高中數(shù)學課堂講義-正弦定理

高中數(shù)學課堂講義——正弦定理

目錄

1.正弦定理及常見變形.........................................................1

2.［教材答疑］..................................................................1

3.［基礎(chǔ)自測］..................................................................3

4.題型一利用正弦定理解三角形——微點探究..................................3

5.題型二判斷三角形的形狀——師生共研......................................4

6.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應用——微點探究.........................5

7.要點........................................................................6

8.［基礎(chǔ)自測］..................................................................7

9.題型一......................................................................7

10.題型二.....................................................................8

11.題型三.....................................................................9

1.正弦定理及常見變形

文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的_____的比相等

*be

符號語言二7=4=U=2R(R為4ABC外接圓的半徑)

a=2RsinA,b=______,c~______,

a

常見變形sinA=os,sinB=______,sinC=______，

a：b：c—_________fCTW▲AGEQ-*??f—2R

狀元隨筆(1)正弦定理對任意三角形都適用.

(2)正弦定理中的比值是一個定值，它的幾何意義為三角形外接圓的直徑.

(3)正弦定理是直角三角形邊角關(guān)系的一個推廣，它的主要功能是實現(xiàn)三角

形中的邊角互化.

(4)通過正弦定理可“知三求一”.

2.［教材答疑］

1.［教材P112思考交流］

①當△ABC是銳角三角形時，如圖(1).設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,連接

80并延長交圓O于點4,連接4C,則/A，CB=90。，

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BC

在RtAA^C中，~=A'B,

BCa

二7=A2=2H(其中R為△ABC外接圓的半徑)，即一

②當△ABC是鈍角三角形時，如圖(2).設(shè)BC=a,CA=h,AB=c,連接

BO并延長交圓。于點4,連接4C,則NA'CB=90°,A'=TI-A.

BC

在RtAA^C中，*/~=A'B,

BCBCBCa

?M?_

??eraAfin(it—A=~=A'B=2R,即??▲=2R.

b

同理可證，er=2R

b

eraA=rmR=er=2R.

綜上①②，可得對任意三角形均有士=

2.［教材Pll3思考交流］

已知兩條邊的邊長和其中一邊的對角的大小解三角形，它的解情況如下:

圖形關(guān)系式解的個數(shù)

①a=bsin

A；一解

②aNb

①BA、、--②----A

A為銳角

TbsinA<a<b兩解

AA.

BJ—%

C

生a<bsinA無解

A

第2頁共10頁

c

\a>b一解

為鈍角或直角

AA.JR.4n

c

a<b無解

一-J

1AA

3.［基礎(chǔ)自測］

1.判斷正誤(正確的畫“J”，錯誤的畫“x”)

(1)在△ABC中，已知。=60。，"=1"=3,可用正弦定理解此三角形.()

(2)在△ABC中，必有asinC=csinA.()

(3)在△ABC中，一定有abc=cosA:cosB:cosC.()

(4)在△ABC中，a>boA>3=sinA>sinB.()

2.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若a=6A

=60°,3=45°,則h=()

A.0B.2

C.&D.26

1

3.在△ABC中，。=3,b=5,sinA—2,則sinB—()

1

A.7B.7

Vs

C.~D.1

4.在△ABC中，若a=3,b=V3,A=；,則C=.

4.題型一利用正弦定理解三角形——微點探究

微點1已知兩角和任一邊解三角形

例1已知△A8C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c.若A=45。,

B=30。，a=V5,則b=()

A.V3-1B.1

C.2D.V3+1

第3頁共10頁

方法歸佃

已知三角形的兩角和任意一邊解三角形時，可以先由三角形內(nèi)角和定理，

計算出三角形的第三個角，然后由正弦定理求出另外兩邊.

微點2已知兩邊及其一邊的對角解三角形

例2在△A3C中，已知b=3,c=3?B=30°,解此三角形.

狀元隨筆已知兩邊及一邊的對角解三角形，有兩解、一解和無解三種情

況.用正弦定理進行求解時，必須分情況討論.利用余弦定理求解，就可避免

分情況討論.

方放＞13向

已知兩邊及一邊的對角解三角形時，既可以用正弦定理也可以用余弦定

理.利用正弦定理時，要先根據(jù)''大邊對大角”對解的個數(shù)進行判斷，再分別

討論.利用余弦定理時，可以得到關(guān)于某一條邊長的一個一元二次方程，從而

求得邊長，再根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和定理求得其他元素.

跟蹤訓練1(1)在△ABC中，已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且A=30°,C=105°,a=10,則Z?=()

A.4V2B.8V2

C.10?D.12V2

(2)在△ABC中，已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=

b=6，8=45°,則A=()

A.30°B.60°

C.120°D.60?；?20°

5.題型二判斷三角形的形狀——師生共研

例3在△A3C中，若2a=b+c,sin2A=sin8sinC,則△ABC一定是()

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.非等腰三角形

,b?

變式探究將本例中的條件改為“二二=-==7"，則

△ABC的形狀是.

第4頁共10頁

方法歸佃

利用正弦定理判斷三角形形狀的基本思路是：從條件出發(fā)，利用正弦定理

進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，找出邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系，或求出角

的大小，從而作出正確判斷.

6.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應用——微點探究

微點1邊角轉(zhuǎn)化求值

例4△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin4一。sin8

1b

=4csinC,cosA=—:,則7=()

A.6B.5

C.4D.3

狀元隨筆在與邊角互化有關(guān)的問題中，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,

通過正弦定理或余弦定理進行邊角互化，綜合利用三角恒等變換等知識推出三

角形的邊角關(guān)系求值.

微點2范圍與最值問題

例5已知在△A3C中，sinZAWsinNB+sin?。一sinBsinC,則A的取值范圍

是()

A.(°，?lB.IT-3

C.(Ot7lD.I?(4

方法歸的

解決三角形中邊長或角的范圍與最值問題通常有兩種思路，一是通過正弦

定理或余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，利用代數(shù)方法求解；二是通過正弦定

理或余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用三角中的方法求解.

微點3在平面幾何圖形中的應用

例6如圖所示，在△ABC中，P是邊上的一點，ZAPC=60°,AB=

2,AP+P8=4.

第5頁共10頁

(1)求BP的長；

5-

(2)若AC=T,求sinC的值.

(1)在4ABP中，利用余弦定理可求解；

(2)在4ACP中，由正弦定理求sinC.

狀元隨筆題目出現(xiàn)多個三角形時，要弄清楚各三角形中的邊角關(guān)系，分

析已知和未知的關(guān)系，合理選擇正弦定理與余弦定理來求解.

跟蹤訓練2⑴在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,仁若。=

v7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.

(2)已知在△ABC中，A=30。，AB=4,滿足此條件的AABC有兩解，則BC

邊的長度的取值范圍為.

(3)在四邊形ABC。中，ADLCD,AD=10,AB=14,NBDA=60。，/BCD

=135°,則BC=.

易錯辨析解三角形時忽略隱含條件出錯

例7在△ABC中，若A=60。，BC=4百，AC=4近，則角8的

大小為()

A.30°B.45°

C.135°D.45°或135°

BCAC4\34^2

解析：根據(jù)正弦定理得H=即=不==,解得sin

B=〈.又8OAC,所以A>8,所以角8的大小為45。.故選B.

答案：B

易錯警示

易錯原因糾錯心得

已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定

忽略BC=4V3>4\,，2=AC=>A>B這

理求另一邊的對角時，由于三角形內(nèi)角的正弦都為

一條件，導致選出錯.即忽略了

D正的，而這個內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，因

三角形中大邊對大角的條件.此需要由題中的隱含條件來判斷角的情況.

7.要點

正弦2HsinB2RsinC~7BsinA：sin8：sinC

第6頁共io頁

8.［基礎(chǔ)自測］

1.(1)X⑵J(3)X(4)7

、bGb

2.解析：由正弦定理可得==—,即—?ACS解

得b=a.

答案：A

1

3.解析：=3,b=5,sinA—和

bnaA5*；S

???由正弦定理得sin5=-^=~=I

答案：B

4.解析：由正弦定理得

bsiaA1

sinB=~T=~T=；

又b<ci,/?B=G,

：.c=i

答案：：

9.題型一

例1解析：由正弦定理得

，suaB、2xsui3b

b▲?-??■AC?

=丁=1.

答案：B

b

例2解析：方法一：由正弦定理，得—

即，==,解得sinC=

,：ob,.\C=60°^C=120°.

①當C=60。時，A=180。一（8+0=90。，/XABC為直角三角形，此時a=

第7頁共10頁

Vb~+C2=6.

②當C=120。時，A=180°-(B+C)=30o=B,：,a=b=3.

綜上可知，A=90。，C=60°,a=6或A=30。，C=120°,a=3.

方法二：由余弦定理，得反=/+，—2accos8,

得32=/+(3、哥-2義35/3aXcos30°,

化簡可得層-9a+18=0,解得a=6或a=3.

①當。=6時，由正弦定理，得

sinA=~~^=1,.?.A=90。，c=180°—(A+8)=60°.

②當a=3時，由正弦定得，得sinA=/=:，

.?.A=30°,C=180°-(A+B)=120°.

綜上可知，A=90。，C=60°,a=6或A=30。，C=120°,a=3.

跟蹤訓練1解析：(l)VA=30°,C=105°,.*.B=180°-30°-105°=45°.

10xm451

由正弦定理得。=

(2)由正弦定理得

行xan45?

sinA=3?

'：a>b,.?.A=60°或120°.

答案：(1)C(2)D

10.題型二

整理得3—c)2=0,所以。=c,因為a=",所以a=8=c,所以三角形ABC

為等邊三角形.

答案：B

變式探究解析：由正弦定理士=

=7=2R(R為△ABC

外接圓的半徑)得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,代入

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2RsmA2RnnB2RnaC

E「中可得，

所以，tan/4=tanB=l.

又因為角A,B,。是△ABC的內(nèi)角，所以A=B=45。.

從而C=90。，故△ABC是等腰直角三角形.

答案：等腰直角三角形

11.題型三

例4解析：根據(jù)正弦定理,由。sinA—。sinB=4csinC,得/一82=4。2.

了小一/y力一(M+4/)3<1

又由余弦定理，得cosA=~~~=匯=一7,

b3

所以:=7X4=6.故選A.

答案：A

例5解析：由已知及正弦定理得/WZ?2+c2-尻，

由余弦定理可知a2=b2+c1-2bccosA,

1

所以序+/—2bccosAW〃2+c2一機、即cosAN7.

又因為0<A<TI,所以A的取值范圍為(°，3.故選C.

答案：c

例6解析：⑴由已知，得N4PB=120°.

因為AB=2V3,AP+BP=4,

所以在AABP中，由余弦定理，得(2v3)2=BP2+(4-BP)2-2BP-(4-

BP)cos120°.

整理，得Bp2—48尸+4=0,解得BP=2.

(2)由(1)知AP=BP=2,

ACAP

所以在AAC尸中，由正弦定理，得