(l-x4-x21

則nlim」-------』—-------1=1

XT°secx-cosx

20.(2019?全國?高三競賽)已知/(x)=">/+l),g(x)=S求最大的正整數(shù)％,使得

XAil

對任意的正數(shù)C,存在實數(shù)a、％滿足一1<a<b<C,且/(c)=/(a)=g(6).

【答案】3

【詳解】對于正整數(shù)h顯然,g(x)==1在區(qū)間(L+8)上為減函數(shù).

于是，對任意的正數(shù)c,〃c)=g㈤>g(c).

當x>0時,不等式f(x)>g(x)o1<(x+l)[l[n(x+l)】①

令Mx)=(x+l)[l+ln(x+l)[q>o)，則//(%)=l,(x+l).

Xx

令9(x)=x_l_ln(x+l)(x>0)^lJd(x)=^-j'>0.

故夕（x）在x>0時為增函數(shù).

又°⑵=1-ln3<0,9⑶=2-ln4>0.

因此,存在唯一的正實數(shù)噸，有?（題）=毛T-In（題+1）=0.②

于是“（動=0，且%〃（2,3）.

故當XG（0,$）時,〃（x）為減函數(shù)：當xe（M，+oo）時,〃'（x）>0,%（x）為增函

數(shù).

因此當x>0時，結合式②有"（X）的最小值為力小）=為+1?3,4）.

結合式①有正整數(shù),/M3.③

下面證明：當無=3時，對1<XVO,有〃x)<g(x).④

當l<x<0時，f(x)(g(x)ol-2x+(x+l)ln(x+l》0.

令4%)=1-2》+(%+1)皿_￥+1),其中,1<》<0.則?''("=111(_￥+1)-1<0.

故T(X)(-l<X<0)為減函數(shù).于是,T(X)>T(O)>0.

因此，式④成立.

注意到,g(x)=-^y(xe(l,+oo))的值域為(0,+co),

/(x)=l+，"(x+l)(x?(0,+8))的值域也為(0,+oo),

f(x)=l+加,±1)卜€(wěn)(一1,0))的值域為R.

結合函數(shù)的圖像，知對任意的正數(shù)C,存在實數(shù)a、b滿足<匕<c,且

/?=/(a)=g(b).

綜上，正整數(shù)人的最大值為3.

21.(2022糊北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃)已知函數(shù)/(x)=2d+3加+6(3-a)x+2022a.

若/(x)是區(qū)間［-2,2］上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】［-7,2］

【詳解】由/(》)=/+3.2+6(3-。)工+2022。，

則f(x)=6(x?+or+3-a),

又/(x)在區(qū)間［-2,2］上是單調(diào)遞增，所以f(x)“，

即X"+ax+3—ci>0<=>a(x—1)+3>—X2在區(qū)間［—2,2］上恒成立.

如圖所示，考慮過定點P(1.3)的直線y=a(x-1)+3和拋物線y=*在［-2,2］上的兩個

臨界位置:

當直線、=。（》-1）+3與拋物線丫=-》2相切于人點時,

有-4（3-。）=0=a=2（舍去負值）.

當），=a（x-l）+3與拋物線y=-Y相交于B（2T）點時,

有a=*=［；）=-7

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍是[-7,2].

22.（2019?全國?高三競賽）在銳角△ABC中，證明:

（sinA+sinB+sinC）------+--------F------?n\—+—I—

\\s\nAsin3sinCjBC

【答案】見解析

【詳解】不妨設A2B2C.

由A+B+C=7T.知式①等價于

嗚

sinn/sinC

^inC-

sinCsinA

sinAsinC

將這三式相加，便證明了原不等式.

23.(2018?全國?高三競賽)已知實數(shù)x、2滿足2*+x'=4"+4>.試求U=8*+8,的取值

范圍.

【答案】(1,2]

【詳解】令”=2*,6=2，.則己知條件化為。+6=/+廿(仄b>0).

配方得用?①

觀察滿足式①的(。,力)在直角坐標系43中的圖像，易知r=a+be(l,2].

又注意到，(。+步-(?+〃)=注

22

故U=8*+8V力+〃=(4+城一3吹4+h=戶-3x4上/=.

記/(，)=-1/+了.

則當時,f'(t)=~t2+3t=~t(t-2)>0

于是，/⑺在飛(1,2]上單調(diào)遞增，易得當%(1,2]時，/(/)e(l,2].

綜上，。=8'+8、的取值范圍為(1,2].

24.(2019?全國?高三競賽)已知函數(shù)/(x)=d-2ov與g(x)=-d—l,的圖像有兩條公

切線，且由這四個切點組成的四邊形的周長為6,求實數(shù)a的值.

【答案】a=±-^-

2

【詳解】設函數(shù)「(X)與驅)的一條公切線分別過切點伍,.“現(xiàn))),仁心(々)).則公切線方

程為

y=〃玉)+/'(%)(x-xj三g(%)+g'(X2)(x—電)?

故尸(xj=g'(w)，且/㈤-尸<)%=g(&)-g'U)七.

注意到，f\^=2x-2a,g\x)=-2x

=>xi+x2=a9x：+x；=[

a2-l

=>XjX2=--—?

兩于是，為、當是方程/-公+竺」=0的兩實根.

2

由f（x）與g（x）有兩條公切線，知f（x）與g（x）不相交.

因此，工尸馬.

21

由A=〃2_4^--->=>。2<

2

設四個切點坐標為"（芭，/（百）），火值,/伍））,尸卜2公（々））,。（西超（5））.

則|尸。f=（為FJ+（g（芭）-g（巧丫

=（x；+￥一2%工2）［1+（工［+%2）［

=（2一儲乂1+6）,

二忖-20rl+X；+“=2_Q2

同理，眼討=（2_/）（［+々2）,加刊=2-/.

故四邊形MNPQ為平行四邊形，且2,（2-。2）0+%+2_〃2卜6.

解得〃=土也即為所求.

2

25.（2023?全國?高三專題練習）實數(shù)〃,b,c和正數(shù)4使得“力二丁+/+桁+^:有三個

實數(shù)根%,七,七.且滿足：（1）（2）x>|（x+x）,求2〃+力的最

X2-X,=A;312

大值.

【答案】空

2

【分析】解法一：設為=機-（,w=m+g,x,=m+r（r>o）,利用韋達定理可化簡所

求式子為患y膽儲-4產(chǎn)）8產(chǎn),結合基本不等式可求得最大值'驗證取等條件即可確

定結果；

解法二：由+27。-+&-2%）（芯+毛-2/）（芯+%2-2&）可令々=石+%,

』=玉+4+〃（〃>0）,由此可化簡所求式子為22一2（21,令:="0,

22AIA7

g（f）=|"2/”0）,利用導數(shù)可求得g（%，即為所求式子的最大值.

【詳解】解法一：由題意可設：X2=m+^,

用>小+々）=

〃2,可令曰=m+r(r>0),

a=一(再+x2+芻)=一(3"，+f)

2

2A

由韋達定理得：,b=xxx2+x2x3+x3Xj=3〃z~+2mt一—

32222

c——不占七=-m—m2tm+1

27Q

則2a3-9ab=a(2/-99=27m3+21m2t——mA2--A2t-2t\

2727

27c=-27加一21m2t+—mA2+—22r,

44

貝I2/+竺-9ab=9A7-4/3要取得最大值，則922f一4->。，

萬2萬

型1吳…）K舸F

_1J2（92--4r）+8r=主叵（當且僅當“2—4/=8?,

即”且2時取等號）,

4&3北3J22

又1滿足9九。一4/>0,

2

，取m=0,A=2)則/=有，此時%=-1,*2=1，％3=6，a=—>/3>b=-1,c=6

2a、27c-9ab3石

時,

r二F

空我的最大值為當

=27

又一a=X+%+玉，

3

「.2a+27c—93=(匹+x3—2xja+&-2々)(工1+%—2毛),

/.2〃3+27c-9〃〃=弓2+〃)仁義-〃卜〃=2〃(；方-〃21,

32n|-A2-/12|/、3

.24+27c-9岫_(4J_2K_2⑶；

3

An.2a+27c-9ab9.

令:二/〉。，則-------：------=-f-2/3，

2萬2

Qn

令g(/)=]r_2/3Q>o),則g，?)=]_6/，令g'(f)=0,解得:

2

g'”)<0;

???g(。在0,上單調(diào)遞增,

2:1/I=2,〃=6時，即X1=-1,x,=1,x3=5/3,a=<b=-\,c=6時，

2/+27c-9岫3百

r--T'

,2d+27c-9M的最大值為轉

232

26.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(》)=/-。+%-?2,

⑴若"0)=0,”-1)=\(。為常數(shù))，求“X)的解析式;

e

⑵在(1)條件下，若當xNO時，/(x)>0,求。的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=e*-1一%-加

(2)a4；

【分析】(1)根據(jù)"0)=0,求解；

(2)由(1)知x=0時，/(0)=0>0,此時，fleR,將問題轉化為a4々對工〉。

X

恒成立求解.

【詳解】(1)解：因為"0)=0,/(-1)=|-?,

所以/(0)=1—6=0,f(—\)=——b—c—a=——a,

解得。=l,c=-l,

所以/(同=爐-1-加；

(2)由(1)可知，x=0時，/(0)=0>0,此時，aeR：

故xNO時,/(x)NO成立ox>0時，f(x)20成立,

<=>ex—1—x-ax~N0對％>0恒成U,

即吐M對x>0恒成立；

X

、-j〃\e'—x—\.i./、xex—2eA+x+2

記入(x)=d，則m〃z(x)=-------p----------

記夕(x)=xe"—2e"+x+2,則夕'(x)=xe"—e”+1

idr(x)-xev-e'+1,貝!|/(x)=xe”,

.?.當x>0時，/(x)>0,"(x)在(0,+向上單調(diào)遞增；

d(x)>d(o)=o,

所以。(X)在(o,+8)上單調(diào)遞增；月(x)>>(0)=0；

二xe(0,+oo)時,"(x)>0,即〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

記0(x)=e*-x-l,q^x)=JC,

當x.0時，p(x)fO,q(x)f0符合洛必達法則條件，

.,,\_re-x—\_e'—1e'_1

??lrimh(^x)=lim-------=lrim-----=lim—=一，

XT。XTOXZXT。2xXT。22

.,.X>0時、

一?Q4—.

2

【點睛】方法點睛：不等式〃x)NO恒成立問題，往往通過〃力.之0求解或轉化為

。＜8(^^或々之8(同2求解?

27.(2019?江蘇?高三校聯(lián)考競賽)證明：對任意工￡(-8,0)U(0,+oo),

fr,..I】y/5—11.I?ilIi^5+1

max{O,ln\x\}...——-f=~InIxI+—Inr-1+—In-----,且等號成立的充要條件是

2A/525/522

2

【答案】證明見解析

1

I%"X——

【詳解】設令,、X

28式%)=,XG(-oO,0)U(0,4W)'

max{l,|x|}

則gaga(X)=g“(—X).

因此，對任意xG(—8,0)U(0,+oo),有:

11

|x|2-x--

X

一=g“(X),,叫ixg“(y)=jpaxg“(y)

max(l,|x|}.veR'ioio<><i

2

當。勺<1時,ga(y)=y—y

y

令g；(y)=。，得戶\上號

Y1+2。

、I-2a

1_2.]/1_2〃)丁(4aY

由函數(shù)的單調(diào)性，得

maxg.(y)=gaT+2a)\J+2a)11+2〃J

由①②知，對任意xe(—8,0)U(0,+8)及任意0<a<g,有：

(1%??.I2J1—2。[1—2。,4ci.一

—aIn|x|+aln廠一1,,-------In--------+a\n--------+max{O,lnx}.

U)114l+2a1+2〃

在③式中，令。=崇，化簡得：

max{0,In|x|}..In|x|+-^7=ln|x2-1I+—In75+1

2V52V51122

此時’當“居1=與時’則「年T=一與^一「一年

從而，等號成立的